1、靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)靜電場(chǎng)中的電介質(zhì) 習(xí)題、例題分析習(xí)題、例題分析+25.2 兩個(gè)同心的薄金屬球殼，內(nèi)、外球殼的半徑分兩個(gè)同心的薄金屬球殼，內(nèi)、外球殼的半徑分別為別為R1=0.02m和和R2=0.06m. 球殼間充滿兩層均勻電球殼間充滿兩層均勻電介質(zhì)，它們的相對(duì)介電常數(shù)分別為介質(zhì)，它們的相對(duì)介電常數(shù)分別為r1r1=6和和r2r2=3. 兩層電介質(zhì)的分界面半徑為兩層電介質(zhì)的分界面半徑為R=0.04m.設(shè)內(nèi)球殼帶電設(shè)內(nèi)球殼帶電量為量為Q=610-8C，求：求：(1) D和和E的分布，并畫(huà)的分布，并畫(huà)Dr，E-r曲線；曲線；(2) 兩球殼之間的電勢(shì)差；兩球殼之間的電勢(shì)差；(3) 貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面

2、上的面束縛電荷密度貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度.R1R2R21001，：EDRr解解:(1) 由由D的高斯定理的高斯定理及及DE關(guān)系：關(guān)系： 易得易得)(0內(nèi)SiiSqSDdEDr03R1R2R21001，：EDRr21014rQERrRr：22024rQERrRr：2024rQERr：214 rQDRr： 4E,Dr0RR2R1-1-2-3-4-5R1R2R21D-r， E-r曲線如下圖所示曲線如下圖所示5R1R2R21(2) 兩球殼之間的電勢(shì)差為兩球殼之間的電勢(shì)差為2122021044RRrRRrLdrrQdrrQrdE)11(4)11(4220110RRQRRQrr)(10

3、750.33V代入有關(guān)數(shù)據(jù)求得代入有關(guān)數(shù)據(jù)求得6(3) 由由 及及 可得貼近內(nèi)金可得貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度為屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度為EPr)1(0nPEnEnPrr)1()1(10102110104)1(RQrr)/(10947.926mC75.4 一平板電容器板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為一平板電容器板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為r r的電介的電介質(zhì)而帶有電量質(zhì)而帶有電量Q . . 試證明：與金屬板相靠的電介質(zhì)表試證明：與金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為面所帶的面束縛電荷的電量為QQr)11 (rQQ證明：因?yàn)闊o(wú)電介質(zhì)存在時(shí)，電容器極板間的電場(chǎng)證明：因?yàn)闊o(wú)電介質(zhì)

4、存在時(shí)，電容器極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為強(qiáng)度為SQE000 因此極板間充滿了相對(duì)介電常數(shù)為因此極板間充滿了相對(duì)介電常數(shù)為r的電介質(zhì)后，的電介質(zhì)后，電容器極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)殡娙萜鳂O板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)镾QEErr00電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度為電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度為8rQQSQEErr00SQEPrr)11 ()1(0 圖中與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電圖中與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷密度為荷密度為SQEPnPrr)11 ()1(0上 故與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷故與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為的電量為QSQr)11 (上上 同法可求得與下金屬板相靠的電

5、介質(zhì)表面所帶的面同法可求得與下金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為束縛電荷的電量為QSQr)11 (下下P95.19 一平行板電容器面積為一平行板電容器面積為S，板間距離為，板間距離為d，板間以，板間以兩層厚度相同而相對(duì)介電常數(shù)分別為兩層厚度相同而相對(duì)介電常數(shù)分別為r1r1和和r2r2的電介的電介質(zhì)充滿質(zhì)充滿. .求此電容器的電容求此電容器的電容. 1r2r解：解：方法一：利用電容器串聯(lián)公式方法一：利用電容器串聯(lián)公式原電容器可看成是由兩個(gè)電容器原電容器可看成是由兩個(gè)電容器C1與與C2串聯(lián)而成，如右圖所示串聯(lián)而成，如右圖所示.2r1rC1C2dSCCrr0110112dSCCrr022

6、0222因此原電容器的電容為因此原電容器的電容為)(2212102121rrrrdSCCCCC10解：解：方法二：利用電容的定義公式方法二：利用電容的定義公式1r2rQQ設(shè)電容器帶電量為設(shè)電容器帶電量為Q，如圖所示，如圖所示. 則相對(duì)介電常數(shù)為則相對(duì)介電常數(shù)為r1r1的電介質(zhì)中的電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為的電場(chǎng)強(qiáng)度為SQEErrr01011101相對(duì)介電常數(shù)為相對(duì)介電常數(shù)為r2的電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為的電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為SQEErrr02022202那么，原電容器兩極板間的電勢(shì)差為那么，原電容器兩極板間的電勢(shì)差為)11(22221021rrSQddEdEU11)11(210rrSQdU1r2rQQ因

7、此，電容器的電容為因此，電容器的電容為)(221210rrrrdSUQC125.23 將一個(gè)將一個(gè)100pF的電容器充電到的電容器充電到100V，然后把它和，然后把它和電源斷開(kāi)，再把它和另一電容器并聯(lián)，最后電壓為電源斷開(kāi)，再把它和另一電容器并聯(lián)，最后電壓為30V.第二個(gè)電容器的電容多大？并聯(lián)時(shí)損失了多少電第二個(gè)電容器的電容多大？并聯(lián)時(shí)損失了多少電能？這電能哪里去了？能？這電能哪里去了？解解: 由于第一個(gè)電容器充電后與電源斷開(kāi)，所以其上由于第一個(gè)電容器充電后與電源斷開(kāi)，所以其上的電量保持不變的電量保持不變,設(shè)為設(shè)為Q0. 當(dāng)它與第二個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)，這電量將在這兩個(gè)當(dāng)它與第二個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)，這電量

8、將在這兩個(gè)電容器中重新分布，但總量不變電容器中重新分布，但總量不變. 于是有于是有UCUCUCQ21010所以有所以有1012CUUCC)(23310030100100pF13并聯(lián)時(shí)損失的電能為并聯(lián)時(shí)損失的電能為22012121CUUCW損221201)(2121UCCUC代入有關(guān)數(shù)據(jù)，可求得代入有關(guān)數(shù)據(jù)，可求得)(105 .37JW損這電能消耗在連接導(dǎo)線的焦耳熱上這電能消耗在連接導(dǎo)線的焦耳熱上145.3 兩共軸的導(dǎo)體圓筒的內(nèi)、外筒半徑分別為兩共軸的導(dǎo)體圓筒的內(nèi)、外筒半徑分別為R1和和R2，R22R1. 其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面半徑為其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面半徑為r0. 內(nèi)內(nèi)層介質(zhì)相對(duì)

9、介電常量為層介質(zhì)相對(duì)介電常量為r r1，外層介質(zhì)的相對(duì)介電常量，外層介質(zhì)的相對(duì)介電常量為為r r2，且，且r r2=r r1/ /2.兩層介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)都是兩層介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)都是Emax. 當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？?jī)赏查g能加的最大當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？?jī)赏查g能加的最大電勢(shì)差多大？電勢(shì)差多大？R1R2r0r1r2解：設(shè)內(nèi)圓筒帶電，其面電荷密度為解：設(shè)內(nèi)圓筒帶電，其面電荷密度為. . 則利用則利用D的高斯定理易得內(nèi)、外圓筒間的高斯定理易得內(nèi)、外圓筒間的電位移為的電位移為)(211RrRrRD場(chǎng)強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中)(011011rrRrREr外層介質(zhì)中外層介質(zhì)中)(22

10、01012012RrrrRrRErr15場(chǎng)強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中)(011011rrRrREr外層介質(zhì)中外層介質(zhì)中)(2201012RrrrRErR1R2r0r1r2顯然，內(nèi)層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在顯然，內(nèi)層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在r=R1處處10max1rE外層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在外層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在r=r0處處01010201max22rRrRErr因?yàn)橐驗(yàn)?，故，故 0212rRRmaxmax2max1EEE 由于當(dāng)電壓升高時(shí)，外層介質(zhì)場(chǎng)強(qiáng)總大于內(nèi)層介質(zhì)由于當(dāng)電壓升高時(shí)，外層介質(zhì)場(chǎng)強(qiáng)總大于內(nèi)層介質(zhì)場(chǎng)強(qiáng)，故外層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)，故外層介質(zhì)中的r0處先達(dá)到擊穿場(chǎng)強(qiáng)而被擊穿處先達(dá)到擊穿場(chǎng)

11、強(qiáng)而被擊穿.場(chǎng)強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中)(011011rrRrREr外層介質(zhì)中外層介質(zhì)中)(2201012RrrrRErR1R2r0r1r2內(nèi)外筒間的電壓為內(nèi)外筒間的電壓為20012121RrrRRRdrEdrErdEU0101max2rREr20011011012RrrrRrdrrRdrrR0210110101ln2lnrRRRrRrr0122max0maxln2rRRErU不致電介質(zhì)被擊穿的最大電壓為不致電介質(zhì)被擊穿的最大電壓為175.14 一個(gè)平行板電容器的每個(gè)板的面積為一個(gè)平行板電容器的每個(gè)板的面積為0.02m2,兩板兩板相距相距0.5mm，放在一個(gè)金屬盒子中，放在一個(gè)金屬盒

12、子中(如圖所示如圖所示). 電容器電容器兩板到盒子上下底面的距離各為兩板到盒子上下底面的距離各為0.25mm，忽略邊緣效，忽略邊緣效應(yīng)，求此電容器的電容應(yīng)，求此電容器的電容. 如果將一個(gè)板和盒子用導(dǎo)線連如果將一個(gè)板和盒子用導(dǎo)線連接起來(lái)，電容器的電容又是多大？接起來(lái)，電容器的電容又是多大？0.50mm0.25mm0.25mm解：分別以解：分別以A、B、H表示平行板表示平行板電容器的兩個(gè)極板和金屬盒子電容器的兩個(gè)極板和金屬盒子.ABH 那么，平行板電容器與金屬盒那么，平行板電容器與金屬盒子所組成的電容器系統(tǒng)的電路如子所組成的電容器系統(tǒng)的電路如圖圖1所示所示.AAH H BB圖圖1這一系統(tǒng)的等效電容

13、為這一系統(tǒng)的等效電容為)1 (BHAHBHAHABCCCCCC18)1 (BHAHBHAHABCCCCCCABH0.50mm0.25mm0.25mmAAH H BB圖圖1)2(10dSCAB其中其中 S=0.02m2,d1=0.50mm=510-4m)3(20dSCCBHAH其中其中 S=0.02m2,d2=0.25mm=2.510-4m由由(1)、(2)、(3)式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得)(1008.710FC19ABH0.50mm0.25mm0.25mm圖圖2 當(dāng)平行板電容器的一個(gè)極板當(dāng)平行板電容器的一個(gè)極板(如如B板板)與盒子用導(dǎo)線相連接的情況與盒子用導(dǎo)線相連接的情

14、況,如圖如圖2所示所示.圖圖3AAH H BBAAHB此系統(tǒng)的電路如圖此系統(tǒng)的電路如圖3所示所示.這一系統(tǒng)的等效電容為這一系統(tǒng)的等效電容為)4(AHABCCC代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得)(1006.19FC20dahr r圖圖15.20 一種利用電容器測(cè)量油箱中油量的裝置示意圖如圖一種利用電容器測(cè)量油箱中油量的裝置示意圖如圖1所示所示. 附接電子線路能測(cè)出等效相對(duì)介電常量附接電子線路能測(cè)出等效相對(duì)介電常量r,effr,eff( (即即電容相當(dāng)而充滿板間的電介質(zhì)的相對(duì)介電常量電容相當(dāng)而充滿板間的電介質(zhì)的相對(duì)介電常量). ). 設(shè)電設(shè)電容器兩板的高度都是容器兩板的高度都是a，試導(dǎo)出，試導(dǎo)

15、出等效相對(duì)介電常量和油等效相對(duì)介電常量和油面高度的關(guān)系，以面高度的關(guān)系，以r r表示油的相對(duì)介電常量表示油的相對(duì)介電常量. .就汽油就汽油( (r r=1.95) )和甲醇和甲醇( (r r=33) )相比，哪種燃料更適宜用此相比，哪種燃料更適宜用此油量計(jì)？油量計(jì)？解：設(shè)圖解：設(shè)圖1中兩板的距離為中兩板的距離為d，板的寬度，板的寬度為為b. 該裝置相當(dāng)于兩個(gè)電容器并聯(lián)，其中該裝置相當(dāng)于兩個(gè)電容器并聯(lián)，其中一個(gè)電容器極板間充滿油料一個(gè)電容器極板間充滿油料. 等效電容為等效電容為21CCC其中其中，dbhaC)(01dhbCr0221)1(0rhadbCdabr0dahr r圖圖1由此可得等效相對(duì)

16、介電常量為由此可得等效相對(duì)介電常量為ahreffr)1(1， 由此式知，當(dāng)由此式知，當(dāng)r較大，則液面高度有較大，則液面高度有同樣的變化同樣的變化時(shí)，時(shí)，r r，effeff較大較大. .因?yàn)榧状嫉南鄬?duì)介電常量因?yàn)榧状嫉南鄬?duì)介電常量(r=33)比汽油的相對(duì)介電常量比汽油的相對(duì)介電常量(r=1.95)大，大，故甲醇故甲醇更適宜更適宜用此油量計(jì)用此油量計(jì).，dbhaC)(01dhbCr02所以等效電容為所以等效電容為225.21 一球形電容器的兩球間下半部充滿了相對(duì)介電常量一球形電容器的兩球間下半部充滿了相對(duì)介電常量為為r r的油，它的電容較未充油前變化了多少？的油，它的電容較未充油前變化了多少？R

17、1R2解：設(shè)球形電容器的兩球的半徑分別是解：設(shè)球形電容器的兩球的半徑分別是R1和和R2. 未充油前，球形電容器的電容為未充油前，球形電容器的電容為1221004RRRRC 充油后，球形電容器相當(dāng)兩個(gè)半球形電容器并聯(lián)而充油后，球形電容器相當(dāng)兩個(gè)半球形電容器并聯(lián)而成，故其電容為成，故其電容為122101221022RRRRRRRRCr由以上兩式可求得它的電容較未充油前變化了由以上兩式可求得它的電容較未充油前變化了0021CCCCr235.18 將一個(gè)將一個(gè)12F的電容器和兩個(gè)的電容器和兩個(gè)2 F的電容器連接起的電容器連接起來(lái)組成電容為來(lái)組成電容為3F的電容器組的電容器組. .如果每個(gè)電容器的擊穿如

18、果每個(gè)電容器的擊穿電壓都是電壓都是20000V，則此電容器組能承受的最大電壓是多，則此電容器組能承受的最大電壓是多大？大？ 解：將一個(gè)解：將一個(gè)12F的電容器和兩個(gè)的電容器和兩個(gè)2 F的電容器連接起的電容器連接起來(lái)組成電容為來(lái)組成電容為3 F的電容器組，則只有如圖的電容器組，則只有如圖1所示的連所示的連接才行接才行.圖圖112F2F2F其等效電路如圖其等效電路如圖2所示所示.圖圖212F4FC1C2其中其中C1、C2的擊穿電壓都是的擊穿電壓都是200V.設(shè)電容器帶有電量為設(shè)電容器帶有電量為Q，則有，則有2211UCUCQ由此可得由此可得34121221CCUU24321UU圖圖112F2F2F圖圖212F4FC1C2設(shè)此電容器組所承受的電壓為設(shè)此電容器組所承受的電壓為U，則有，則有21UUU由以上兩式求得由以上兩式求得UUUU414321，因?yàn)橐驗(yàn)閂UVU20020021，故故VU267這表明此電容器組能承受的最大電壓是這表明此電容器組能承受的最大電壓是Umax=267V255.2