1、青島農(nóng)業(yè)大學(xué)第二篇 幾 何青島農(nóng)業(yè)大學(xué)第第6章章 曲線與曲面曲線與曲面青島農(nóng)業(yè)大學(xué)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)從從表示形式表示形式來(lái)看，曲線可分成兩大類(lèi)：來(lái)看，曲線可分成兩大類(lèi)：規(guī)則曲線規(guī)則曲線自由曲線自由曲線可以用可以用標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程描述的曲線。如圓、描述的曲線。如圓、橢圓、拋物線、雙曲線、漸開(kāi)線、橢圓、拋物線、雙曲線、漸開(kāi)線、擺線等擺線等無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)方程描述無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)方程描述的曲線，通常的曲線，通常由一系列由一系列實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)確定。如汽車(chē)確定。如汽車(chē)的外形曲線、等高線等。的外形曲線、等高線等。曲線曲線青島農(nóng)業(yè)大學(xué)r 從從生成算法生成算法來(lái)看來(lái)看，曲線可分成兩大類(lèi)：，曲線可分成兩大類(lèi)：

2、q擬合型擬合型q設(shè)計(jì)型設(shè)計(jì)型對(duì)對(duì)已經(jīng)存在的離散點(diǎn)列已經(jīng)存在的離散點(diǎn)列構(gòu)造出盡可能光滑構(gòu)造出盡可能光滑的曲線，以直觀（而忠實(shí)）地反映出實(shí)驗(yàn)的曲線，以直觀（而忠實(shí)）地反映出實(shí)驗(yàn)特性、變化規(guī)律和趨勢(shì)等。特性、變化規(guī)律和趨勢(shì)等。 設(shè)計(jì)人員對(duì)其所設(shè)計(jì)的曲線并無(wú)定量的設(shè)計(jì)人員對(duì)其所設(shè)計(jì)的曲線并無(wú)定量的概念，而是在設(shè)計(jì)過(guò)程中概念，而是在設(shè)計(jì)過(guò)程中即興發(fā)揮即興發(fā)揮。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)r曲線的表示方法曲線的表示方法 r參數(shù)表示參數(shù)表示 r非參數(shù)表示非參數(shù)表示r顯示表示顯示表示r隱式表示隱式表示青島農(nóng)業(yè)大學(xué)r顯示表示顯示表示 r隱式表示隱式表示 y=f x, =0f x y青島農(nóng)業(yè)大學(xué)r參數(shù)表示參數(shù)表示 r參數(shù)的含義參

3、數(shù)的含義 = , =x x tta by y tt t：表示時(shí)間，距離，角度，比例等等：表示時(shí)間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間規(guī)范參數(shù)區(qū)間00，11青島農(nóng)業(yè)大學(xué)以直線為例以直線為例n已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)P1（x1，y1）和終點(diǎn)坐標(biāo)）和終點(diǎn)坐標(biāo)P2（x2，y2）,直線的直線的顯式方程顯式方程表示為：表示為：)(112121xxxxyyyyn直線的隱式方程表示為：211121(y)()0yyf xyyxxxx，青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n直線的參數(shù)方程表示為： tyyyytxxxx)()(121121，t0,1青島農(nóng)業(yè)大學(xué)1 1）用參數(shù)表示的曲線形狀本質(zhì)與）用參數(shù)表示的曲線形狀本質(zhì)與坐標(biāo)系的

4、選取坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)，具有無(wú)關(guān)，具有幾幾 何不變性；何不變性；2 2）有更大自由度來(lái)控制曲線的形狀；）有更大自由度來(lái)控制曲線的形狀；3 3）容易實(shí)現(xiàn)各種線性變換運(yùn)算；）容易實(shí)現(xiàn)各種線性變換運(yùn)算；4 4）曲線的端點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)等計(jì)算簡(jiǎn)單，避免了無(wú)窮大斜率的問(wèn)題；曲線的端點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)等計(jì)算簡(jiǎn)單，避免了無(wú)窮大斜率的問(wèn)題；5 5）便于曲線的分段描述；）便于曲線的分段描述；6 6）易于處理多值問(wèn)題；）易于處理多值問(wèn)題；7 7）參數(shù)的變化約定為參數(shù)的變化約定為0,10,1，自然規(guī)定了曲線是，自然規(guī)定了曲線是有界有界的。的。參數(shù)表示法的優(yōu)越性：參數(shù)表示法的優(yōu)越性：青島農(nóng)業(yè)大學(xué)插值法插值法逼近法逼近法青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 通過(guò)

5、測(cè)量或計(jì)算得到的通過(guò)測(cè)量或計(jì)算得到的曲線曲線上上少量描述曲線幾何形狀少量描述曲線幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。型值點(diǎn)型值點(diǎn) 控制點(diǎn)控制點(diǎn) 用來(lái)控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點(diǎn)用來(lái)控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點(diǎn)（不一定在曲線上）（不一定在曲線上） 插值點(diǎn)插值點(diǎn) 在型值點(diǎn)或控制點(diǎn)之間插入的一系列點(diǎn)。在型值點(diǎn)或控制點(diǎn)之間插入的一系列點(diǎn)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n線性插值線性插值：假設(shè)給定函數(shù)：假設(shè)給定函數(shù)f(x)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1x1和和x2x2的值，用線形函數(shù)的值，用線形函數(shù) y=y=(x)=(x)=ax+bax+b近似代替，近似代替，稱(chēng)稱(chēng)(x)(x)為為f(x)f(x)的線性插值函數(shù)。的線性

6、插值函數(shù)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)拋物線插值拋物線插值(二次插值二次插值) 已知已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)在三個(gè)互異點(diǎn)x1,x2,x3的函數(shù)值為的函數(shù)值為y1,y2,y3，要求構(gòu)造函數(shù)要求構(gòu)造函數(shù) y = (x)=ax2+bx+c,使得使得 (x)在在xi處與處與f(x)在在xi處的值相等。處的值相等。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n逼近逼近n構(gòu)造一條曲線使之在構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)對(duì)這定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近逼近，所構(gòu)造的曲線稱(chēng)為所構(gòu)造的曲線稱(chēng)為逼逼近曲線。近曲線。n用這種方法建立的曲用這種方法建立的曲線數(shù)學(xué)模型只是線數(shù)學(xué)模型只是近似近似地接近已知的控制點(diǎn)

7、，地接近已知的控制點(diǎn)，并不一定完全通過(guò)所并不一定完全通過(guò)所有的控制點(diǎn)。有的控制點(diǎn)?？刂泣c(diǎn)控制點(diǎn)控制多邊形控制多邊形或或特征多邊形特征多邊形青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n擬合擬合： 在曲線曲面的設(shè)計(jì)過(guò)程中，用在曲線曲面的設(shè)計(jì)過(guò)程中，用插值插值或或逼近逼近的方法使生的方法使生成的曲線曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求成的曲線曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)要求。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n構(gòu)造復(fù)雜曲線時(shí)，可以首先構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的自由構(gòu)造復(fù)雜曲線時(shí)，可以首先構(gòu)造一些簡(jiǎn)單的自由曲線曲線, ,然后將這些簡(jiǎn)單曲線段連接成復(fù)雜曲線。然后將這些簡(jiǎn)單曲線段連接成復(fù)雜曲線。n拼接條件拼接條件：首先必須有連接點(diǎn)，其次必須在連接：首先必須有連接點(diǎn)，其次必須在連接點(diǎn)處平滑過(guò)渡，即

8、需要滿(mǎn)足連續(xù)性條件。點(diǎn)處平滑過(guò)渡，即需要滿(mǎn)足連續(xù)性條件。n連續(xù)性條件有兩種：連續(xù)性條件有兩種：參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性和和幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n零階參數(shù)連續(xù)性（零階參數(shù)連續(xù)性（記作記作C0）：）：n指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n一階參數(shù)連續(xù)性一階參數(shù)連續(xù)性（記作（記作C1）n相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n二階參數(shù)連續(xù)性二階參數(shù)連續(xù)性（記作（記作C2）n指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。和二階導(dǎo)數(shù)。青島農(nóng)

9、業(yè)大學(xué)n幾何連續(xù)性只要求導(dǎo)數(shù)成比例，而不是相等。幾何連續(xù)性只要求導(dǎo)數(shù)成比例，而不是相等。 n零階幾何連續(xù)性零階幾何連續(xù)性（記作（記作 G 0）：）：n與零階參數(shù)連續(xù)性相同，即相鄰兩個(gè)曲線段與零階參數(shù)連續(xù)性相同，即相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)。在交點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n一階幾何連續(xù)性一階幾何連續(xù)性（記作（記作 G 1）n指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)成比例，但大小不一定相等。例，但大小不一定相等。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n二階幾何連續(xù)性（記作二階幾何連續(xù)性（記作 G 2）n指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的一階和二階

10、導(dǎo)數(shù)成比例，即曲率一致。數(shù)成比例，即曲率一致。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n在汽車(chē)制造廠里，傳統(tǒng)上采用在汽車(chē)制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條樣條繪制曲線的形狀。繪制曲線的形狀。n繪圖員彎曲樣條（如繪圖員彎曲樣條（如彈性細(xì)木條彈性細(xì)木條）通過(guò)各實(shí)測(cè)點(diǎn)，其）通過(guò)各實(shí)測(cè)點(diǎn)，其它地方自然過(guò)渡，然后沿樣條畫(huà)下曲線，即得到它地方自然過(guò)渡，然后沿樣條畫(huà)下曲線，即得到樣條樣條曲線曲線（Spline Curve)Spline Curve)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線樣條曲線是指由是指由多項(xiàng)式曲線段多項(xiàng)式曲線段（可為規(guī)則（可為規(guī)則/ /自由曲線段）連接而成的曲線，在每段自由曲線段）連接而成的曲線，在每段

11、的的邊界處邊界處滿(mǎn)足特定的連續(xù)性條件。滿(mǎn)足特定的連續(xù)性條件。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n通常通常：進(jìn)行分段插值：進(jìn)行分段插值nn+1個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行分段，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型；個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行分段，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型；n在線段交點(diǎn)處，設(shè)置邊界條件進(jìn)行光滑連接。在線段交點(diǎn)處，設(shè)置邊界條件進(jìn)行光滑連接。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)構(gòu)造通過(guò)構(gòu)造通過(guò)5個(gè)型值點(diǎn)的拋物線參數(shù)樣條曲線個(gè)型值點(diǎn)的拋物線參數(shù)樣條曲線P1P1P2P2P3P3P4P4P5P5 這樣構(gòu)造出來(lái)的拋物線參數(shù)樣條曲線完全通過(guò)給定的這樣構(gòu)造出來(lái)的拋物線參數(shù)樣條曲線完全通過(guò)給定的5 5型值型值點(diǎn)，除了點(diǎn)，除了P1P1到到P2P2的區(qū)間的區(qū)間, P4, P4到到P5P5的區(qū)間其他兩

12、個(gè)型值點(diǎn)之間都的區(qū)間其他兩個(gè)型值點(diǎn)之間都是重合區(qū)間是重合區(qū)間青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n從從a3x到到a0z有有12個(gè)系數(shù)為個(gè)系數(shù)為代數(shù)系數(shù)代數(shù)系數(shù)，它們確定了這，它們確定了這條參數(shù)曲線的形狀和位置。條參數(shù)曲線的形狀和位置。系數(shù)不同則曲線不同系數(shù)不同則曲線不同。n把上述的代數(shù)方程改寫(xiě)為把上述的代數(shù)方程改寫(xiě)為矢量形式矢量形式nP(t)表示曲線上任一點(diǎn)的位置矢量；系數(shù)表示曲線上任一點(diǎn)的位置矢量；系數(shù)a0表示表示(a0 x,a0y,a0z)一般的三次參數(shù)樣條曲線的一般的三次參數(shù)樣條曲線的代數(shù)形式代數(shù)形式青島農(nóng)業(yè)大學(xué)3210321023211321(0)000(1)111(0)32(1)32PaaaaPaaaaPa

13、 ta taaPaaa 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)000013111112000101132100PaPaPaPa130001022110211111332111001000010003210110001aPPaPPaPPaPP3210321023211321(0)000(1)111(0)32(1)32PaaaaPaaaaPa ta taaPaaa 矩陣形式：矩陣形式：則：則：青島農(nóng)業(yè)大學(xué)2211332100101000Mh3232( )110aaP ttttaa3201( )101PPP ttttMhPP令三次參數(shù)樣條曲線方程可以寫(xiě)成：三次參數(shù)樣條曲線方程可以寫(xiě)成：根據(jù)：Hermite矩陣矩陣三次三次He

14、rmite樣樣條曲線的方程條曲線的方程青島農(nóng)業(yè)大學(xué)因?yàn)樗鼈冋{(diào)和了邊界約束值，使在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生曲線的因?yàn)樗鼈冋{(diào)和了邊界約束值，使在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生曲線的坐標(biāo)值。坐標(biāo)值。調(diào)和函數(shù)僅與參數(shù)調(diào)和函數(shù)僅與參數(shù)t t有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)有關(guān)，而與初始條件無(wú)關(guān)。 其中其中:稱(chēng)為稱(chēng)為Hermite樣條調(diào)和函數(shù)樣條調(diào)和函數(shù)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)nHermite Hermite 樣條曲線樣條曲線通過(guò)給定的通過(guò)給定的N N個(gè)型值點(diǎn)個(gè)型值點(diǎn)構(gòu)造，構(gòu)造，每每?jī)蓚€(gè)型值點(diǎn)之間生成一條兩個(gè)型值點(diǎn)之間生成一條HermiteHermite曲線段曲線段， Hermite Hermite 樣條曲線由樣條曲線由N-1N-1條首尾相連的

15、條首尾相連的HermiteHermite曲曲線構(gòu)成，并且線構(gòu)成，并且相鄰的相鄰的HermiteHermite曲線段在連接點(diǎn)處二曲線段在連接點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)相等階導(dǎo)數(shù)相等（C2C2連續(xù)性）連續(xù)性）nHermiteHermite曲線段定義曲線段定義：給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)Pi Pi 、 Pi+1Pi+1和和兩端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)兩端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)RiRi和和Ri+1Ri+1構(gòu)造而成構(gòu)造而成。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)例例1：給定：給定9個(gè)型值點(diǎn)，其中起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，從而其特個(gè)型值點(diǎn)，其中起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，從而其特征多邊形是一個(gè)首尾相接的封閉多邊形，具體坐標(biāo)位置如下：征多邊形是一個(gè)首尾

16、相接的封閉多邊形，具體坐標(biāo)位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)數(shù)值如下：假定各點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)數(shù)值如下：（70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）,（70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用用Hermite插值方法繪制曲線。插值方法繪制曲線。解：解：p0=(100,300) p1=(120,200) p0 =(70,-70) p1 =(70,-70

17、)For(t=0;t=1;t=t+0.1)或或For(t=0;t 兩段三次Hermite曲線： Q1(t1)=a3t13 + a2t12+ a1t11+ a0 t10 1 Q2(t2)=b3t23+ b2t22+ b1t21+ b0 t20 1 要達(dá)到C2連續(xù)，其系數(shù)必須滿(mǎn)足下列關(guān)系式： a3 + a2 + a1 + a0 = b0 3a3 + 2a2 + a1 = b1 6a3 + 2a2 =2 b2青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 1962 1962年，法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的年，法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的P.E.BezierP.E.Bezier提出了一提出了一種種函數(shù)逼近函數(shù)逼近和和幾何表示幾何表示相結(jié)合的參數(shù)曲線表示方

18、法，用相結(jié)合的參數(shù)曲線表示方法，用這種方法生成的曲線稱(chēng)為這種方法生成的曲線稱(chēng)為BezierBezier曲線曲線。這種方法的特點(diǎn)。這種方法的特點(diǎn)是是所輸入型值點(diǎn)與生成曲線之間的關(guān)系明確，能比較方所輸入型值點(diǎn)與生成曲線之間的關(guān)系明確，能比較方便地通過(guò)修改輸入?yún)?shù)來(lái)改變曲線的形狀和階次。便地通過(guò)修改輸入?yún)?shù)來(lái)改變曲線的形狀和階次。青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 由一組由一組多邊折線的頂點(diǎn)多邊折線的頂點(diǎn)定義定義, ,在多邊折線的各頂點(diǎn)在多邊折線的各頂點(diǎn)中，只有中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上, , 第一條和最后一第一條和最后一條折線分別表示出曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處切線方向條折線分別表示出曲線在起點(diǎn)和

19、終點(diǎn)處切線方向。曲線。曲線的形狀趨向于多邊折線的形狀，因此，多邊折線又稱(chēng)為的形狀趨向于多邊折線的形狀，因此，多邊折線又稱(chēng)為特征多邊形特征多邊形，其頂點(diǎn)稱(chēng)為，其頂點(diǎn)稱(chēng)為控制點(diǎn)?？刂泣c(diǎn)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué),0( )( )nkk nkP uP Buu0,1P Pk k為各頂點(diǎn)的位置向量為各頂點(diǎn)的位置向量(x(xk k,y,yk k,z,zk k) )， 稱(chēng)為伯恩稱(chēng)為伯恩斯坦（斯坦（BernstainBernstain）基函數(shù)，也稱(chēng)為特征多邊形各頂）基函數(shù)，也稱(chēng)為特征多邊形各頂點(diǎn)位置向量之間的調(diào)和函數(shù)，其定義如下點(diǎn)位置向量之間的調(diào)和函數(shù)，其定義如下,(u)k nB Bezier曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴(lài)于確定該段曲線

20、的控制點(diǎn)曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴(lài)于確定該段曲線的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)，通常由（通常由（n1）個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)）個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式，曲，曲線上各點(diǎn)參數(shù)方程式為：線上各點(diǎn)參數(shù)方程式為：n次多項(xiàng)式曲線次多項(xiàng)式曲線P(u)稱(chēng)為稱(chēng)為n次次Bezier曲線曲線青島農(nóng)業(yè)大學(xué) ,(1)kkn kk nnBuC uu!(1)!()!kn knuuk nk(k0,1,.,n)其中：參數(shù)其中：參數(shù)u u的取值范圍為的取值范圍為0,10,1，n n是多項(xiàng)式次數(shù)是多項(xiàng)式次數(shù), , 也是也是曲線次數(shù)。規(guī)定曲線次數(shù)。規(guī)定 0 0！=1=1，0 00 0=1=1。注意：注意：BezierBezier曲線是一個(gè)階數(shù)比控制點(diǎn)少曲

21、線是一個(gè)階數(shù)比控制點(diǎn)少1 1的多項(xiàng)式。的多項(xiàng)式。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué) n=1 n=1時(shí)，有兩個(gè)控制點(diǎn)時(shí)，有兩個(gè)控制點(diǎn)P P0 0和和P P1 1一次一次BezierBezier曲線是連接起點(diǎn)曲線是連接起點(diǎn)P P0 0和終點(diǎn)和終點(diǎn)P P1 1的直線段。的直線段。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n=2n=2，有三個(gè)控制點(diǎn)，有三個(gè)控制點(diǎn)P P0 0、P P1 1和和P P2 2： 二次二次BezierBezier曲線是一條以曲線是一條以P P0 0為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，P P2 2為終點(diǎn)的拋物線。為終點(diǎn)的拋物線。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n=3n=3，有四個(gè)控制點(diǎn)，有四個(gè)控制點(diǎn)P P0 0、P P1 1、P P2 2和和P P3 3： 0P

22、1P2P3P圖3.1.8 三次Bezier曲線0P1P2P3P三次三次BezierBezier曲線是自由曲線。曲線是自由曲線。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與特征多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與特征多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合000!(0)0(1 0)0!(0)!nnPPPn0!(1)1(1 1)!()!nnnnPPPn nn對(duì)伯恩斯坦基函數(shù)來(lái)說(shuō)，有：對(duì)伯恩斯坦基函數(shù)來(lái)說(shuō)，有： 當(dāng)當(dāng)u u0 0時(shí)，只有時(shí)，只有k k0 0的項(xiàng)不為的項(xiàng)不為0 0，其它項(xiàng)都為，其它項(xiàng)都為uk k0 0k k0 0 當(dāng)當(dāng)u 1 1時(shí)，只有時(shí)，只有k=nk=n的項(xiàng)不為的項(xiàng)不為0 0，其它項(xiàng)都為，其它項(xiàng)都為(1-u)

23、(1-u)n-kn-k 0 0n-kn-k0 0青島農(nóng)業(yè)大學(xué)端點(diǎn)切線端點(diǎn)切線 Bezier Bezier曲線在起點(diǎn)處的切線位于前兩個(gè)控制點(diǎn)的連曲線在起點(diǎn)處的切線位于前兩個(gè)控制點(diǎn)的連線上，而終點(diǎn)處的切線位于最后兩個(gè)控制點(diǎn)的連線上，線上，而終點(diǎn)處的切線位于最后兩個(gè)控制點(diǎn)的連線上，即即曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向與起始折線段和終止折曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向與起始折線段和終止折線段的走向一致。線段的走向一致。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 10,1,11,1!11!1,2,1nnnn nn in iiii nunuununuiuniuiniinBBuuB 111,01( )1( )nnnii nniP unuPBun

24、ppu 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)在起始點(diǎn)在起始點(diǎn)u u0, B0, B1,n-11,n-1(0)(0)1 1，其余項(xiàng)均為，其余項(xiàng)均為0 0，故有，故有: : P(0) P(0)n(Pn(P1 1P P0 0) )在終止點(diǎn)在終止點(diǎn)u u1, B1, Bn-1,n-1n-1,n-1(1)(1)1 1，其余項(xiàng)均為，其余項(xiàng)均為0 0，故有，故有: : P(1)= n(P P(1)= n(Pn nP Pn-1n-1) ) Bezier曲線在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)只同相近的兩個(gè)控曲線在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)只同相近的兩個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，其方向相同于兩點(diǎn)的連線方向制點(diǎn)有關(guān)，其方向相同于兩點(diǎn)的連線方向。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)對(duì)參數(shù)

25、對(duì)參數(shù)t求二階導(dǎo)數(shù)可得：求二階導(dǎo)數(shù)可得： 在起始點(diǎn)在起始點(diǎn)t t0 0處的二階導(dǎo)數(shù)為：處的二階導(dǎo)數(shù)為： P P”(0)(0)n(nn(n1)(P1)(P2 22P2P1 1P P0 0) ) =n(n-1)(P =n(n-1)(P2 2P P1 1)-(P)-(P1 1-P-P0 0)在終止點(diǎn)在終止點(diǎn)t t1 1處的二階導(dǎo)數(shù)為：處的二階導(dǎo)數(shù)為： P P”(1)(1)n(nn(n1)(P1)(Pn n2P2Pn-1n-1P Pn-2n-2) ) =n(n-1)( P =n(n-1)( Pn-2n-2P Pn-1n-1)-(P)-(Pn-1n-1P Pn n)結(jié)論：結(jié)論：BezierBezier曲

26、線在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)只同相近的三個(gè)曲線在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)只同相近的三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)?？刂泣c(diǎn)有關(guān)。那么，那么，BezierBezier曲線在端點(diǎn)處的曲線在端點(diǎn)處的r r階導(dǎo)數(shù)是由與端階導(dǎo)數(shù)是由與端點(diǎn)點(diǎn)r+1r+1個(gè)鄰近的控制多邊形頂點(diǎn)來(lái)決定。個(gè)鄰近的控制多邊形頂點(diǎn)來(lái)決定。221,20( )(1)(2)( )niiii niP tn nPPP Bt青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 由由BezierBezier曲線的數(shù)學(xué)定義知，曲線的形狀由特征多曲線的數(shù)學(xué)定義知，曲線的形狀由特征多邊形的頂點(diǎn)邊形的頂點(diǎn)P Pk k(k(k0,1,.,n)0,1,.,n)唯一確定，與坐標(biāo)系的選唯一確定，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)取無(wú)關(guān), ,這就是幾

27、何不變性這就是幾何不變性。幾何不變性幾何不變性 保持控制多邊形的頂點(diǎn)位置不變，僅僅把它們的順保持控制多邊形的頂點(diǎn)位置不變，僅僅把它們的順序顛倒一下，將下標(biāo)為序顛倒一下，將下標(biāo)為k k的控制點(diǎn)的控制點(diǎn)P Pk k改為下標(biāo)為改為下標(biāo)為n-kn-k的控的控制點(diǎn)制點(diǎn)P Pn-kn-k時(shí)，曲線保持不變，只是走向相反而已。時(shí)，曲線保持不變，只是走向相反而已。 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性 青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 落在特征多邊形頂點(diǎn)所形成的落在特征多邊形頂點(diǎn)所形成的凸包凸包內(nèi)。即當(dāng)特征多內(nèi)。即當(dāng)特征多邊形為凸時(shí)，邊形為凸時(shí)，BezierBezier曲線也是凸的；當(dāng)特征多邊形有凹曲線也是凸的；當(dāng)特征多邊形有凹有凸時(shí)，其曲線的凸凹形狀與

28、之對(duì)應(yīng)。有凸時(shí)，其曲線的凸凹形狀與之對(duì)應(yīng)。 BezierBezier曲線的凸包性質(zhì)保證了曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前曲線的凸包性質(zhì)保證了曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前進(jìn)而不會(huì)振蕩。進(jìn)而不會(huì)振蕩。凸包性凸包性青島農(nóng)業(yè)大學(xué)變差縮減性變差縮減性 對(duì)于平面Bezier曲線，平面內(nèi)任意一條直線與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。 Bezier曲線比特征多邊形的折線更光滑。青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 幾何設(shè)計(jì)中，一條幾何設(shè)計(jì)中，一條BezierBezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。由于增加特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會(huì)引起線形狀。由于增加特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會(huì)引起B(yǎng)ezierBezier曲曲線次數(shù)的提高

29、，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難。線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難。 一般采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來(lái)，一般采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來(lái)，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。并在接合處保持一定的連續(xù)條件。 下面討論兩段下面討論兩段BezierBezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n設(shè)有兩段三次設(shè)有兩段三次BezierBezier曲線曲線P(t)P(t)和和Q(t)Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0, 1, ., n)Pi(i=0, 1, ., n)和和Qj(j=0,1,., m)Qj(j=0,1,.,

30、 m)，如下圖所示。，如下圖所示。an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)（1 1）要使它們達(dá)到）要使它們達(dá)到G G0 0連續(xù)的充要條件是：連續(xù)的充要條件是：P Pn n= = Q Q0 0；（2 2）要使它們達(dá)到）要使它們達(dá)到G G1 1連續(xù)的充要條件：連續(xù)的充要條件：P2P3(Q0)Q1三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線第一段曲線終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：第一段曲線終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為： P(1)3(P3P2) 第二段曲線起點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：第二段曲線起點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為： Q(0)3(Q0Q1) 一階導(dǎo)數(shù)要連續(xù)，則應(yīng)有一階導(dǎo)數(shù)要連續(xù)，則應(yīng)有P P(1)(1)Q Q(0)(0)

31、，即，即: : P P3 3P P2 2 （Q Q1 1Q Q0 0） 也即要求也即要求P2P3(Q0)Q1三點(diǎn)共線。三點(diǎn)共線。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)（3 3）要使它們達(dá)到）要使它們達(dá)到G G2 2連續(xù)的充要條件是：連續(xù)的充要條件是：在在G G1 1連續(xù)的條件下，連續(xù)的條件下，滿(mǎn)足滿(mǎn)足P Pn-2n-2、P Pn-1n-1、P Pn n(Q(Q0 0) )、Q Q1 1、Q Q2 2 五點(diǎn)共面，且五點(diǎn)共面，且P Pn-2n-2和和Q Q2 2或者同或者同在直線在直線P Pn-1n-1Q Q1 1上或位于上或位于P Pn-1n-1Q Q1 1同側(cè)。同側(cè)。 第一段曲線終點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：第一段曲線終點(diǎn)處的二

32、階導(dǎo)數(shù)為： P”(1)6(Pn2Pn-1Pn-2)第二段曲線起點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：第二段曲線起點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為： Q”(0)6(Q22Q1Q0) 要達(dá)到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則應(yīng)有要達(dá)到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則應(yīng)有P”(1)Q”(0)，即即: Pn-22Pn-1Pn (Q22Q1Q0)an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 根據(jù)貝塞爾曲線的參數(shù)表達(dá)式，讓參數(shù)根據(jù)貝塞爾曲線的參數(shù)表達(dá)式，讓參數(shù)t在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個(gè)值，例如內(nèi)取多個(gè)值，例如100，計(jì)算出這，計(jì)算出這100個(gè)值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，個(gè)值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條依次連接這些點(diǎn)就得

33、到一條Bezier曲線。曲線。 以三次貝塞爾曲線為例：以三次貝塞爾曲線為例： 322301233223012313 13113 131x ttxttxtt xt xy ttyttytt yt y注意：再添加一個(gè)注意：再添加一個(gè)z 坐標(biāo)，就可得到空間坐標(biāo)，就可得到空間Bezier曲線曲線。For(t=0;t=1;t=t+0.01)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分割點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)，對(duì)這些中間得分割點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)，對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，重復(fù)操頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多

34、邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，重復(fù)操作，直到得出一個(gè)中間頂點(diǎn)，即為所求曲線上的點(diǎn)。作，直到得出一個(gè)中間頂點(diǎn)，即為所求曲線上的點(diǎn)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的中點(diǎn)分割中點(diǎn)分割，所得分點(diǎn)就是由，所得分點(diǎn)就是由第一級(jí)第一級(jí)遞推生成的遞推生成的中間頂點(diǎn)中間頂點(diǎn) , 對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的控制多邊形再執(zhí)行同樣的中點(diǎn)分割中點(diǎn)分割，得，得第二級(jí)第二級(jí)中間頂點(diǎn)中間頂點(diǎn) 。重復(fù)進(jìn)行下去，直到。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級(jí)遞推級(jí)遞推得到一個(gè)得到一個(gè)中間頂點(diǎn)中間頂點(diǎn) ，即為所求曲線上的，即為所求曲線上的點(diǎn)點(diǎn) 。同時(shí)控制點(diǎn)列被。同

35、時(shí)控制點(diǎn)列被 分成左分段和右分分成左分段和右分段兩段折線，繼續(xù)對(duì)這兩段折線作類(lèi)似遞歸分段兩段折線，繼續(xù)對(duì)這兩段折線作類(lèi)似遞歸分割，直至滿(mǎn)足要求為止。割，直至滿(mǎn)足要求為止。) 1, 1 , 0(1niPi)2, 1 , 0(2niPi)(tPnP0nP0青島農(nóng)業(yè)大學(xué)r 三次三次Bzier曲線：控制點(diǎn)是曲線：控制點(diǎn)是p0，p1，p2和和p3。 r 以中點(diǎn)分割，令：以中點(diǎn)分割，令： r p10=(p0+p1)/2，p11=(p1+p2)/2， p12=(p2+p3)/2； r p20=(p10+p11)/2，p21=(p11+p12)/2； r p30=(p20+p21)/2。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)r 可以證

36、明點(diǎn)可以證明點(diǎn)P P3030位于曲線上位于曲線上p p3030=(p=(p2020+p+p2121)/2)/2=(p p0 0+3p p1 1+3p p2 2+p+p3 3)/8=p p(1/2)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)1 1、給定四個(gè)頂點(diǎn)、給定四個(gè)頂點(diǎn)P0P0（1010，110110），），P1P1（110110，110110），），P2P2（110110，1010），），P3P3（1010，1010），用其作為特征多邊形來(lái)繪），用其作為特征多邊形來(lái)繪制一條制一條3 3次次BezierBezier曲線的形狀示意圖。曲線的形狀示意圖。要求：要求：簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程，保留作圖輔助線，作出（或文簡(jiǎn)要

37、說(shuō)明作圖過(guò)程，保留作圖輔助線，作出（或文字說(shuō)明）曲線上各特征點(diǎn)的切線矢量。字說(shuō)明）曲線上各特征點(diǎn)的切線矢量。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)nBezierBezier曲線是一種曲線是一種逼近參數(shù)曲線逼近參數(shù)曲線，通過(guò)幾個(gè)已，通過(guò)幾個(gè)已知點(diǎn)構(gòu)成的知點(diǎn)構(gòu)成的特征多邊形特征多邊形來(lái)定義，來(lái)定義，曲線的起點(diǎn)和曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)與該多邊形起點(diǎn)和終點(diǎn)重合終點(diǎn)與該多邊形起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，并且多邊形，并且多邊形的的第一條邊和最后一條邊表示曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)第一條邊和最后一條邊表示曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢量方向的切矢量方向。nBezierBezier曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴(lài)于確定該段曲線的控曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴(lài)于確定該段曲線的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，通常由制點(diǎn)個(gè)數(shù)，

38、通常由（n n1 1）個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n n次次多項(xiàng)式多項(xiàng)式，即，即n n次次BezierBezier曲線曲線。n3 3個(gè)已知控制點(diǎn)就可以構(gòu)造個(gè)已知控制點(diǎn)就可以構(gòu)造2 2次次BezierBezier曲線，曲線，4 4個(gè)個(gè)已知控制點(diǎn)就可以構(gòu)造已知控制點(diǎn)就可以構(gòu)造3 3次次BezierBezier曲線。曲線。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n端點(diǎn)的性質(zhì)端點(diǎn)的性質(zhì)n端點(diǎn)切線端點(diǎn)切線n二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)n對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性n幾何不變性幾何不變性n凸包性凸包性n變差縮減性變差縮減性青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠(yuǎn)所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠(yuǎn)n確定了多邊形的頂點(diǎn)數(shù)確定了多邊形的頂點(diǎn)數(shù)(m個(gè)個(gè)

39、)，也就決定了所定義的，也就決定了所定義的Bezier曲線的階次曲線的階次(m1次次)，這樣很不靈活，這樣很不靈活n控制頂點(diǎn)數(shù)增多時(shí)，生成曲線的階數(shù)也增高，此時(shí)，控制頂點(diǎn)數(shù)增多時(shí)，生成曲線的階數(shù)也增高，此時(shí)，多邊形對(duì)曲線形狀的控制將明顯減弱。多邊形對(duì)曲線形狀的控制將明顯減弱。 n局部控制能力弱局部控制能力弱n曲線拼接需要附加條件曲線拼接需要附加條件青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 逼近特征多邊形的精度更高逼近特征多邊形的精度更高 曲線的次數(shù)可根據(jù)需要指定曲線的次數(shù)可根據(jù)需要指定 具有局部修改性具有局部修改性青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n我們先來(lái)實(shí)際體會(huì)一下B樣條曲線和Bezier曲線的差別，看下面例子：B樣條也是逼近曲線，不一定

40、過(guò)控制樣條也是逼近曲線，不一定過(guò)控制點(diǎn)，甚至不過(guò)起控制點(diǎn)和終控制點(diǎn)點(diǎn)，甚至不過(guò)起控制點(diǎn)和終控制點(diǎn)青島農(nóng)業(yè)大學(xué)Bezier曲線如果曲線如果5個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)那么只能是那么只能是4次曲線次曲線調(diào)整任何一個(gè)控制點(diǎn)，調(diào)整任何一個(gè)控制點(diǎn)，會(huì)影響整個(gè)會(huì)影響整個(gè)4次曲線次曲線B樣條曲線如果樣條曲線如果5個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)可以使用可以使用3次曲線，也可以使用次曲線，也可以使用4次曲線來(lái)次曲線來(lái)構(gòu)造整個(gè)曲線構(gòu)造整個(gè)曲線使用使用4次曲線那么就是次曲線那么就是1段曲線段曲線使用使用3次曲線那么就構(gòu)造次曲線那么就構(gòu)造2段曲線，并且這段曲線，并且這2段曲線可以自然拼接起來(lái)，調(diào)節(jié)段曲線可以自然拼接起來(lái)，調(diào)節(jié)P4點(diǎn)位置點(diǎn)位置

41、只會(huì)影響第二段曲線只會(huì)影響第二段曲線青島農(nóng)業(yè)大學(xué)樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為: :PiPi：B B樣條曲線的樣條曲線的控制節(jié)點(diǎn)控制節(jié)點(diǎn)。n n次次B B樣條曲線至少應(yīng)該有樣條曲線至少應(yīng)該有n+1n+1個(gè)個(gè)控制點(diǎn)?？刂泣c(diǎn)。K K：B B樣條曲線的樣條曲線的階數(shù)階數(shù)，（，（k-1k-1）稱(chēng)為）稱(chēng)為次數(shù)次數(shù)，曲線連接點(diǎn)處有，曲線連接點(diǎn)處有（k-2k-2）階連續(xù)階連續(xù)，n+1n+1個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)構(gòu)造的構(gòu)造的k k階階B B樣條曲線由樣條曲線由L=n+1-L=n+1-（k-1k-1）段）段B B樣條曲線段樣條曲線段組合而成的。如，組合而成的。如，3 3次次B B樣條曲線的階樣條曲線的階

42、數(shù)是數(shù)是4 4，次數(shù)是，次數(shù)是3 3，2 2階連續(xù)，階連續(xù)，n+1n+1控制點(diǎn)的曲線共有控制點(diǎn)的曲線共有n-2n-2段段3 3次次B B樣條組合而成。樣條組合而成。nikiiuBPuP0,)()(青島農(nóng)業(yè)大學(xué))(,uBki (i=0,1,.,n) (i=0,1,.,n) 稱(chēng)為稱(chēng)為k k階（階（k-1k-1次次) )B B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)，i i表表示序號(hào)。示序號(hào)。B B樣條基函數(shù)是一個(gè)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)矢量的樣條基函數(shù)是一個(gè)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)矢量的參數(shù)參數(shù)u的非遞的非遞減序列減序列所決定的所決定的k階分段多項(xiàng)式階分段多項(xiàng)式，這個(gè)序列稱(chēng)為，這個(gè)序列稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)向量節(jié)點(diǎn)向量。01111,kknnn kn ku uuu

43、u uuu 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)1,11( )0iiiuuuBuOtherwise)()()(1, 111,1,uBuuuuuBuuuuuBkiikikikiikiikide Boor-Coxde Boor-Cox遞推定義：遞推定義：約定約定：000青島農(nóng)業(yè)大學(xué)欲確定欲確定第第i i個(gè)個(gè)k-1k-1次次B B樣條樣條B Bi,ki,k(u)(u)，需要用到，需要用到u ui i，u ui+1i+1，,u,ui+ki+k共共k+1k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。個(gè)節(jié)點(diǎn)。區(qū)間區(qū)間uui i,u,ui+ki+k 稱(chēng)為稱(chēng)為B Bi,ki,k(u)(u)的的支撐區(qū)間支撐區(qū)間。曲線方程中，曲線方程中，n+1個(gè)控制頂點(diǎn)個(gè)控制頂點(diǎn)Pi

44、(i=0,1,.,n)，要用到，要用到n+1個(gè)個(gè)k階階B樣條樣條Bi,k(t)。它們。它們支撐區(qū)間的并集支撐區(qū)間的并集定義了這一組定義了這一組B樣條基的樣條基的節(jié)點(diǎn)矢量節(jié)點(diǎn)矢量T=u0,u1,.,un+k。 )()()(1, 111,1,uBuuuuuBuuuuuBkiikikikiikiikinikiiuBPuP0,)()(每個(gè)控制點(diǎn)每個(gè)控制點(diǎn)pi僅與一個(gè)基函數(shù)僅與一個(gè)基函數(shù)Bi,k(t)作乘法，故該控制點(diǎn)的改作乘法，故該控制點(diǎn)的改變僅影響到子區(qū)間變僅影響到子區(qū)間ui,ui+k上的曲線段。上的曲線段。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)1階B-樣條基函數(shù)nK=1K=1時(shí)的基函數(shù)時(shí)的基函數(shù)1,11 ,)B ( )0i

45、iitt tt其它青島農(nóng)業(yè)大學(xué)2階B-樣條基函數(shù)nK=2K=2時(shí)的基函數(shù)時(shí)的基函數(shù),2Bi的圖形,2B ( )it2,2,11,12121B ( )B ( )B( ) ,)iiiiiiiiiiittttttttt ttttt1121221 ,),)0iiiiiiiiiitttt tttttttttt其它青島農(nóng)業(yè)大學(xué)3階B-樣條基函數(shù)nK=3K=3時(shí)的基函數(shù)時(shí)的基函數(shù)3,3,21,23231B ( )B ( )B( ) ,)iiiiiiiiiiittttttttt ttttt,2123,21,21223131,22331B ( ) ,)B ( )B( ),)B( ),)0iiiiiiiiiiii

46、iiiiiiiiiittttt tttttttttttttttttttttttt其它青島農(nóng)業(yè)大學(xué)續(xù)前頁(yè)：時(shí)：當(dāng)),1iitttiiiiiitttttttt12,3,22B ( )B ( )iiiiitttttt2,11,12121(B ( )B( )iiiiiiiiiiitttttttttttttt青島農(nóng)業(yè)大學(xué)續(xù)前頁(yè)：1211331222iiiiiiiiiiiitttttttttttttttt123,3,21,2231,B ( )B ( )B( )iiiiiiiiiiitttttttttttttt當(dāng)）時(shí)：2,11,121213131,12,1312132(B ( )B( )( )( )iiii

47、iiiiiiiiiiiiiiiiiitttttttttttttttttttttttttttt青島農(nóng)業(yè)大學(xué)續(xù)前頁(yè)：233133iiiiiitttttttt233,31,231,)B ( )B( )iiiiiiittttttttt當(dāng)時(shí)：3131,12,1312132(B( )B( )iiiiiiiiiiitttttttttttttt青島農(nóng)業(yè)大學(xué)121231,312221312133233132 ,)B ( ),),)0iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitttttt tttttttttttttttttttttttttttttttttttt其它青島農(nóng)業(yè)大學(xué)3階B-樣條基函數(shù)

48、圖形青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量中的根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量中的節(jié)點(diǎn)分布節(jié)點(diǎn)分布情況的不同，可將情況的不同，可將B B樣條曲樣條曲線分為三類(lèi)：線分為三類(lèi)：均勻均勻B B樣條曲線樣條曲線、開(kāi)放均勻開(kāi)放均勻B B樣條曲線樣條曲線、非均勻非均勻B B樣條曲線樣條曲線。 均勻均勻B B樣條曲線樣條曲線：節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸：節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布均勻等距分布，即，即u uk+1k+1-u-uk k= =常數(shù)時(shí)。常數(shù)時(shí)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)均勻均勻B B樣條曲線樣條曲線 均勻均勻B B樣條的基函數(shù)呈樣條的基函數(shù)呈周期性周期性。即給定。即給定n n和和k k，所有的基，所有的基函數(shù)有相同形狀。每個(gè)后續(xù)基函數(shù)僅僅是前面基函數(shù)在新函數(shù)有

49、相同形狀。每個(gè)后續(xù)基函數(shù)僅僅是前面基函數(shù)在新位置上的重復(fù)：位置上的重復(fù)：)2()()(,2, 1,uuBuuBuBkikiki其中，其中，u u是相鄰節(jié)點(diǎn)值的間距，等價(jià)地，也可寫(xiě)為：是相鄰節(jié)點(diǎn)值的間距，等價(jià)地，也可寫(xiě)為：)()(,0,ukuBuBkki均勻均勻B B樣條曲線的參數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量的典型取法：樣條曲線的參數(shù)節(jié)點(diǎn)矢量的典型取法：0,1,2,0,1,2,n+k,n+k青島農(nóng)業(yè)大學(xué)均勻均勻B B樣條曲線樣條曲線 為使所有區(qū)間上的為使所有區(qū)間上的B B樣條基函數(shù)具有相同的數(shù)學(xué)樣條基函數(shù)具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可將定義在整個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間上用整體參數(shù)表達(dá)式，可將定義在整個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間上用整體參數(shù)u u表表示的

50、樣條基函數(shù)，轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)參數(shù)示的樣條基函數(shù)，轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)參數(shù)tt,1,1表示：表示： t=u-u t=u-ui i u u uui i,u,ui+1i+1,i=k,k+1,i=k,k+1,n n青島農(nóng)業(yè)大學(xué)均勻均勻B B樣條曲線定義樣條曲線定義: :,101B (t)( 1)(t)(0t1,0,1, )!n kjjnk nnjCn kjknn ,n,k 0(t)B( )(01)0,nii kk nPPttim 給定給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn) Pi (i=0，1，m+n)，可以定義，可以定義m+1段段n次的次的參數(shù)曲線段參數(shù)曲線段：青島農(nóng)業(yè)大學(xué)均勻二次均勻二次B B樣條曲線樣條曲線 n=2,

51、k=0,1,2n=2,k=0,1,2223221312030)() 1() 1() 1() 2() 1(! 21tCtCtC222! 2! 31! 2! 32! 3! 321ttt222212133634421tttttt220,2301B( )( 1)(20)2!jjjtCtjk,n,k 0(t)B( )ni kk nPPt青島農(nóng)業(yè)大學(xué)120021121,2333011B ( )( 1)(2 1)( 1)(1)( 1)( )2!2jjjtCtjCtC t 122213121222tttt0200222,2330111B( )( 1)(22)( 1)( )2!22jjjtCtjCtt青島農(nóng)業(yè)大

52、學(xué)均勻二次均勻二次B樣條曲線的分段表達(dá)式可以寫(xiě)成如下的形式：樣條曲線的分段表達(dá)式可以寫(xiě)成如下的形式： Pi(t)= B0,2(t)Pi + B1,2(t)Pi+1十十B2,2（t）Pi+2 (i= 0,1,2，m)221222112221) 1(21)(iiiiPtPttPttP022,21021211( )B( )1220(01)2110iii kkikiPtPtttPtP P青島農(nóng)業(yè)大學(xué) )(21)1()(21)0(2110PPPPPP1201)1( )0( PPPPPP 0121201131110128482211110222pPPPPPPppppp青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 二次均勻二次均勻B B樣

53、條曲線的起點(diǎn)在特征多邊形第一條邊的中樣條曲線的起點(diǎn)在特征多邊形第一條邊的中 點(diǎn)，切矢為點(diǎn)，切矢為P0P1P0P1的走向，且等于的走向，且等于P1-P0P1-P0 終點(diǎn)在特征多邊形第二條邊的中點(diǎn)，切矢為終點(diǎn)在特征多邊形第二條邊的中點(diǎn)，切矢為P1P2P1P2的走的走 向，且等于向，且等于P2-P1P2-P1 正好是三角形正好是三角形P(0)P1P(1)P(0)P1P(1)的中線的中線P1MP1M的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且 在該處的切線平行于在該處的切線平行于P(0)P(1)P(0)P(1)。12P青島農(nóng)業(yè)大學(xué)下圖為均勻二次下圖為均勻二次B B樣條曲線的控制多邊形，共有樣條曲線的控制多邊形，共有4 4個(gè)控

54、制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)P0P1P2P3P0P1P2P3，繪制出二次，繪制出二次B B樣條曲線的示意圖。樣條曲線的示意圖。 P0 P1 P2 P3 P0 P1 P2 P3 (a) (b) 要求：簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程，保留作圖輔助線，做出（或文字要求：簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程，保留作圖輔助線，做出（或文字說(shuō)明）曲線上各特征點(diǎn)的切線矢量。說(shuō)明）曲線上各特征點(diǎn)的切線矢量。青島農(nóng)業(yè)大學(xué) P0 P3 P2 P0 P2 P1 P3 P1 A B C D E B C A (a) (b) M M1 A A為為P0P1P0P1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，A A點(diǎn)的切矢為點(diǎn)的切矢為P0P1P0P1的走向且等于的走向且等于(P1-(P1-P0)P0)

55、；B B為為AP1CAP1C中線中線P1MP1M的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，B B點(diǎn)的切矢平行于點(diǎn)的切矢平行于ACAC，且，且等于等于1/2(P2-P0)1/2(P2-P0)；C C為為P1P2P1P2的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C C點(diǎn)的切矢為點(diǎn)的切矢為P1P2P1P2的走的走向且等于向且等于(P2-P1)(P2-P1)；D D為為CP2ECP2E中線中線P2M1P2M1的中點(diǎn)，其切矢平的中點(diǎn)，其切矢平行于行于CECE，且等于，且等于1/2(P3-P1)1/2(P3-P1)；E E為為P2P3P2P3的中點(diǎn)，其切矢為的中點(diǎn)，其切矢為P2P3P2P3的走向且等于的走向且等于(P3-P2)(P3-P2)。青島農(nóng)業(yè)大學(xué)

56、1. 局部性局部性 根據(jù)定義式可知，第根據(jù)定義式可知，第 i 段段n次次B樣條曲線只與樣條曲線只與 n+1 個(gè)個(gè) 頂點(diǎn)頂點(diǎn)Pk(k=i，i+1，i+n)有關(guān)，因此，當(dāng)改動(dòng)其中有關(guān)，因此，當(dāng)改動(dòng)其中一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，最多只會(huì)對(duì)相鄰的一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，最多只會(huì)對(duì)相鄰的n+1段產(chǎn)生影響。段產(chǎn)生影響。 如左圖所示，六個(gè)如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的三控制頂點(diǎn)控制的三次次B樣條曲線由三樣條曲線由三段段B樣條曲線段組樣條曲線段組成。其中，每一條成。其中，每一條曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)控制。控制。青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 2. 凸包性凸包性對(duì)任何對(duì)任何t0，1，P(t) 必定在控制頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。必定在控制頂點(diǎn)

57、構(gòu)成的凸包之中。 如左圖所示，六個(gè)控如左圖所示，六個(gè)控制頂點(diǎn)控制的三次制頂點(diǎn)控制的三次B樣樣條曲線由三段條曲線由三段B樣條曲樣條曲線段組成。其中，每線段組成。其中，每一條曲線段由四個(gè)頂一條曲線段由四個(gè)頂點(diǎn)控制且包含在四個(gè)點(diǎn)控制且包含在四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 3.幾何不變性幾何不變性 由于定義式所表示的由于定義式所表示的B樣條曲線是參數(shù)形式，因此，樣條曲線是參數(shù)形式，因此，和和Bezier曲線一樣，曲線一樣，B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。選擇無(wú)關(guān)。 4. 連續(xù)性連續(xù)性 當(dāng)給定的當(dāng)給定的n+1個(gè)控制頂點(diǎn)個(gè)控制頂點(diǎn)Pi (i=0

58、，1，n)互不相重互不相重，則所控制的整條則所控制的整條n n次次B樣條曲線具有樣條曲線具有n-1n-1階幾何連續(xù)階幾何連續(xù) (G n-1)。當(dāng)給定的控制頂點(diǎn)相鄰。當(dāng)給定的控制頂點(diǎn)相鄰最大重頂點(diǎn)數(shù)為最大重頂點(diǎn)數(shù)為h h（即（即h 個(gè)個(gè)控制頂點(diǎn)重合在一起）控制頂點(diǎn)重合在一起），則整條，則整條n n次次B樣條曲線具有樣條曲線具有n-h-1階幾何連續(xù)(G n-h-1)。 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)n優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：n與控制多邊形的外形更接近與控制多邊形的外形更接近n局部修改能力局部修改能力n任意形狀，包括尖點(diǎn)、直線的曲線任意形狀，包括尖點(diǎn)、直線的曲線n易于拼接易于拼接n階次低，與型值點(diǎn)數(shù)目無(wú)關(guān)，計(jì)算簡(jiǎn)便階次低，與型值

59、點(diǎn)數(shù)目無(wú)關(guān)，計(jì)算簡(jiǎn)便n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：n不能精確表示圓不能精確表示圓青島農(nóng)業(yè)大學(xué)1、下面給出的下面給出的4個(gè)選項(xiàng)中，個(gè)選項(xiàng)中，_不是不是Bezier曲線具有的曲線具有的 性質(zhì)。性質(zhì)。 A 局部性局部性B 幾何不變性幾何不變性 C 變差縮減性變差縮減性D 凸包性凸包性2、B樣條曲線中，按照節(jié)點(diǎn)矢量樣條曲線中，按照節(jié)點(diǎn)矢量t的分布不同可以將的分布不同可以將B樣條樣條曲線分為均勻曲線分為均勻B樣條、非均勻樣條、非均勻B樣條以及開(kāi)放均勻樣條以及開(kāi)放均勻B樣條，樣條，以下選項(xiàng)中屬于均勻以下選項(xiàng)中屬于均勻B樣條節(jié)點(diǎn)矢量的是樣條節(jié)點(diǎn)矢量的是_。 A t=0,1,2,3,4,5,6 B t=0,0,1,1,2,2

60、,3,3 C t=0,0,0,1,2,3,4,5,5,5 D t=0,0.1,0.2,0.2,0.5,1 A A 青島農(nóng)業(yè)大學(xué)3、由由K個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)Pi（i=1,k）所決定的）所決定的n次次B樣條曲線，樣條曲線，由由_段段n次次B樣條曲線段光滑連接而成。樣條曲線段光滑連接而成。A、k-n-2B、k-n-1C、k-nD、k-n+14、下列關(guān)于下列關(guān)于B樣條曲線性質(zhì)的敘述中，錯(cuò)誤的結(jié)論是樣條曲線性質(zhì)的敘述中，錯(cuò)誤的結(jié)論是_A、B樣條曲線可用其特征多邊形來(lái)定義；樣條曲線可用其特征多邊形來(lái)定義；B、B樣條曲線不一定通過(guò)其特征多邊形的各頂點(diǎn)；樣條曲線不一定通過(guò)其特征多邊形的各頂點(diǎn)；C、B樣條曲線起始