1、1第八章第八章 非線性控制系統(tǒng)分析非線性控制系統(tǒng)分析28-4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法描述函數(shù)法是用于非線性系統(tǒng)分析的一種有描述函數(shù)法是用于非線性系統(tǒng)分析的一種有用工具。它是一種近似的分析方法，雖然沒有相用工具。它是一種近似的分析方法，雖然沒有相平面法準(zhǔn)確，但避開了相平面法作圖的繁瑣與困平面法準(zhǔn)確，但避開了相平面法作圖的繁瑣與困難，而且不受階次的限制。難，而且不受階次的限制。描述函數(shù)法是建立在諧波線性化的基礎(chǔ)上，描述函數(shù)法是建立在諧波線性化的基礎(chǔ)上，來分析周期信號(hào)基本頻率分量的傳遞關(guān)系，從而來分析周期信號(hào)基本頻率分量的傳遞關(guān)系，從而討論系統(tǒng)在頻域中的一些特征，如穩(wěn)定性，自激討論系統(tǒng)在頻域中的一些特

2、征，如穩(wěn)定性，自激振蕩等，但它不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。振蕩等，但它不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。 1、描述函數(shù)法的基本概念、描述函數(shù)法的基本概念3 在一定的假設(shè)條件下，系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)在一定的假設(shè)條件下，系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來近在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，并由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，似，并由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即即描述函數(shù)描述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效成一個(gè)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效成一個(gè)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。行頻域分析。v 描述函

3、數(shù)法的基本思想描述函數(shù)法的基本思想v 描述函數(shù)法的限制條件描述函數(shù)法的限制條件 應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)，要求應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)，要求滿足以下條件：滿足以下條件：(1)(1)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡化成只有一非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡化成只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)個(gè)非線性環(huán)節(jié) 和一個(gè)線性部分和一個(gè)線性部分 G(s) 閉環(huán)連閉環(huán)連接的典型形式。接的典型形式。4(3) 系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性，可系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性，可將非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波濾掉。將非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波濾掉。( (2) ) 非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性y(x)是是x的奇函

4、數(shù)，的奇函數(shù)，或正弦輸入下的輸出為或正弦輸入下的輸出為t的奇對(duì)稱函數(shù)，保證非的奇對(duì)稱函數(shù)，保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量。線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量。( (4) ) 非線性輸出的高次諧波的振幅要比基波的振非線性輸出的高次諧波的振幅要比基波的振 幅小。幅小。( )G s( )r t( )x t( )y t( )c tN5 對(duì)于典型非線性系統(tǒng)，設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入對(duì)于典型非線性系統(tǒng)，設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入 x(t)=Asint , 通常輸出通常輸出y(t) 是非正弦周期函數(shù)，將是非正弦周期函數(shù)，將此函數(shù)展開成傅氏級(jí)數(shù)的形式此函數(shù)展開成傅氏級(jí)數(shù)的形式0101( )(cossin)sin()n

5、nnnnny tAAntBntAYnt其中：其中：20011( )( )22Ay t dty t dtv 描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的定義因?yàn)橐驗(yàn)閥( (t) )是奇對(duì)稱的，故有是奇對(duì)稱的，故有A0=0。220011( )cos() () ,( )sin() ()(1, 2 ,)nnAy tn t dtBy tn t dtn是直流分量。是直流分量。6An和和Bn為輸出的為輸出的n次諧波分量的幅值，一般為次諧波分量的幅值，一般為A的函數(shù)。的函數(shù)。n值值越大，越大，n越大，根據(jù)條件越大，根據(jù)條件 (3)，高，高次諧波分量被充分衰減；依據(jù)條件次諧波分量被充分衰減；依據(jù)條件(4)，An和和Bn隨隨n增大而

6、減小，因此可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)增大而減小，因此可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出僅有一次諧波分量，即：輸出僅有一次諧波分量，即：)sin(sincos)()(11111tYtBtAtyty22111111arctanAYABB，201sin)(1ttdtyB2101( )cos,Ay ttd t7因此，當(dāng)非線性環(huán)節(jié)因此，當(dāng)非線性環(huán)節(jié) N 的輸入的輸入 x(t) 為正弦為正弦函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出 y(t) 可近似看作與輸入同頻可近似看作與輸入同頻率的正弦信號(hào)，只是相位和幅值不同。類似于率的正弦信號(hào)，只是相位和幅值不同。類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性的概念，把輸出信號(hào)一線性系統(tǒng)中的頻率特

7、性的概念，把輸出信號(hào)一次諧波分量與輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)之比定義為非線次諧波分量與輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)之比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用 來表示，則：來表示，則：1( )111( )( )jj N AYBjAN AN A eeAA8例：設(shè)繼電特性為例：設(shè)繼電特性為,0( ),0Mxy xMx計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。解：解：,0( )sin,( ),2Mtx tAty tMt220001( )022MAy t d td td t221001( )coscoscos0MAy ttd ttd ttd t2210014( )sinsinsinMMBy ttd tt

8、d ttd t114( )BjAMN AAA9非線性特性為輸入非線性特性為輸入 x 的奇函數(shù)時(shí)，即的奇函數(shù)時(shí)，即y=f (x)= - f(-x)10102( )cos2( )sinAy ttdtBy ttdt y(t)為奇函數(shù)時(shí)，即為奇函數(shù)時(shí)，即 y(t)= -y(-t)11002( )sinABy ttdt10 用描述函數(shù)表示非線性特性時(shí)，相當(dāng)于用用描述函數(shù)表示非線性特性時(shí)，相當(dāng)于用線性特性代替了元件本來的非線性特性。因此線性特性代替了元件本來的非線性特性。因此可把非線性元件看作是個(gè)放大器，其增益可把非線性元件看作是個(gè)放大器，其增益N(A) 是一個(gè)復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)的幅值和相角是輸入信號(hào)是一個(gè)復(fù)數(shù)

9、，該復(fù)數(shù)的幅值和相角是輸入信號(hào)幅值幅值A(chǔ)的函數(shù)，反映了非線性元件等效頻率特性的函數(shù)，反映了非線性元件等效頻率特性特點(diǎn)。特點(diǎn)。 當(dāng)非線性元件用描述函數(shù)表示后，就可以當(dāng)非線性元件用描述函數(shù)表示后，就可以用線性系統(tǒng)理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)的基本特征了。的基本特征了。v 描述函數(shù)的物理意義描述函數(shù)的物理意義111 1、死區(qū)特性的描述函數(shù)、死區(qū)特性的描述函數(shù)2、典型非線性特性的描述函數(shù)、典型非線性特性的描述函數(shù)22( )arcsin1, 2KN AAAAA122、飽和特性的描述函數(shù)、飽和特性的描述函數(shù)22( )sin1,kaaaN AarcAaAAA133、

10、非線性系統(tǒng)的簡化、非線性系統(tǒng)的簡化（1 1）非線性特性的并聯(lián)）非線性特性的并聯(lián)14（2 2）非線性特性的串聯(lián)）非線性特性的串聯(lián)154、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法N(A)G(j)r(t)c(t) N( (A) )是經(jīng)過諧波線性化后的等效環(huán)節(jié)，可以作是經(jīng)過諧波線性化后的等效環(huán)節(jié)，可以作為一個(gè)具有復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來處理，由此非線為一個(gè)具有復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來處理，由此非線性系統(tǒng)可以看作一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)可以看作一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率域穩(wěn)定判據(jù)來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的性系統(tǒng)理論中的頻率域穩(wěn)定判據(jù)來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性

11、。16（1 1）變?cè)鲆婢€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析）變?cè)鲆婢€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析G( (s) )rcxy0-1設(shè)設(shè)G( (s) )的極點(diǎn)均位于的極點(diǎn)均位于s左半平面，系統(tǒng)頻率特性的左半平面，系統(tǒng)頻率特性的閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為1+1+KG( (jj)=0)=0。當(dāng)當(dāng) G不包圍不包圍(-1/(-1/K，j0)0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定。當(dāng)當(dāng)G包圍包圍(-1/(-1/K，j0)0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。當(dāng)當(dāng)G穿過穿過(-1/(-1/K，j0)0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定。Ke17如果如果K在一定范圍內(nèi)可變化，在一定范圍內(nèi)可變化，K1 1 K

12、K2 2 , ,則則 為復(fù)平面為復(fù)平面實(shí)軸上的一段線段。實(shí)軸上的一段線段。xy021K11K1/ K當(dāng)當(dāng)G不包圍不包圍(-1/(-1/K，j0)0)線段時(shí)，線段時(shí)， 閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)當(dāng)G包圍包圍(-1/(-1/K，j0)0)線段時(shí)，線段時(shí)， 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。18 設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示：設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示：)()(1)()()(jGANjGANj（2 2）應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性）應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性N(A)G(j)r(t)c(t) 圖中圖中G( (s) )的極點(diǎn)均位于的極點(diǎn)均位于s左半平面左半平面, ,則閉則閉環(huán)系統(tǒng)的頻率

13、特性為：環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：191()( )G jN A 非線性系統(tǒng)滿足上述條件相當(dāng)于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)滿足上述條件相當(dāng)于線性系統(tǒng)滿足滿足 G( (j)=-1 )=-1 的條件，所以上式就是非線性的條件，所以上式就是非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的條件，復(fù)平面上的系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的條件，復(fù)平面上的 -1/N(A) 曲線就是臨界線。曲線就是臨界線。閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為：0)()(1jGAN1( )N A稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。20()G jj01( )N A()G jj01( )N A 曲線與曲線與 -1/N(A) 曲線無交點(diǎn)：曲線無交點(diǎn)： 曲線包圍曲線包圍

14、-1/N(A)曲曲線，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。線，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。 曲線不包圍曲線不包圍-1/N(A)曲曲線線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。GGG21v 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)： 若若 曲線不包圍曲線不包圍 -1/N(A) 曲線，曲線， 則非線則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；性系統(tǒng)穩(wěn)定； 若若 曲線包圍曲線包圍 -1/N(A) 曲線曲線 ，則非線性，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。GG22例：已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，分析其穩(wěn)定性。例：已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，分析其穩(wěn)定性。0.5k 1( )r t( )x t( )y t( )c t10(1)(41)s ss解解：10(

15、)(1)(41)G ss ss0002022180904490519014214xxxxxxxxarctgarctgarctgarctgarctg 23222210()(1) (4)1)1011114122210815522xxxxG j 10(0)11411( )2( )NMN AkANk 24j01()NA28 曲線曲線包圍包圍 -1/N(A) 曲線曲線 ， 非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。G25（3 3）非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性分析）非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性分析 當(dāng)當(dāng) 曲線曲線與與-1/N(A)曲線有交點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)存在曲線有交點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)存在無外作用下的周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)于相

16、平面分析中的無外作用下的周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)于相平面分析中的極限環(huán)。極限環(huán)。j01( )N A()G j1N2N0Nj01( )N A()G j2N1N0Nj0()G j1N3N2N20N10Nj0()G j20N10N1( )N A1( )N AG26j01()NA()Gj1N2N0N 設(shè)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的幅值為設(shè)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的幅值為A0。當(dāng)外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)。當(dāng)外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到輸入振幅減小到A1時(shí)，時(shí)， 曲線曲線包圍包圍( (-1/N(A1) , j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅增大，最終回到穩(wěn)定，振幅增大，最終回到N0點(diǎn)。當(dāng)外界擾動(dòng)使輸入振幅增點(diǎn)。當(dāng)外界擾動(dòng)使輸入振幅增大到

17、大到A2時(shí)，時(shí)， 曲線曲線不包圍不包圍( (-1/N(A2) , j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終回到減小，最終回到N0點(diǎn)。點(diǎn)。 因此因此N0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。GG27j01()NA()Gj2N1N0N 當(dāng)當(dāng)外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅增加到外界擾動(dòng)使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅增加到A2時(shí)，時(shí)， 曲曲線線包圍包圍( (-1/N(A2) , j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅繼續(xù)增大而點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅繼續(xù)增大而發(fā)散。當(dāng)外界擾動(dòng)使輸入振幅減小到發(fā)散。當(dāng)外界擾動(dòng)使輸入振幅減小到A1時(shí)，時(shí)， 曲線不包圍曲線不包圍( (-1/N(A1) , j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，

18、振幅減小，最終衰減到零。點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終衰減到零。 因此因此N0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。GG28j0G(j1N3N2N20N10N1N(A)依據(jù)同樣的分析方法可知：依據(jù)同樣的分析方法可知： N20點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。 N10點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。29j0G(j20N10N1N(A)依據(jù)同樣的分析方法可知：依據(jù)同樣的分析方法可知： N10點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。 N20點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。30 在復(fù)平面上將在復(fù)平面上將 曲線

19、曲線包圍的區(qū)域看作不穩(wěn)包圍的區(qū)域看作不穩(wěn)定區(qū)域；定區(qū)域； 曲線不包圍的區(qū)域看作穩(wěn)定區(qū)域，則曲線不包圍的區(qū)域看作穩(wěn)定區(qū)域，則周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定判據(jù)為：周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定判據(jù)為： 在在 曲線與曲線與-1/N(A) 曲線交點(diǎn)處，如果曲線交點(diǎn)處，如果 -1/N(A)曲線沿振幅曲線沿振幅A增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，則交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，則交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。如果的。如果-1/N(A)曲線沿振幅曲線沿振幅A增加的方向由穩(wěn)增加的方向由穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，則交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，則交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。動(dòng)是不穩(wěn)定的。GGG31例：設(shè)

20、具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖，例：設(shè)具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖， 1）分析）分析K=15時(shí)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)；時(shí)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)； 2）欲使系統(tǒng)不出現(xiàn)自激振蕩，確定）欲使系統(tǒng)不出現(xiàn)自激振蕩，確定K的臨界值。的臨界值。(0.11)(0.21)Ksssrec01a2k32解：解：1）22( )arcsin1,kaaaN AAaAAA取auA22( )arcsin1,1kN uuuuu22222( )21111410dN ukuuduuuku得得N(u)為為u 的增函數(shù)，的增函數(shù)，-1/N(A)為為A的減函數(shù)。的減函數(shù)。33由已知飽和非線性環(huán)節(jié)的參數(shù)由已知飽和非線性環(huán)節(jié)的參數(shù) a=1, k=2，則，則11110.5,2( )arcsin1112( )A aAAkN AkkN AA 17.070.1 0.2x221515,()1(0.1)1 (0.2)1xxxKG j j00.511( )N A可知