1、2022-6-204.1 概述概述構(gòu)件的承載能力與平面圖形的各種幾何性構(gòu)件的承載能力與平面圖形的各種幾何性質(zhì)有密切的關(guān)系，比如前面學(xué)習(xí)的軸向拉質(zhì)有密切的關(guān)系，比如前面學(xué)習(xí)的軸向拉壓的應(yīng)力有橫截面的面積成反比等等。本壓的應(yīng)力有橫截面的面積成反比等等。本章將學(xué)習(xí)本課程將要用到的一些平面圖形章將學(xué)習(xí)本課程將要用到的一些平面圖形的幾和性質(zhì)及其計算方法。的幾和性質(zhì)及其計算方法。， 2022-6-20oyz4.2 靜矩和形心靜矩和形心一、一、 靜矩靜矩dA yz微元對微元對 z , y 軸的靜矩為軸的靜矩為：靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零。平面圖形面積與某一軸的一次矩平面圖形面積

2、與某一軸的一次矩 AyzdASAzydAS， dAzdAy圖形對圖形對 z , y 軸的靜矩為軸的靜矩為：2022-6-20yzo dA yz二、截面形心二、截面形心 C 的坐標(biāo)的坐標(biāo)均質(zhì)薄板的重心與平面均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐圖形的形心有相同的坐標(biāo)。標(biāo)。AyAyiicASzAzdAzAcASyAydAACzyCc2022-6-20截面對形心軸的靜矩截面對形心軸的靜矩若截面對某一軸的靜矩等于零，若截面對某一軸的靜矩等于零，三、已知形心求靜矩三、已知形心求靜矩CyzASCzyASyzoCzyCc則該軸必過形心。則該軸必過形心。等于零。等于零。2022-6-20四四 、 組合截面形

3、心計算組合截面形心計算截面各組成部分對于同一軸的靜矩之代數(shù)和；截面各組成部分對于同一軸的靜矩之代數(shù)和；截面對某一軸的靜矩：截面對某一軸的靜矩： 由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面2022-6-201 組合截面靜矩的計算公式組合截面靜矩的計算公式CiinizyAS1CiiniyzAS1niiniCiizCAyAASy11niiniciiyCAzAASz112 組合截面形心坐標(biāo)的公式組合截面形心坐標(biāo)的公式2022-6-20例例1: 已知：截面尺寸如圖。求已知：截面尺寸如圖。求：該截面的形心位置。：該截面的形心位置。cm2 . 01341135 . 1135 .

4、 041)5 . 1(13AxAxiiCcm7 . 23435 . 0133415 . 413AyAyiiC2022-6-202010020例例2：求圖示圖形的形心：求圖示圖形的形心0cxmm40 201002010070201001020100 AAyAyAy212211C100oyx2022-6-20例例3：求圖示圖形的形心：求圖示圖形的形心0cxmm4521020020200210010200)10(20200321332211cAAAyAyAyAy202002001010A1A2A3xy2022-6-20例題4：求圖示平面圖形的形心.5m5m15m15m20m2022-6-20zy4.

5、3 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積一、極慣性矩一、極慣性矩dA2微元對坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩dA2PIdA2022-6-20zy二、慣性矩二、慣性矩dAy21 微元對z軸的慣性矩dAy22 圖形對z軸的慣性矩zIdAz2yI平面圖形對某一軸的二次矩 長度的四次方， 總為正 yzdA2022-6-20zydAy2zIdAz2yIdA2PI222zy zyPIII3 極慣性矩與慣性矩之間的關(guān)系極慣性矩與慣性矩之間的關(guān)系圖形對任意兩個互相垂直軸的慣性矩之和，等于它對該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。yzdA2022-6-204 幾種常見截面對本身形心軸的慣性矩幾種常見截面對本身形心軸的慣性矩z

6、ybhydycdAyIA2z2h2h2bdyy2h2h3y3b3121bhdAzIA2y3121hb(1)、矩形截面2022-6-20(2)、實心圓形截面zydAPdAI24321dpzyIIIzyII 4641d2022-6-20(3)、空心圓截面小大PPPIII44321321dD)1 (32144DDd小大zzzyIIII)1 (64144DdDzy2022-6-20三、慣性半徑三、慣性半徑AIiyyAIizzzyii ,慣性半徑慣性半徑（單位：（單位： ） mzyyzdA2022-6-20AyzdA圖形對圖形對y、z兩軸的慣性積兩軸的慣性積微元對微元對 x , y 軸的慣性積為軸的慣性

7、積為dAyzyzIzyyzdA二、慣性積二、慣性積2022-6-20在何種條件下，圖形對坐標(biāo)軸的慣性積為零？在何種條件下，圖形對坐標(biāo)軸的慣性積為零？IIIAAyzdAyzdAIAyzyzdAIIIAyzdA0yzIAIIA2022-6-20若若, 0yzI則該對坐標(biāo)軸稱為則該對坐標(biāo)軸稱為主慣性軸（主軸）主慣性軸（主軸）。對稱軸一定是主軸，對稱軸一定是主軸，主軸主軸主軸不一定是對稱軸主軸不一定是對稱軸zy2022-6-20對形心主慣性軸的矩。主慣性軸：主慣性軸：圖形對一對正交的坐標(biāo)軸的慣性積等于零;主慣性矩：主慣性矩： 對主慣性軸的慣性矩。形心主慣性軸：形心主慣性軸：通過圖形形心的主慣性軸。形心

8、主慣性矩：形心主慣性矩：幾個常用概念幾個常用概念2022-6-204.4 平行移軸公式平行移軸公式 （a , b ) ：形心形心C 坐標(biāo)坐標(biāo)azzCA2CdAzycIA2dAzyIA2CydA)a(zIAaI2yCA2ACA2CdAadAz2adAz一、平行移軸公式一、平行移軸公式 byyCzyzcycdAbayczcCyz2022-6-20dAyzIAyzdA)az)(by(ACCdAzyACCabAIzyccdAyaACdAabAdAzbACzyzcycdAbayczcCyz2zczbAII同理得到：慣性積2022-6-20AaII2yyCAbII2zzCabAIICCzyyz平行移軸公式

9、平行移軸公式 1 1 兩平行軸中，必須有一軸為兩平行軸中，必須有一軸為形心軸形心軸, ,截面對任意兩平行軸的截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系慣性矩間的關(guān)系, ,應(yīng)通過平行的形心軸慣性矩來換算應(yīng)通過平行的形心軸慣性矩來換算; ;2 2 圖形對所有平行軸的慣性矩中圖形對所有平行軸的慣性矩中, ,以對通過形心軸的慣性矩最小以對通過形心軸的慣性矩最小. .注意：注意：zyzcycdAbayczcCyz2022-6-20二、二、組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 慣性積慣性積n1iiyyIIn1iizzIIn1iiyzyzII2022-6-2020cm3173例例1：T字形截面字形截面,求其對形心軸的慣

10、矩。求其對形心軸的慣矩。(1)求形心求形心zyC1yczcz1y任選參考坐標(biāo)系任選參考坐標(biāo)系,ASzyc1IIIIIyIyAASS11173203)5 . 83(173)5 . 1(203cm1 . 69cm.13z20zcc2022-6-20,zcIycI(2)求求IIzcIzczcIII3331712120312142048 cmIIycIycycIII20cm3173zyC1yczczIII) 5 . 1(32032012123cz) 5 . 8(31717312123cz44030 cm2022-6-20練習(xí)練習(xí) 求求T形截面對其水平形心軸形截面對其水平形心軸 的慣性矩的慣性矩。201

11、40100202022-6-20constIIIIIIz0yozyzy11幾個結(jié)論幾個結(jié)論1 圖形對過一點(diǎn)的任意一對正交軸的慣性矩之和保持常量；圖形對過一點(diǎn)的任意一對正交軸的慣性矩之和保持常量；2 在過同一點(diǎn)的所有正交軸中，在過同一點(diǎn)的所有正交軸中，圖形對主軸的慣性矩圖形對主軸的慣性矩另一個為最小值；另一個為最小值；一個為最大值，一個為最大值，3 此公式適用于水平軸為此公式適用于水平軸為y軸軸2022-6-20 1 確定形心確定形心 的位置的位置2 選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐 標(biāo)軸標(biāo)軸 yc ，zc, 求形心主慣性矩的步驟求形心主慣性矩

12、的步驟IIi yyIIi zzIIiyzyzAyAASyn1iCiizCAzAASzn1iciiyC計算圖形對形心軸的慣性矩計算圖形對形心軸的慣性矩 Iy , Iz 和慣性積和慣性積 Iyz 3 確定主慣性軸的位置確定主慣性軸的位置zyyzIII22tan020 0+2022-6-204 計算形心主慣性矩計算形心主慣性矩2yz2zyzyyI4II212III02242120yzzyzyzIIIIII5 方位與方位與形心主慣性矩的對應(yīng)關(guān)系形心主慣性矩的對應(yīng)關(guān)系zyII 如果20 0+中，絕對值較小者對應(yīng)慣性矩的最大值2022-6-20確定圖形的形心主軸位置，并計算形心主慣性矩確定圖形的形心主軸位

13、置，并計算形心主慣性矩70701601111112022-6-20（1）首先確定圖形的形心。(2) 利用平行移軸公式分別求出各矩形對y軸和z軸的慣性矩和慣性積423121yycm9 .360059. 0011. 00745. 0011. 0059. 0121AaII1C423121cm2 .98059. 0011. 0)035. 0(011. 0059. 01211AbIICzz4111cm169059. 0011. 00745. 0)035. 0(011AbaIICCzyyz 矩形I7070160111111yz2022-6-20矩形：376916. 0011. 01213222IIII1A

14、aIICyy78. 1011. 016. 01213222IIII1AbIICzz0IIyzI矩形：9 .360323IIIIII1AaIICyy2 .98323IIIIII1AbIICzz169333IIIIII11AbaIICCzyyz7070160111111yz2022-6-20整個圖形對軸和軸的慣性矩和慣性積為3 .1097yyyyIIII198zzzzIIII4 .338IIIIIyzyzyzyzIIII752. 01983 .1097)338(222tan0zyzyIII5 .1805 .108900（3）形心主軸方位逆時針旋轉(zhuǎn)7070160111111yzy1z12022-6-20（4）0 0+90的兩個值分別確定了形心主軸位置4ycm121037sin)338(37cos21983 .109721983 .1097I04zcm85217sin)338(217cos21983 .109721983 .1097I07070160111111yzy1z12022-6-20 20 c10101207080例例 計算所示圖形的形心主慣性矩。計算所示圖形的形心主慣性矩。yz2022-6-20 20 c10101207080yz442323ymm10100.4)25(10