1、第一節(jié)一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 定積分的近似計算定積分的近似計算定積分的概念及性質(zhì) 第五五章 四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)2一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個

2、小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意

3、當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系111xix1ixxabyo1) 大化小大化小:在區(qū)間在區(qū)間 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 個分點個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線用直線ixx 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形個窄曲邊梯形;2) 常代變常代變:在第在第i 個窄曲邊梯形上個窄曲邊梯形上任取任取作以作以,1iixx為底為底 ,)(if為高的窄矩形為

4、高的窄矩形,并以此窄并以此窄矩形面積近似代替相應(yīng)矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積窄曲邊梯形面積,iA得得i解決步驟解決步驟 :iiixfA )( 1 iiixxx12niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限:令令, max1inix則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積niiAA10lim01lim()niiifx3) 近似和近似和:1xix1ixxabyoi步驟：步驟：“大化小大化小 , 常代變常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ”13設(shè)某物體作直線運動設(shè)某物體作直線運動, ,)(21TTCtvv且且,0)(tv求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步

5、驟解決步驟:1) 大化小大化小:, ,1iiitt任取將它分成將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng)在每個小段上物體經(jīng)2) 常代變常代變:,)(代替變速以iv得得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度已知速度n 個小段個小段過的路程為過的路程為實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）14iniitvs1)(4) 取極限取極限 :iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同：解決問題的方法步驟相同：“大化小大化小 , 常代變

6、常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限3) 近似和近似和:設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，一點一點i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法

7、， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時時，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和17181920212223242526272829303132三、三、 定積分的近似計算定積分的近似計算33343536373839404142四、四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)43444

8、54647性質(zhì)性質(zhì)3 348性質(zhì)性質(zhì)4 4證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.5051525354性質(zhì)性質(zhì)5 5解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大點點，2 x為為極極小小點點,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx58證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)性質(zhì)6 659證證使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 即即 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，幾何解釋：幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)