1、1.1.2 余弦定理第1頁/共32頁(1)正弦定理可以解決三角形中的問題： 已知兩角和一邊，求其他角和邊 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：1.復(fù)習(xí)回顧：第2頁/共32頁(3) 正弦定理的變形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin(2) 三角形面積公式：111sinsinsin222ABCSbcAcaBabC2sinsinsinabcRABC 第3頁/共32頁 如果已知一個三角形的兩條邊及其夾角，根據(jù)三角形全等的定理，該

2、三角形大小形狀完全確定，那么如何解出這個三角形呢？思考：第4頁/共32頁CBAcab思考： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB與CA 的夾角為C， 求邊c.cABbCAaCB,設(shè))()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac2.余弦定理（1）向量法第5頁/共32頁CBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac思考： 若ABC為任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,

3、求AB 邊 c.cABbCAaCB,設(shè)第6頁/共32頁CBAcabBaccabcos2222余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得Cbabacos222思考： 若ABC為任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 邊 c.cABbCAaCB,設(shè)bac第7頁/共32頁Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余 弦 定 理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。CBAbac第8頁/共32頁bAacCB證明：以

4、CB所在的直線為x軸，過C點垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標系，則A、B、C三點的坐標分別為：( cos, sin)A bC bCxy( ,0)B a(0,0)C（2）解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos2222222coscababC 第9頁/共32頁ABCabcD當角C為銳角時（3）幾何法bAacCBD當角C為鈍角時CBAabc 余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來證明余弦定理。第10頁/共32頁證明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CDAB，則CD=bsinA,BD=c-bco

5、sAABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcabD第11頁/共32頁Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：第12頁/共32頁解三角形問題：1、已知三邊；2、已知兩邊和夾角；3、已知兩邊和其中一邊的對角；5、已知兩角和其中一角的對邊；4、已知兩角和夾邊；6、已知三角；正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理第13頁/共32

6、頁（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；3.余弦定理的應(yīng)用第14頁/共32頁練習(xí)01.=262,135 ,ABCacB 在中，已知 ，解此三角形002 2,30 ,15bAC第15頁/共32頁2222cosbcaacB解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或第16頁/共32頁22 3202sin30a bxxA BA BCcABC 3 3. .銳銳角角三三角角形形中中，邊邊 、 是是方方程程 的的兩兩根根，角角 、 滿滿足足（），求求角角 的的度度數(shù)數(shù)，邊邊 的的長長度度及及的的面面積積2si32n3si0nAABB解：

7、（），（為銳角三角形為銳角三角形ABC oBA120 60oC22 320abxx邊 、 是方程 的兩根232 abba，第17頁/共32頁Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 2323221sin21 CabSABC6 c第18頁/共32頁（2）已知三邊，求三個角。第19頁/共32頁練習(xí)4.在ABC中，已知a= ,b=2,c= ,解三角形解：由余弦定理得22222223 161222 23 1()()cos()bcaAbc 60A22222263122222631acbBac()()cos()45B180180604755CAB 631第20頁/共32頁（3）判斷三角形的形

8、狀例、在ABC中， 那么是（）222cba. 鈍角. 直角. 銳角. 不能確定第21頁/共32頁提煉：設(shè)a是最長的邊，則ABC是鈍角三角形222cbaABC是銳角三角形222cbaABC是直角三角形222cba第22頁/共32頁7. 在ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定ABC的形狀分析： ABC的形狀是由大邊b所對的大角 B決定的。222(,)90 180cBba若已知三邊的比是7:10:6，怎么求解 練習(xí)：第23頁/共32頁8.一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（ ） 分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗?zāi)囊粋€選項中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。BA. 1，2，

9、3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6第24頁/共32頁9.在ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角是最大角。由大邊對大角，已知兩邊可求出第三邊,找到最大角。2222cosabCbca221314278987 解：3c 則有：b是最大邊，那么B 是最大角22222273822 3 71cos7acbacB 第25頁/共32頁4.小結(jié):222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCabCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222（1）余弦定理：（2）推論:第26頁/共