1、第第8章章 相量法相量法 重點：重點： 正弦量的相量表示、用相量運算替代正弦量運算正弦量的相量表示、用相量運算替代正弦量運算 電路定律的相量表示電路定律的相量表示 正弦量的三要素、相位差及有效值正弦量的三要素、相位差及有效值 8. 1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 1. 復(fù)數(shù)的表示形式復(fù)數(shù)的表示形式+1+j0FbajbaF Fb+1+ ja0|F| 代數(shù)形式代數(shù)形式：F=a+j b三角形式：三角形式： 向量形式向量形式：一個復(fù)數(shù)：一個復(fù)數(shù)F在復(fù)平面上在復(fù)平面上可以用一條從原點可以用一條從原點O指向指向F對應(yīng)坐標對應(yīng)坐標點的有向線段表示。點的有向線段表示。)sin(cossincos jFFjFF 取復(fù)數(shù)的實部和虛

2、部分別表示為：取復(fù)數(shù)的實部和虛部分別表示為： ReF = a，ImF = b ab |F| : 稱為復(fù)數(shù)的模稱為復(fù)數(shù)的模 : 稱為復(fù)數(shù)的輻角稱為復(fù)數(shù)的輻角 指數(shù)形式：指數(shù)形式： FF 極坐標形式是復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式的簡寫極坐標形式是復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式的簡寫利用歐拉公式：利用歐拉公式： sincosjej jeFF Fb+1+ ja0|F| 極坐標形式：極坐標形式：在正在正弦電路的分析中，常常涉及到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與極坐弦電路的分析中，常常涉及到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與極坐標形式之間的相互轉(zhuǎn)換標形式之間的相互轉(zhuǎn)換1）F=a+j b FF abarctg ;22 baF 2） FFF=a+j b

3、 sin;cosFbFa * 兩種轉(zhuǎn)換中均要注意兩種轉(zhuǎn)換中均要注意 所在的象限，從而確定所在的象限，從而確定 的大小的大小例：例：將以下復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為極坐標形式將以下復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為極坐標形式 F1 = 3 + j4 ；F2 = 3 3 j4 4；F3 = - -3+j4； F4 = -3 -3 j4 4 解：解：有有 F1 = 3 + j4 = 553.13F2 = 3 - - j4 = 5- -53.13F3 = 33 j4 F4 = 3 -3 - j4 = - (3 - (3 j4)=- -553.13= 5- -126.8713.5334- - - - arctg 54322 由由 13.533

4、4 arctg = 5126.87 = - (3 - - (3 - j4) =- -5- -53.13 +1+ j0 - -3+4F3= 126.87 - -4F4= - -126.87 a. 復(fù)數(shù)相加和相減的代數(shù)運算必須用代數(shù)形式進行復(fù)數(shù)相加和相減的代數(shù)運算必須用代數(shù)形式進行b. 復(fù)數(shù)的加減運算也可用四邊復(fù)數(shù)的加減運算也可用四邊形法則在復(fù)平面上進行。形法則在復(fù)平面上進行。F = F1 + F2+1+ j0F1F22. 復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的運算 復(fù)數(shù)的加減運算復(fù)數(shù)的加減運算例如：設(shè)例如：設(shè)F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, 則則)()(221121jbajbaFF )()(2121bb

5、jaa 復(fù)數(shù)的乘除運算復(fù)數(shù)的乘除運算a. 復(fù)數(shù)的乘除運算可以用代數(shù)形式進行復(fù)數(shù)的乘除運算可以用代數(shù)形式進行例如：設(shè)例如：設(shè)F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, )(221121jbajbaFF 221121jbajbaFF 2222211222222121)()()()(bababajbabbaa - - 則則 )()(12212121babajbbaa - - )()(22222211jbajbajbajba- - - - b. 復(fù)數(shù)的乘除運算也可以用指數(shù)形式和極坐標進行（方便）復(fù)數(shù)的乘除運算也可以用指數(shù)形式和極坐標進行（方便）212121 jjeFeFFF 2121221121

6、- - FFFFFF兩個復(fù)數(shù)的相乘，用指數(shù)形式進行兩個復(fù)數(shù)的相乘，用指數(shù)形式進行, 有有 兩個復(fù)數(shù)的相除，用極坐標形式有兩個復(fù)數(shù)的相除，用極坐標形式有用極坐標形式表示用極坐標形式表示, 有有221121 FFFF模相乘模相乘 輻角相加輻角相加 )(2121 jeFF2121 FF復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ej F逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度 ，模不變，模不變Fej 旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)因子 另有另有 F=|F| , , Fej Fej Fj+10= cos + jsin = 1 則則 = |F| 1 |F| jjej2sin2cos2 jjej-)2sin()2cos()2( 1)sin()cos()(- -

7、 jej+j , - -j , - -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。由于由于所以所以 / 2 / 2 j , - - / 2 / 2 - - j , - - 1 , e j Fj+10jF 8.2 正弦量正弦量 凡按正弦（余弦）規(guī)律變化的電壓、電流都稱正弦量。凡按正弦（余弦）規(guī)律變化的電壓、電流都稱正弦量。* * 本書用余弦函數(shù)表示正旋量本書用余弦函數(shù)表示正旋量正弦量的優(yōu)點：正弦量的優(yōu)點： i ) 正弦量易于用旋轉(zhuǎn)電機獲得，為世界各國電力系統(tǒng)采用。正弦量易于用旋轉(zhuǎn)電機獲得，為世界各國電力系統(tǒng)采用。ii) 在線性電路中，只要激勵是同頻率的正弦量，則響應(yīng)亦是在線性電路中，只要激勵是同

8、頻率的正弦量，則響應(yīng)亦是 同頻率的正弦量，這為應(yīng)用相量法提供了可能。同頻率的正弦量，這為應(yīng)用相量法提供了可能。iii) 正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基礎(chǔ)。正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基礎(chǔ)。1. 正弦量的三要素：正弦量的三要素：(1) Im 幅值幅值 ( 振幅、振幅、 最大值最大值)(3) i = ( t + i )|t=0 初相位初相位(初相初相) ( t + i ): 稱為稱為i(t)相位角或相位相位角或相位(2)(2)(ittdd 角頻率，單位：弧度角頻率，單位：弧度/ /秒秒( (rad/s) 以電流為例以電流為例Ri )cos(I)(mitti 正弦量的三要素正

9、弦量的三要素 T = 2 ， = 2 /T = 2 f , f 的單位為赫茲的單位為赫茲Hz(1/s) 與與正弦量的周期正弦量的周期T和頻率和頻率f 的關(guān)系：的關(guān)系： i與計時零點選擇有關(guān)，通常與計時零點選擇有關(guān)，通常| i | ，即在主值范圍取值。，即在主值范圍取值。 i(t)=Imcos( t + i ) i tiImi 0 iI Imi = 0 ti 2 2. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差 (phase difference) 設(shè)設(shè) u(t)=Umcos( t + u), i(t)=Imcos( t + i) u與與i 的相位差的相位差 j j = ( t+ u)- - (

10、t+ i)= u- - i常數(shù)常數(shù) j j 0， u 領(lǐng)先領(lǐng)先( 超前超前 )i ，或，或 i 落后落后( 滯后滯后 ) uj j 0， i 領(lǐng)先領(lǐng)先(超前超前) u，或，或u 落后落后(滯后滯后) i* *不同頻率正弦量無固定的相位關(guān)系不同頻率正弦量無固定的相位關(guān)系 tu, iu i u ij j0規(guī)定：規(guī)定： | j j | (180)特殊相位關(guān)系：特殊相位關(guān)系：j j = 0， 同相：同相： tu, i u i0j j = ( 180o ) ，反相：，反相： tu, iu i0 tu, iu i0 j j = 90，稱為正交，稱為正交 u 領(lǐng)先領(lǐng)先 i 90或或 i 落后落后 u 90

11、3. 正弦量的有效值正弦量的有效值 (effective value)i）周期量的有效值：）周期量的有效值：是一個在效應(yīng)（如熱效應(yīng)）上與周期是一個在效應(yīng)（如熱效應(yīng)）上與周期量在一個周期內(nèi)的平均效應(yīng)相等的直流量。量在一個周期內(nèi)的平均效應(yīng)相等的直流量。 TTTdtiRtdiRdttpW02002)( tdiRRTIT 022 令令RTIW2 設(shè)周期電流設(shè)周期電流i 通過電阻通過電阻R，電阻一周期內(nèi)吸收的能量為：電阻一周期內(nèi)吸收的能量為：Ri設(shè)直流電流設(shè)直流電流I通過電阻通過電阻R，電阻在時間電阻在時間T內(nèi)吸收的能量為：內(nèi)吸收的能量為：RI此即有效值的定義，又此即有效值的定義，又稱為稱為均方根值均方

12、根值電壓有效值電壓有效值 TttuTU02defd)(1設(shè)設(shè) i(t)=Imcos( t + i )，ttITITid ) (cos1022m TtttttTTT2121d2)(2cos1d ) (cos 0002 TdttiTI02)(1ii） 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值 IIIITITI2,707. 0221 mmm2m 解得：解得：即有即有 ) cos() cos()(m tItIti2I 可以替代可以替代Im作為正弦量的一個要素，因此作為正弦量的一個要素，因此 工程中一般說正弦電壓、電流的大小都指有效值。如測量工程中一般說正弦電壓、電流的大小都指有效值。如測量 儀表上

13、的刻度，設(shè)備名牌上的額定電壓、電流均指有效值。儀表上的刻度，設(shè)備名牌上的額定電壓、電流均指有效值。但電器設(shè)備的絕緣水平但電器設(shè)備的絕緣水平 耐壓值按最大值考慮。耐壓值按最大值考慮。注意注意:2 倍的關(guān)系。倍的關(guān)系。只適用正弦量，其他周期量的最大值與有效值之間無只適用正弦量，其他周期量的最大值與有效值之間無 Im = 2 I 8. 3相量法的基礎(chǔ)相量法的基礎(chǔ) 1. 相量法的理論基礎(chǔ)相量法的理論基礎(chǔ) 在線性電路中，在線性電路中，若激勵是正弦量若激勵是正弦量，則電路中各支路的電壓和，則電路中各支路的電壓和電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將是同頻率的正弦量；若電路中有多個同頻電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將是同頻率的正弦量；若電路中有

14、多個同頻率激勵源時，根據(jù)線性電路的疊加定理，則率激勵源時，根據(jù)線性電路的疊加定理，則電路的全部穩(wěn)態(tài)電路的全部穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都將是同頻率的正弦量響應(yīng)都將是同頻率的正弦量 這是一個基本的結(jié)果。這是一個基本的結(jié)果。從電路分析中常涉及到的計算看：有正弦量乘常數(shù)（歐姆定從電路分析中常涉及到的計算看：有正弦量乘常數(shù)（歐姆定律），正弦量的微分、積分（電感、電容電路的電壓電流約律），正弦量的微分、積分（電感、電容電路的電壓電流約束關(guān)系），同頻率正弦量的代數(shù)和（束關(guān)系），同頻率正弦量的代數(shù)和（KCL和和KVL）等運算，）等運算，其結(jié)果仍是一個同頻率的正弦量。其結(jié)果仍是一個同頻率的正弦量。 基于以上原因，在同頻正弦量的

15、電路計算中，基于以上原因，在同頻正弦量的電路計算中，是已知是已知 的常的常數(shù)，正弦量的三要素已退化成兩個要素，有效值（最大值）數(shù)，正弦量的三要素已退化成兩個要素，有效值（最大值）和初相，注意到一個復(fù)數(shù)（相量）也有兩個要素：模和輻角，和初相，注意到一個復(fù)數(shù)（相量）也有兩個要素：模和輻角，這使得可用復(fù)數(shù)表征一個正弦量的信息（要素）。這使得可用復(fù)數(shù)表征一個正弦量的信息（要素）。 電工技術(shù)中的非正弦周期函數(shù)，可以分解成頻率為整數(shù)倍的電工技術(shù)中的非正弦周期函數(shù)，可以分解成頻率為整數(shù)倍的正弦函數(shù)的無窮級數(shù)，最終歸結(jié)為這里討論的正弦穩(wěn)態(tài)分析。正弦函數(shù)的無窮級數(shù)，最終歸結(jié)為這里討論的正弦穩(wěn)態(tài)分析。2. 正弦量

16、的相量正弦量的相量 )cos(2 tIi復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù))tj(e2)( ItF) sin(2j) cos(2 tItI則則由由i的有效值和初的有效值和初相角構(gòu)成的復(fù)常數(shù)相角構(gòu)成的復(fù)常數(shù)即即i與與 jeI構(gòu)成了一一對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成了一一對應(yīng)關(guān)系 稱稱 jeI稱為正弦量稱為正弦量 i(t) 的的相量相量, 并記為并記為 IIeIj )(2RetjjeIe )(RetF 2Re)( tjIe解解：A30100o I已知已知例例1 1. .試用相量表示試用相量表示 i, u 。i =141.4cos(314t +300)Au =311.1cos(314t-600)V)cos(2)( tUtu正弦量的相量表示

17、正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位對于正弦電壓對于正弦電壓 V60220o - - U UU解解： A)cos(o15314250 ti例例2.試寫出電流的瞬時值表達式。試寫出電流的瞬時值表達式。. 50Hz A,1550o fI已知已知總之總之, , 由正弦量與它相應(yīng)相量之間的一一對應(yīng)關(guān)系由正弦量與它相應(yīng)相量之間的一一對應(yīng)關(guān)系, , 給出一給出一個正弦量個正弦量, , 就可以寫出它相應(yīng)的相量就可以寫出它相應(yīng)的相量; ; 反之反之, , 知道一個正弦知道一個正弦量的相量量的相量, , 則該正弦量也就被確

18、定。則該正弦量也就被確定。 3. 相量圖相量圖iiIItosIti ) (c)(2uuUUtosUtu )(c2)( i uU I相量圖相量圖: 相量是一個復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖。相量是一個復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖。4. 正弦量運算轉(zhuǎn)換為相應(yīng)相量運算正弦量運算轉(zhuǎn)換為相應(yīng)相量運算 (1) 同頻率正弦量的代數(shù)和同頻率正弦量的代數(shù)和)2(R) cos(2)(j1111teUetUtu )()( )(21tututu )2(R)2(Rj2j1tteUeeUe )22(R j2j1tteUeUe teUUe j21)(2R而而 teUetu j2R)(所以：所以： teUe j2R

19、 teUUe j21)(2R21UUU 上式對任何上式對任何t 都成立，所以總有：都成立，所以總有：)2(R) cos(2)(j2222teUetUtu 拓展到拓展到n個同頻率正弦量的代數(shù)和，有：個同頻率正弦量的代數(shù)和，有：nuuuu 21nUUUU 21niiii 21nIIII 21即，正弦量的加減運算對應(yīng)著其相應(yīng)相量的加減運算。即，正弦量的加減運算對應(yīng)著其相應(yīng)相量的加減運算。i2i1i解：解：1）由）由KCL，有：，有：)30cos(6)45cos(22 tt )45sinsin45cos(cos22tt - - )30sinsin30cos(cos6tt - - Attt)38cos(

20、23. 5sin22. 3cos12. 4 - - 例例1：電路如圖，電路如圖，,)30cos(62Ati 求電流求電流i 。,)45cos(221Ati 解：解：2）由已知，有：）由已知，有：AjI224521 AjI866. 05 . 0303,2 則則 i 的相量為：的相量為：AjIII3869. 328. 291. 221 所以所以Ati)38cos(269. 3 21iii 同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。相量圖在正同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。V )9 .41314co

21、s(267. 9)()()(o21 ttututuV604 V, 306o2o1 UU464. 6196. 7j 60430621 UUU464. 323196. 5jj V 9 .4167. 9o +1 +j301U602U9 .41U+1j301U9 .41U602U例例2： V )60314cos(24)(V, )30314cos(26)(o21 ttuttu求求 u = u1+ u2 。解：解：有：有：（2）正弦量的微分）正弦量的微分 證明：證明：iII tdid 的相量為：的相量為：2 iIIj) cos(2)(itIti 設(shè)設(shè)問題問題：已知正弦電流：已知正弦電流i （它的相量為（它

22、的相量為 I）, di/dt是與是與i 同頻率的同頻率的正弦量，求正弦量，求di/dt的相量的相量 。 結(jié)論結(jié)論： di/dt的相量為的相量為 Ij 則則dtdi2 RetjeIdtd )(2RetjeIj )2(RetjeIdtd (3) 正弦量得積分正弦量得積分證明：證明：iII )cos(2itIi 設(shè)設(shè) idt問題問題：已知正弦電流：已知正弦電流i （它的相量為（它的相量為 I）, 正弦量，求正弦量，求是與是與i 同頻率的同頻率的 idt的相量的相量 。 idt 結(jié)論結(jié)論：的相量為的相量為 idt jIdte Itj 2Re )2(Re dte Itj )(2RetjejI 2 - -

23、 iIjIdti相相量量為為的的即：即： 小結(jié)小結(jié) 正弦量正弦量相量相量時域時域 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域 同頻正弦量的運算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)相量的運算同頻正弦量的運算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)相量的運算iII ) tcos(I)t ( ii 2uUU ) tcos(U)t (uu 2nnIIIIiiii 2121 di/dt 的相量為的相量為 Ij 的相量為的相量為 jI idtii1i2LCR例例3：已知：已知：Ati)45314cos(2301 Ati)45314cos(2302- - 求電流求電流 i 。解：解：由由KCL: i = i1 + i2 ，故，故AI01453 AI02453- - 45345321- - I

24、II23223223223 - - jjAti314cos6 1I2II+j+10平行四邊形法則平行四邊形法則8. 4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式1. KCL、KVL的相量形式的相量形式 0)(ti2. R、L、C 電路元件電壓電流關(guān)系的相量形式電路元件電壓電流關(guān)系的相量形式 電阻元件電阻元件)cos(2)()(itRItRitu u(t)i(t)R+- -)tcos(I)t ( ii 2已知：已知：則則iII 故故IRRIUUiu 0U 0I 0)(tu即即R+- -UIIRU RIU iu 電阻的電壓與電流同相位電阻的電壓與電流同相位相量模形相量模形Iiu U 電感元件電感元件)

25、90cos(2d)(d)(o itILttiLtu )cos(2)(itIti iII uUU LIU 90 iu 電壓超前電流電壓超前電流90 UI相量圖相量圖i ILjU Uu 90 i LI i(t)u (t)L+- -時域模型時域模型相量模型相量模型j L+- -UI感抗和頻率成正比。感抗和頻率成正比。XL= U/I = L= 2 f L， 單位單位: 歐姆歐姆感感 抗抗; , ,; , 0 ),(0開路開路短路短路直流直流LLXX U= L IiuL IUL 錯誤的寫法錯誤的寫法 XL0)90(cos2d)(d)(o utCUttuCti 電容元件電容元件)(2)(utcosUtu

26、uUU iII ICjU 1- - 90- - iu U=I / C電壓滯后電流電壓滯后電流90 i IIU相量圖相量圖u UCjI CU 90 u 時域模型時域模型i (t)u(t)C+- -相量模型相量模型+- -IUCj 1容抗的絕對值和頻率成反比容抗的絕對值和頻率成反比容抗容抗; , 0 ,; , ),(0C旁旁路路作作用用隔隔直直作作用用直直流流CXX I= CUiuC 1IUC 1錯誤的寫法錯誤的寫法CXC 1- - ，單位，單位: CX0線性受控源亦可用相量法處理線性受控源亦可用相量法處理 時域：時域：uk = uj相量形式：相量形式：jkUU 小結(jié)：小結(jié)：在在關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)參考方向下

27、參考方向下相量形式的歐姆定律相量形式的歐姆定律以以VCVS為例為例電壓與電流同相位電壓與電流同相位電壓超前電流電壓超前電流90 電壓滯后電流電壓滯后電流90 R: L: C: IRU Riu ILjU dtdiLu ICjU 1- - idtCu1例例1. 電路如圖，已知電路如圖，已知 求穩(wěn)態(tài)解求穩(wěn)態(tài)解 i 。 ,)cos(2VtUuus LiRCus+uc + uR + uL 解：解：由由KVL，有，有CLRSuuuu idtcdtdiLRi1可用待定系數(shù)法求它的特解，即穩(wěn)態(tài)解可用待定系數(shù)法求它的特解，即穩(wěn)態(tài)解i 對上面的方程取相量，有：對上面的方程取相量，有：ICjILjIRUS 1- -

28、 iSICjLjRUI - - 1則則 )cos(2itIi j LR+ + + Cj 1- -LURUCUSUI解：解：AIS05 CLRUUU 例例2. 電路如圖，已知電路如圖，已知 R=3 ，L=1H，C=1 F， =314 rad/s， 求求uad、ubd 。,cos25Atis Li+aisRbcd+uc C+ uR uL相量形式相量形式j(luò) L+aRbcd+SICU- - RULU- - Cj 1- -A015 cdbcabadUUUU s ICjs ILjs IR 1- - s ICjLjR)1( - - Vs ICLj0)1( - - CLbdUUU s ICjs ILj 1-

29、- 0,)1000(cos215 bdaduVtu例例3. 電路如圖，各電流表的讀數(shù)（有效值）分別為電路如圖，各電流表的讀數(shù)（有效值）分別為 A1：5 A、 A2：20 A、A3：25 A，求電流表，求電流表A、A4 的讀數(shù)。的讀數(shù)。令令VUssU0 則則AI051 AjI2090202- - - - AjI2590253 由由 KCLAjjjIII52520324 - - A.jIII450775541 所以，所以，A 的讀數(shù)是的讀數(shù)是7.07A，A4 的讀數(shù)是的讀數(shù)是5A A2A3A4A1+- -Aj LRIsU1I3I4I2ICj 1- -解解:例例4. 電路如圖，已知電壓表的讀數(shù)（有效值）分別是電路如圖，已知電壓表的讀數(shù)（有效值）分別是 V2：60 V、 V3：20 V， Us=50 V，求電壓表，求電壓表V1 的讀數(shù)。的讀數(shù)。令