1、第九章第九章 狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法教學(xué)目的教學(xué)目的：了解狀態(tài)變量、狀態(tài)空間描述、：了解狀態(tài)變量、狀態(tài)空間描述、 能觀性、能控性、狀態(tài)觀測器能觀性、能控性、狀態(tài)觀測器教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：線性定常系統(tǒng)的能控性、能觀性：線性定常系統(tǒng)的能控性、能觀性教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：狀態(tài)觀測器及其應(yīng)用：狀態(tài)觀測器及其應(yīng)用授課學(xué)時(shí)授課學(xué)時(shí)：8 8n根軌跡法根軌跡法n頻率法頻率法 第第9 9章章 狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法以傳遞函數(shù)或頻率特性的形式來描述以傳遞函數(shù)或頻率特性的形式來描述控制系統(tǒng)的?？刂葡到y(tǒng)的。 操作簡單操作簡單 概念清晰概念清晰 分析與計(jì)算不復(fù)雜分析與計(jì)算不復(fù)雜優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：（1）傳遞

2、函數(shù)只描述輸入與輸出的關(guān)系，不描述系統(tǒng)內(nèi)部信息；）傳遞函數(shù)只描述輸入與輸出的關(guān)系，不描述系統(tǒng)內(nèi)部信息；（2）傳遞函數(shù)只適用于零初始條件下的單輸入）傳遞函數(shù)只適用于零初始條件下的單輸入-單輸出定常系統(tǒng)；單輸出定常系統(tǒng)；（3）試湊法）試湊法-不具有最優(yōu)性能。不具有最優(yōu)性能。第第9 9章章 狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法n9.1 狀態(tài)變量描述狀態(tài)變量描述n9.2 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系n9.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解n9.4 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式n9.5 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性n9.6 線

3、性定常系統(tǒng)的能觀性線性定常系統(tǒng)的能觀性n9.7 對(duì)偶性原理對(duì)偶性原理n9.8 狀態(tài)觀測器及其應(yīng)用狀態(tài)觀測器及其應(yīng)用n9.9 李雅鋪諾夫第二方法李雅鋪諾夫第二方法第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述狀態(tài)、狀態(tài)變量狀態(tài)、狀態(tài)變量狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述mtxtvtf ttttttdfdmtvtttxtxtvdttdxdfmtvtvtfmdttdv0001110000第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述2、狀態(tài)變量：、狀態(tài)變量： 由于由于 和和 表征系統(tǒng)在表征系統(tǒng)在 時(shí)刻的狀態(tài)，時(shí)刻的狀態(tài)，故稱它們?yōu)槌跏紶顟B(tài)變量。故稱它們?yōu)槌跏紶顟B(tài)變量。 0

4、tx 0tv0tt 1.狀態(tài)：狀態(tài)：系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況。系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況。 表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息。表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息。一、一般概念一、一般概念第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述已知已知 00tvtxtf0tt tx計(jì)算出任意計(jì)算出任意時(shí) ， 和 tv系統(tǒng)具有記憶功能系統(tǒng)具有記憶功能結(jié)論：結(jié)論：已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)和已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)和 時(shí)刻的輸入，時(shí)刻的輸入， 就能唯一地確定系統(tǒng)未來的狀態(tài)就能唯一地確定系統(tǒng)未來的狀態(tài)0tt 第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的定義：狀態(tài)變量的定義： 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)是表征系統(tǒng)全部行為的一組相互動(dòng)

5、力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)是表征系統(tǒng)全部行為的一組相互獨(dú)立的變量，組成這個(gè)變量組的元素稱為狀態(tài)變量。獨(dú)立的變量，組成這個(gè)變量組的元素稱為狀態(tài)變量。令：令： txtxtxn,21為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，則則3、狀態(tài)向量的定義：、狀態(tài)向量的定義：以狀態(tài)變量為分量組成的向量稱為狀態(tài)向量。以狀態(tài)變量為分量組成的向量稱為狀態(tài)向量。 txtxtxtn,21x為狀態(tài)向量為狀態(tài)向量第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述4、狀態(tài)空間、狀態(tài)空間 狀態(tài)向量所有可能值的集合稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任狀態(tài)向量所有可能值的集合稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)表示。一時(shí)刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間

6、中的一點(diǎn)表示。5.狀態(tài)方程狀態(tài)方程 狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量間的數(shù)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述二、狀態(tài)空間表達(dá)式二、狀態(tài)空間表達(dá)式 n階系統(tǒng)應(yīng)有階系統(tǒng)應(yīng)有n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程是個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程是n個(gè)聯(lián)立的一階微分方程。個(gè)聯(lián)立的一階微分方程。 設(shè)單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)變量為設(shè)單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 txtxtxn,21則其一般形式的狀態(tài)方程為則其一般形式的狀態(tài)方程為 tubtxatxatxatxtubtxatxatxatxtubtxatxatxa

7、txnnnnnnnnnnn2211222221212112121111第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述把上述方程組寫成向量矩陣形式為：把上述方程組寫成向量矩陣形式為： tbtAtuxx式中式中nnnnnnnnnbbbbaaaaaaaaaAxxxxxxx212122221112112121,xA為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣b為輸入矩陣為輸入矩陣(控制矩陣）控制矩陣）1、單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)方程、單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)方程第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述2、單輸入單輸出系統(tǒng)的輸出方程、單輸入單輸出系統(tǒng)的輸出方程 系統(tǒng)的輸出量與狀態(tài)變量、輸入變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)系統(tǒng)的輸出量與狀

8、態(tài)變量、輸入變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為式稱為輸出方程輸出方程。 單輸出線性定常系統(tǒng)輸出方程的一般形式可表示為單輸出線性定常系統(tǒng)輸出方程的一般形式可表示為 tdutxCtxCtxCtynn2211 它表示系統(tǒng)的輸出由兩部分所組成：一部分是狀態(tài)它表示系統(tǒng)的輸出由兩部分所組成：一部分是狀態(tài)變量的線性組合；另一部分是輸入的直接傳輸。把上式變量的線性組合；另一部分是輸入的直接傳輸。把上式寫成向量矩陣式為寫成向量矩陣式為 )()(tduCtyx(t)C為系統(tǒng)的輸出矩陣，對(duì)于單輸出系統(tǒng)，為系統(tǒng)的輸出矩陣，對(duì)于單輸出系統(tǒng)，C為為1*n型行向量型行向量;D為入直接影響輸出的傳輸系數(shù)。為入直接影響輸出的傳輸系數(shù)。 第

9、一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述3、單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式、單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程與輸出方程合在一起稱為狀態(tài)方程與輸出方程合在一起稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱系統(tǒng)的又稱系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。動(dòng)態(tài)方程。 4、狀態(tài)模型圖、狀態(tài)模型圖單入單出系統(tǒng)的狀態(tài)圖單入單出系統(tǒng)的狀態(tài)圖第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述5、多輸入、多輸出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式、多輸入、多輸出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述多輸入、多輸出慣性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式多輸入、多輸出慣性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)

10、變量的描述例例9-1 已知一已知一RLC電路如圖電路如圖9-4所示，所示，ur和和uc分別為電路分別為電路的輸入與輸出量。試選擇兩組狀態(tài)變量，寫出它們對(duì)應(yīng)的輸入與輸出量。試選擇兩組狀態(tài)變量，寫出它們對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式。的動(dòng)態(tài)方程式。 解：由基爾霍夫定律得：解：由基爾霍夫定律得：（1）設(shè)狀態(tài)變量）設(shè)狀態(tài)變量則上式可改寫為：則上式可改寫為：ixidtCuxc21,1第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述表示成向量矩陣形式為：表示成向量矩陣形式為：輸出方程為：輸出方程為：（2）設(shè)狀態(tài)變量）設(shè)狀態(tài)變量則則 式可改寫為：式可改寫為：輸出方程為：輸出方程為：第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述把上

11、述方程改寫為向量矩陣形式為：把上述方程改寫為向量矩陣形式為： 由此可知，系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。顯然，由此可知，系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。顯然，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于不同的狀態(tài)變量選擇不同的狀態(tài)變量選擇，所得到的動(dòng)態(tài)方程也是不相同所得到的動(dòng)態(tài)方程也是不相同，但它們都描述了同一系統(tǒng)。但它們都描述了同一系統(tǒng)。 討論上述所選的兩組狀態(tài)變量間的內(nèi)在關(guān)系討論上述所選的兩組狀態(tài)變量間的內(nèi)在關(guān)系 設(shè)設(shè)則得，則得，寫成向量矩陣的形式寫成向量矩陣的形式式中式中 P為非奇異矩陣，通過非奇異矩陣為非奇異矩陣，通過非奇異矩陣P的變換，可將的變換，可將狀態(tài)變量狀態(tài)變量x1、x2變換為一組新的狀態(tài)變量變換為一組新的狀態(tài)變

12、量 若變換矩陣若變換矩陣P為任意的非奇異矩陣，則可變換出無數(shù)多為任意的非奇異矩陣，則可變換出無數(shù)多組狀態(tài)變量和相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程，從而進(jìn)一步說明了狀態(tài)變組狀態(tài)變量和相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程，從而進(jìn)一步說明了狀態(tài)變量選擇的非唯一性。為了應(yīng)用上的方便，量選擇的非唯一性。為了應(yīng)用上的方便，通常總優(yōu)先考慮通?？們?yōu)先考慮那些能被量測的物理量為狀態(tài)變量。那些能被量測的物理量為狀態(tài)變量。 第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述2x第一節(jié)第一節(jié) 狀態(tài)變量的描述狀態(tài)變量的描述 系統(tǒng)狀態(tài)量的選擇雖不是唯一的，但選擇一組狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)量的選擇雖不是唯一的，但選擇一組狀態(tài)變量也是有條件。它必須具備下述的性質(zhì)：變量也是有條件。它必

13、須具備下述的性質(zhì)： （1）在）在t時(shí)刻的狀態(tài)向量時(shí)刻的狀態(tài)向量x（t）是初始狀態(tài)向量）是初始狀態(tài)向量 和和時(shí)的輸入時(shí)的輸入u（t）唯一確定。）唯一確定。 0tx0tt （2）在）在t時(shí)刻的輸出時(shí)刻的輸出y（t）是由該時(shí)刻的狀態(tài)向量）是由該時(shí)刻的狀態(tài)向量x（t）和）和輸入輸入u（t）唯一確定。）唯一確定。終上所述，終上所述，用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)具有如下的特點(diǎn)：用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)具有如下的特點(diǎn)：（1）系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述是系統(tǒng)輸入、狀態(tài)、輸出諸變量間）系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述是系統(tǒng)輸入、狀態(tài)、輸出諸變量間的時(shí)域描述。的時(shí)域描述。（2）輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，在數(shù)學(xué)）輸入引起系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變

14、化是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，在數(shù)學(xué)上用向量微分方程描述。輸出方程是一個(gè)代數(shù)方程。上用向量微分方程描述。輸出方程是一個(gè)代數(shù)方程。（3）一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量選擇不是唯一的，一個(gè)）一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量選擇不是唯一的，一個(gè)n階系統(tǒng)，階系統(tǒng)，只能有只能有n個(gè)狀態(tài)變量，不能多也不能少。個(gè)狀態(tài)變量，不能多也不能少。（4）由于狀態(tài)方程是一階微分方程組，因而適用于計(jì)算機(jī)求）由于狀態(tài)方程是一階微分方程組，因而適用于計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解，或用計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。其數(shù)值解，或用計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。（5）對(duì)于結(jié)構(gòu)和參數(shù)已確定的系統(tǒng)，需要研究如何把已建立）對(duì)于結(jié)構(gòu)和參數(shù)已確定的系統(tǒng)，需要研究如何把已建立的微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變

15、為相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程。的微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的動(dòng)態(tài)方程。 第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系由動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由傳遞函數(shù)列寫動(dòng)態(tài)方程由傳遞函數(shù)列寫動(dòng)態(tài)方程第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系一、由動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、由動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設(shè)單輸入設(shè)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為單輸出線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為x為為n1型狀態(tài)向量型狀態(tài)向量A為為nn矩陣矩陣b為為n1型列向量型列向量C為為1n型行向量型行向量y（t）和）和u（t）為標(biāo)量）為標(biāo)量d為直接傳輸系數(shù)為直接傳輸系數(shù)對(duì)上式取拉氏變換

16、，得對(duì)上式取拉氏變換，得1、單輸入、單輸入單輸出系統(tǒng)單輸出系統(tǒng)第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此 求得求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 00 x2、多輸入、多輸入多輸出系統(tǒng)多輸出系統(tǒng)其中其中C為為mn型矩陣型矩陣B為為nr型矩陣型矩陣D為為mr型矩陣型矩陣mr sWij為第為第i個(gè)輸出與第個(gè)輸出與第j個(gè)輸入間的傳遞函數(shù)。個(gè)輸入間的傳遞函數(shù)。例例9-2 已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式如下，已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：解：=-第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)

17、系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系-其中其中 ，第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系二、由傳遞函數(shù)列寫動(dòng)態(tài)方程二、由傳遞函數(shù)列寫動(dòng)態(tài)方程設(shè)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：設(shè)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：y為系統(tǒng)的輸出量，為系統(tǒng)的輸出量，u為系統(tǒng)的輸入量，初始條件為零，為系統(tǒng)的輸入量，初始條件為零，對(duì)上式取拉氏變換，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：對(duì)上式取拉氏變換，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：0bd -1、能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)、能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（1）傳遞函數(shù)無零點(diǎn)）傳遞函數(shù)無零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的微分方程為：對(duì)應(yīng)的微分方程為：-令令則上述微分方程可改寫為下列微分方程組則上述微分方程可改寫為下列微分方程組第二節(jié)第

18、二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系系統(tǒng)是輸出為：系統(tǒng)是輸出為：把上述方程用向量矩陣形式表示為：把上述方程用向量矩陣形式表示為：式中式中第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系矩陣矩陣A：對(duì)角線上方的一個(gè)元素都為：對(duì)角線上方的一個(gè)元素都為1，最后一行元素是，最后一行元素是 由原微分方程系數(shù)的負(fù)值構(gòu)成，其余元素為由原微分方程系數(shù)的負(fù)值構(gòu)成，其余元素為0。矩陣矩陣b：除最后一個(gè)元素不為：除最后一個(gè)元素不為0外，其余元素均為外，其余元素均為0。能控標(biāo)準(zhǔn)型：能控標(biāo)準(zhǔn)型：矩陣矩陣A和和b組成的狀態(tài)方程稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形。組成的狀態(tài)方程稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形。 根據(jù)根據(jù)A和和b

19、的上述特征，一般只要對(duì)微分方程式或傳遞的上述特征，一般只要對(duì)微分方程式或傳遞函數(shù)的觀察，就能直接寫出矩陣函數(shù)的觀察，就能直接寫出矩陣A和和b及對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程。及對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程。第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)圖能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)圖第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系例例9-3 已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達(dá)式。試寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：根據(jù)矩陣解：根據(jù)矩陣A和和b的特征，直接寫出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形的的特征，直接寫出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)形的 狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)空間表達(dá)式為：第二節(jié)第二

20、節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系（2）傳遞函數(shù)有零點(diǎn)）傳遞函數(shù)有零點(diǎn) 傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的微分方程就含有傳遞函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的微分方程就含有u(t)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，此時(shí)線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)可分解為兩個(gè)組成部分，并項(xiàng)，此時(shí)線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)可分解為兩個(gè)組成部分，并引入中間變量引入中間變量x。ns第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系由圖可得：由圖可得：其中其中由于由于 式?jīng)]有零點(diǎn)，因而其狀態(tài)方程為：式?jīng)]有零點(diǎn)，因而其狀態(tài)方程為：第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系輸出方程為：輸出方程為：寫成向量矩陣的形式：寫成向量矩陣

21、的形式：第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)有零點(diǎn)的狀態(tài)圖傳遞函數(shù)有零點(diǎn)的狀態(tài)圖d第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系2、能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、能觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)某三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：某三階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：是實(shí)現(xiàn)的直接傳遞部分是實(shí)現(xiàn)的直接傳遞部分由于由于因此只要分析因此只要分析部分的實(shí)現(xiàn)即可。部分的實(shí)現(xiàn)即可。其微分方程為：其微分方程為：對(duì)其在非零初始條件下取拉氏變換，求得對(duì)其在非零初始條件下取拉氏變換，求得 00000000012112111111121322133221332211uuyayaysuyaysyasasassUasasassss

22、Y 第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)基于零輸入響應(yīng)中基于零輸入響應(yīng)中s2、s、s0的系數(shù)都是初始條件的系數(shù)都是初始條件的線性組合，由此可以的線性組合，由此可以選擇這些項(xiàng)的系數(shù)作為狀態(tài)變量，即令選擇這些項(xiàng)的系數(shù)作為狀態(tài)變量，即令第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系對(duì)上述方程組的最后一式求導(dǎo)，并等號(hào)兩側(cè)加對(duì)上述方程組的最后一式求導(dǎo)，并等號(hào)兩側(cè)加uxa333 于是，得于是，得能觀標(biāo)準(zhǔn)形能觀標(biāo)準(zhǔn)形第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系上式能觀標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)圖上式能觀標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)圖第二節(jié)第二

23、節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系若傳遞函數(shù)為若傳遞函數(shù)為寫成其能觀標(biāo)準(zhǔn)形動(dòng)態(tài)方程為寫成其能觀標(biāo)準(zhǔn)形動(dòng)態(tài)方程為第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型關(guān)系：能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型關(guān)系： 能控標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)矩陣能控標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)矩陣A與能觀標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)矩陣與能觀標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)矩陣A互為轉(zhuǎn)置；能控標(biāo)準(zhǔn)型的輸入矩陣互為轉(zhuǎn)置；能控標(biāo)準(zhǔn)型的輸入矩陣b是能夠標(biāo)準(zhǔn)型輸出矩是能夠標(biāo)準(zhǔn)型輸出矩陣陣C的轉(zhuǎn)置，而能控標(biāo)準(zhǔn)型的輸出矩陣的轉(zhuǎn)置，而能控標(biāo)準(zhǔn)型的輸出矩陣C又是能觀標(biāo)準(zhǔn)型又是能觀標(biāo)準(zhǔn)型輸入矩陣輸入矩陣b的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳

24、遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系3、對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)、對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只含有相異的實(shí)極點(diǎn)時(shí)，還可化為當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只含有相異的實(shí)極點(diǎn)時(shí)，還可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：令令則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)榈诙?jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系式中：式中：則則令令則得則得iii sWsCisiilim對(duì)上式取拉氏變換對(duì)上式取拉氏變換第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系i或?qū)懽骰驅(qū)懽鞯诙?jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系上述狀態(tài)方程的狀態(tài)變量描述有如下特點(diǎn)：上述狀態(tài)方程的狀態(tài)變量描述

25、有如下特點(diǎn)：（1）矩陣）矩陣A對(duì)角線上的元素為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，其余元素對(duì)角線上的元素為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，其余元素 全為零，各狀態(tài)變量間沒有耦合，彼此是獨(dú)立的。全為零，各狀態(tài)變量間沒有耦合，彼此是獨(dú)立的。（2）矩陣）矩陣b是一列向量，其元素均為是一列向量，其元素均為1；矩陣；矩陣C為一行向量，為一行向量， 它的元素為它的元素為W(s)極點(diǎn)的留數(shù)。極點(diǎn)的留數(shù)。第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)圖對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)圖第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系例例9-4 已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)試

26、求對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)解：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為解：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為s1ss3 33lim33sWsCs第二節(jié)第二節(jié) 傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系傳遞函數(shù)與動(dòng)態(tài)方程的關(guān)系根據(jù)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的上述特點(diǎn)，直接寫出動(dòng)態(tài)方程根據(jù)對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的上述特點(diǎn)，直接寫出動(dòng)態(tài)方程300020001第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為齊次方程的求解齊次方程的求解非齊次方程的求解非齊次方程的求解轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算方法轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算方法通過通過求取系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，求解上式求取系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，求解上式一、齊次方程的解一、齊次方程的

27、解當(dāng)輸入當(dāng)輸入 時(shí)，上述狀態(tài)方程變?yōu)闀r(shí)，上述狀態(tài)方程變?yōu)?0tu第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解方程方程的解就是系統(tǒng)的的解就是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)。一階標(biāo)量齊次微分方程：一階標(biāo)量齊次微分方程： dxxPdxxPeCdxexQyxQyxPy)(若若則該一階微分方程的解為則該一階微分方程的解為解得解得第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解因此對(duì)于因此對(duì)于n階齊次微分方程階齊次微分方程的解有與一階標(biāo)量齊次微分方程相類似的形式，即的解有與一階標(biāo)量齊次微分方程相類似的形式，即其中其中i為為n1型列向量。型列向量。將將 式代入式

28、代入 式，得式，得比較等號(hào)兩側(cè)同次冪系數(shù)相等，求得比較等號(hào)兩側(cè)同次冪系數(shù)相等，求得第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí)=a0即即于是，于是，x(t)可表示為可表示為第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中，式中，稱為稱為矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)，又被稱為，又被稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為，記為 Atet 二、非齊次方程的解二、非齊次方程的解當(dāng)輸入當(dāng)輸入 時(shí)，狀態(tài)方程時(shí)，狀態(tài)方程即為非齊次方程，將其改寫為即為非齊次方程，將其改寫為第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解用用 左乘

29、上式等號(hào)的兩邊，得左乘上式等號(hào)的兩邊，得Atee-e-經(jīng)積分求得經(jīng)積分求得-兩邊左乘兩邊左乘 eAt，并整理得，并整理得或可寫作或可寫作其中其中第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 若已知若已知t0時(shí)刻的初始狀態(tài)向量為時(shí)刻的初始狀態(tài)向量為x(t0),則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣變?yōu)橐凭仃囎優(yōu)樯鲜錾鲜?、 式變?yōu)槭阶優(yōu)榈谌?jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解四、四、eAt的計(jì)

30、算方法的計(jì)算方法1、應(yīng)用拉氏變換計(jì)算、應(yīng)用拉氏變換計(jì)算取拉氏變換，得取拉氏變換，得-對(duì)上式取反拉氏變換，得對(duì)上式取反拉氏變換，得與與相比，得相比，得-第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2、利用對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型矩陣計(jì)算、利用對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型矩陣計(jì)算eAt txtxAPPtxtxtxAPPtxtxPPtxPtxPtxtxPtxtxAPtAxtxtxAPtAxtxPtxtAxtxtxPtxA,1111即則，已知令因此因此其中其中（1）矩陣）矩陣A有相異的特征值有相異的特征值第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解根據(jù)齊次方程根據(jù)齊次方程 的解為的

31、解為可知可知 的解為的解為則則-兩側(cè)乘以兩側(cè)乘以P矩陣矩陣于是，得于是，得tete由因?yàn)橛梢驗(yàn)樗运缘谌?jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解式中式中第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（2）矩陣）矩陣A有多重特征值有多重特征值設(shè)矩陣設(shè)矩陣A在在 處有三重特征值，其余的特征值為處有三重特征值，其余的特征值為均為相異的。則式均為相異的。則式 經(jīng)過非經(jīng)過非奇異變換后，變?yōu)槠娈愖儞Q后，變?yōu)榱盍?txPtx第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方

32、程的解將將代入代入 得得第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解將將 代入代入得，得，則式則式 可表示為可表示為第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解因?yàn)橐驗(yàn)?txtxPtxPtx1即即則則第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解所以所以又因?yàn)橛忠驗(yàn)閯t則第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（3）基于凱萊）基于凱萊哈密頓定理的計(jì)算方法哈密頓定理的計(jì)算方法如果能將如果能將eAt的展開式的展開式簡化為一個(gè)有限項(xiàng)之和，其計(jì)算的工作量就減少了。簡化為一個(gè)有限項(xiàng)之和，其計(jì)算的工作量

33、就減少了。根據(jù)凱萊根據(jù)凱萊哈密頓定理，推導(dǎo)哈密頓定理，推導(dǎo)eAt計(jì)算的有用公式為計(jì)算的有用公式為式中，式中，-為為t的標(biāo)量函數(shù)。的標(biāo)量函數(shù)。-第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例例9-5 計(jì)算計(jì)算 的矩陣指數(shù)的矩陣指數(shù)eAt解解：（：（1）用拉氏變換法計(jì)算）用拉氏變換法計(jì)算-第三節(jié)第三節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解（2）利用對(duì)角化矩陣計(jì)算）利用對(duì)角化矩陣計(jì)算eAt0AI由于矩陣由于矩陣A為能控標(biāo)準(zhǔn)型，因而可選擇范德蒙矩陣為變換矩陣為能控標(biāo)準(zhǔn)型，因而可選擇范德蒙矩陣為變換矩陣-（3）基于凱萊）基于凱萊哈密頓定理的計(jì)算方法哈密頓定理

34、的計(jì)算方法-第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程由差分方程或脈沖傳函求動(dòng)態(tài)方程由差分方程或脈沖傳函求動(dòng)態(tài)方程線性定常連續(xù)動(dòng)態(tài)方程的離散化線性定常連續(xù)動(dòng)態(tài)方程的離散化定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程式的解定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程式的解第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程和連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)也可以用狀態(tài)空間法描述，和連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)也可以用狀態(tài)空間法描述，其動(dòng)態(tài)方程為：其動(dòng)態(tài)方程為：式中，式中，X(k)為為n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；u(k)為為r維輸入向量；維輸入向量；y(k)為為m維的輸出向量；維的輸出向量；G為為n x n型矩陣型矩陣 kD

35、ukCxkykHukGxkx1一、一、 由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求動(dòng)態(tài)方程由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求動(dòng)態(tài)方程設(shè)單輸入設(shè)單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為:第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式中，式中，k kT 時(shí)刻時(shí)刻; T采樣周期；采樣周期； y(k)kT 時(shí)刻的輸出；時(shí)刻的輸出； u(k)kT 時(shí)刻的輸入。時(shí)刻的輸入。在零初始條件下，對(duì)上式取在零初始條件下，對(duì)上式取 z 變換，求得的脈沖函數(shù)為：變換，求得的脈沖函數(shù)為： kubkubnkubnkubkyakyankyankynnnn111111011第

36、四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 nnnnnnnnnnnnnnnnazazazzzzdazazazbzbzbzbzXzYzW 111122111111110 從上式可以看出，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與連續(xù)定常從上式可以看出，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與連續(xù)定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式是完全相同的。因此，連續(xù)定常系統(tǒng)由傳系統(tǒng)傳遞函數(shù)形式是完全相同的。因此，連續(xù)定常系統(tǒng)由傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程的各種方法也適用于離散控制系統(tǒng)。遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程的各種方法也適用于離散控制系統(tǒng)。例例 9-7 已知一輸入已知一輸入-輸出線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為輸出線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 6512

37、222 zzzzzXzYzW則寫出該系統(tǒng)的能控、能觀及對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。則寫出該系統(tǒng)的能控、能觀及對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程解解：（：（1）能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)）能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)把脈沖傳函改寫成有理真分式，即把脈沖傳函改寫成有理真分式，即 6511822zzzzXzYzW引入中間變量引入中間變量X(z)，使上式變，使上式變第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 zXzYzUzXzUzYzUzY12其對(duì)應(yīng)的框圖為其對(duì)應(yīng)的框圖為U由改圖得由改圖得 zUzXzzXzXz652 6512zzzUzX第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)

38、的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程對(duì)上式求對(duì)上式求z反變換，得差分方程反變換，得差分方程 kukxkxkx6152設(shè)狀態(tài)變量為設(shè)狀態(tài)變量為 11121kxkxkxkxkx則則 kukxkxkykykykukxkxkukxkxkxkxkxkx2811)(56156211212121111221第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程將上述方程寫成向量矩陣的形式將上述方程寫成向量矩陣的形式 kukxkykukxkx28111056101第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程（2）能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)）能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)根據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，可直接寫出該系

39、統(tǒng)能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)根據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，可直接寫出該系統(tǒng)能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) kukxkykukxkx21081151601第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程（3）對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)）對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 2313252651182zzzzzzUzY則則 231325zzUzzUzY令令 zXzzUzXzzU213,2 則得則得 kukxkxkykukxkxkukxkx213531212121 第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫成向量矩陣的形式寫成向量矩陣的形式 kukxkykukxkx21351130021 第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方

40、程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程二、線性定常連續(xù)動(dòng)態(tài)方程的離散化二、線性定常連續(xù)動(dòng)態(tài)方程的離散化設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 tBtAtuxx 初始狀態(tài)為初始狀態(tài)為x(t0)，則狀態(tài)方程的解為，則狀態(tài)方程的解為 dButtttttt 000 xx 現(xiàn)所求從一個(gè)采樣時(shí)刻現(xiàn)所求從一個(gè)采樣時(shí)刻t0=kT到下一采樣時(shí)刻到下一采樣時(shí)刻t=(k+1)T的解的解,因而有因而有 11,0 kxTkxtxkxkTxtx在一個(gè)采樣周期內(nèi)在一個(gè)采樣周期內(nèi)u(k)=常量。則上式改寫為常量。則上式改寫為 dkBTkkTkTkkT )1(11uxx記記 dTkTHTkkT )1(1B第四節(jié)第四

41、節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程這樣離散化后系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)檫@樣離散化后系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)?kTkkuHxx 1令令 Tk1則則 ddTHTT00BB 是由連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是由連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 導(dǎo)出的，即導(dǎo)出的，即 t = t t若連續(xù)系統(tǒng)的輸出方程為若連續(xù)系統(tǒng)的輸出方程為 tDutCxty 則經(jīng)離散化后變?yōu)閯t經(jīng)離散化后變?yōu)?kDukCxky 第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程三、定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解三、定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1、迭代法、迭代法 kHukGxkx 1中的中的k分別為分別為0，1，k-1就能求得就能求得T,2

42、T, ,kT時(shí)刻的狀態(tài)，即時(shí)刻的狀態(tài)，即上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)為零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)為零狀態(tài)響應(yīng)上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)為零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)為零狀態(tài)響應(yīng)因此，因此，離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為為 kGk jHuGxGkxHuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxxkjjkk10123202100213100112001第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 kDkCkuxy將上式代入下式，將上式代入下式，得得 jHuGxGkxHuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxxkjjkk101232021002131001120

43、012. Z變換法變換法 kHukGxkx 1對(duì)對(duì)取取Z變換，得變換，得 zHUzXzXGzIzHUzGXzXzzX00因此因此 zHUGzIZxzGzIZkxzHUGzIzxGzIzX11111100比較比較 jHuGxGkxHuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxxkjjkk10123202100213100112001和和 zHUGzIZxzGzIZkx11110第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程則得則得zGzIZGk11 zHUGzIZjHuGkjjk11101例例9-8 求下列離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。求下列離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。 k

44、ukxkx11116. 0101 Tx110 1ku已知已知解：解：第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程因?yàn)橐驗(yàn)? . 0342 . 0318 . 038 . 02 . 038 . 08 . 0352 . 0358 . 0312 . 0348 . 02 . 08 . 02 . 016. 08 . 02 . 018 . 02 . 0116. 0118 . 02 . 011zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzGzIkaazzZ1根據(jù)根據(jù) kkkkkkkkkzzzzzzzzzzzzzzzzZzGzIZGk8 . 042 . 08 . 08 . 02 . 08 .

45、 08 . 052 . 058 . 02 . 04318 . 0342 . 0318 . 038 . 02 . 038 . 08 . 0352 . 0358 . 0312 . 034111第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程已知已知1)(ku故故 1zzzU則則 12111022zzzzzzzzzzzzHUzx第四節(jié)第四節(jié) 線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程于是于是 11878 . 096 .172 . 064 . 3118258 . 09222 . 061718 . 02 . 084. 118 . 02 . 020221zzzzzzzzzzzz

46、zzzzzzzzzzzzHUzxGzIzX 1878 . 096 .172 . 064 . 318258 . 09222 . 0617kkkkkx因而因而第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性能控性的定義能控性的定義線性定常離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性用狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)時(shí)，通常會(huì)涉及到兩個(gè)問題用狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)時(shí)，通常會(huì)涉及到兩個(gè)問題（1）在有限的時(shí)間內(nèi)，能否通過施加適當(dāng)?shù)妮斎肓浚┰谟邢薜臅r(shí)間內(nèi)，能否通過施加適當(dāng)?shù)妮斎肓縰(t) 將系統(tǒng)從

47、任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其他指定的狀態(tài)上去。將系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其他指定的狀態(tài)上去。（2）由于狀態(tài)變量通常不是個(gè)個(gè)能被量測的，能否在有）由于狀態(tài)變量通常不是個(gè)個(gè)能被量測的，能否在有 限時(shí)間內(nèi)根據(jù)對(duì)輸出限時(shí)間內(nèi)根據(jù)對(duì)輸出y(t)的量測來確定初始狀態(tài)的量測來確定初始狀態(tài)x(t0) 對(duì)于上述問題，卡爾曼首先做出了回答，這就是人對(duì)于上述問題，卡爾曼首先做出了回答，這就是人們所知的能控性和能觀性，這兩個(gè)概念是現(xiàn)代控制理論們所知的能控性和能觀性，這兩個(gè)概念是現(xiàn)代控制理論中的兩個(gè)非常重要的概念。中的兩個(gè)非常重要的概念。第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性一、能控性定義一、能控性定義1、已知

48、一系統(tǒng)狀態(tài)方程為、已知一系統(tǒng)狀態(tài)方程為1221132dxxxuxx 由圖可知，當(dāng)由圖可知，當(dāng) 時(shí)，輸入時(shí)，輸入U(xiǎn)(s)不僅能直接控不僅能直接控制狀態(tài)變量制狀態(tài)變量x1的變化，而且還通過的變化，而且還通過x1與與x2的耦合關(guān)系的耦合關(guān)系間接地影響著間接地影響著x2，故系統(tǒng)的，故系統(tǒng)的狀態(tài)是能控的狀態(tài)是能控的。如果。如果d=0,輸入輸入u到到x2間便沒有通路，此時(shí)系統(tǒng)為間便沒有通路，此時(shí)系統(tǒng)為不能控。不能控。0d第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性2、橋形電路、橋形電路狀態(tài)變量為狀態(tài)變量為x,輸入量為輸入量為u(t)，輸出量為，輸出量為y(t) 不管輸入不管輸入u(t)如何改變，

49、如何改變，u(t)引起的電容兩端的電位相等，引起的電容兩端的電位相等，即狀態(tài)變量即狀態(tài)變量x(t)=0,因此，狀態(tài)變量因此，狀態(tài)變量x是不能控的。是不能控的。 令令u(t)=0，不管狀態(tài)變量初始值，不管狀態(tài)變量初始值x0為任何非零值，輸出為任何非零值，輸出y(t)恒等于恒等于0，因此初始狀態(tài)，因此初始狀態(tài)x0引起的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)不能被引起的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)不能被y(t)所反映，所反映，即狀態(tài)變量即狀態(tài)變量x是不能觀測的。是不能觀測的。不能控、不能觀測不能控、不能觀測第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性能控性定義：能控性定義： 若存在著一個(gè)無約束的控制向量若存在著一個(gè)無約束的控制向量u(t)

50、，在有限的時(shí)間內(nèi)，在有限的時(shí)間內(nèi)，將系統(tǒng)由任意給定的初始狀態(tài)將系統(tǒng)由任意給定的初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)原轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，簡稱系統(tǒng)能控。點(diǎn)，則稱系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，簡稱系統(tǒng)能控。二、線性定常離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)二、線性定常離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)例例9-9 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中式中問能否通過控制量問能否通過控制量使系統(tǒng)在第三步（使系統(tǒng)在第三步（k=2）上轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。上轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性解：利用迭代法，由狀態(tài)方程求得解：利用迭代法，由狀態(tài)方程求得令令x(3)=0，如果上式有

51、解，能從式中求出，如果上式有解，能從式中求出即即則系統(tǒng)是能控的。則系統(tǒng)是能控的。第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性把上式改寫為把上式改寫為因?yàn)橐驗(yàn)檫@表示方程式有解，其解為這表示方程式有解，其解為-第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)稱為能控性矩陣稱為能控性矩陣?yán)?-10 已知一單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：已知一單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。試判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。-第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閯t得則得故該系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控的故該系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控的 。第五節(jié)第

52、五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性例例9-11 一系統(tǒng)的狀態(tài)方程為一系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷系統(tǒng)的能控性。判斷系統(tǒng)的能控性。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)樗栽撓到y(tǒng)是能控的。所以該系統(tǒng)是能控的。第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性例例 9-12 一多輸入三階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為一多輸入三階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 判斷系統(tǒng)的能控性。判斷系統(tǒng)的能控性。解：由于解：由于H是是3*2型矩陣，型矩陣，rank（H）3，因此對(duì)能控性，因此對(duì)能控性 的判斷還要考察下列矩陣的秩的判斷還要考察下列矩陣的秩所以該系統(tǒng)是能控的。所以該系統(tǒng)是能控的。第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能

53、控性三、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)三、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判據(jù)=若若則線性定常連續(xù)系統(tǒng)就是能控的。則線性定常連續(xù)系統(tǒng)就是能控的。線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 tCttBtAtxyuxx第六節(jié)第六節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能觀性線性定常系統(tǒng)的能觀性能觀性的定義能觀性的定義線性定常離散系統(tǒng)的能觀性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的能觀性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性判據(jù)第五節(jié)第五節(jié) 線性定常系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)的能控性 為了使系統(tǒng)具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能，就要求系統(tǒng)的所有的為了使系統(tǒng)具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能，就要求系統(tǒng)的所有的狀態(tài)變量都能被測量，這一點(diǎn)在工程上難以實(shí)現(xiàn)。基于系統(tǒng)狀態(tài)變量都能被測量，這一點(diǎn)在工程上難以實(shí)現(xiàn)?；谙到y(tǒng)的輸出是狀態(tài)變量的線性組合，因此設(shè)想能否由輸出的量測的輸出是狀態(tài)變量的線性組合，因此設(shè)想能否由輸出的量測值來確定系統(tǒng)的狀態(tài)，這就涉及到系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的概念。值來確定系統(tǒng)的狀態(tài)，這就涉及到系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的概念。 雖然系統(tǒng)的輸出能被測量，但并不等于由量測到的輸雖然系統(tǒng)的輸出能被測量，但并不等于由量測到的輸出值就能確定系統(tǒng)的狀態(tài)，只有狀態(tài)能觀測的系統(tǒng)，才能出值就能確定系統(tǒng)的狀態(tài)，只有狀態(tài)能觀測的系統(tǒng)，才能有輸出的量測值估計(jì)出系統(tǒng)的狀態(tài)。有輸出的量測值估計(jì)出系統(tǒng)的