1、第二節(jié) 積分的應(yīng)用一、定積分的幾何應(yīng)用一、定積分的幾何應(yīng)用二、定積分在物理應(yīng)用舉例二、定積分在物理應(yīng)用舉例一、定積分的幾何應(yīng)用1. 定積分的微元法定積分的微元法用定積分概念解決實際問題的四個步驟用定積分概念解決實際問題的四個步驟： 第第一一步步：將將所所求求量量 F分分為為部部分分量量之之和和，即即: : niiFF1; ; 第第二二步步：求求出出每每個個部部分分量量的的近近似似值值， iF);, 2 , 1()(nixfii 第三步：寫出整體量第三步：寫出整體量 F的近似值，的近似值，niiFF1iniixf)(1； 第第四四步步：取取0maxix時時的的iniixf)(1極極限限，則則得得

2、 nibaiixxfxfF10d)()(lim. . 觀觀察察上上述述四四步步我我們們發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，第第二二步步最最關(guān)關(guān)鍵鍵，因因為為最最后后的的被被積積表表達達式式的的形形式式就就是是在在這這一一步步被被確確定定的的， 這這只只要要把把近近似似式式iixf)(中中的的變變量量記記號號改改變變一一下下即即可可（ i換換為為 x；ix換換為為 xd）. . 而而第第三三、 第第四四兩兩步步可可以以合合并并成成一一步步： 在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上無無限限累累加加，即即在在 ba,上上積積分分. . 至至于于第第一一步步，它它只只是是指指明明所所求求量量具具有有可可加加性性，這這是是 F能能用用定定積積

3、分分計計算算的的前前提提，于于是是，上上述述四四步步簡簡化化后后形形成成實實用用的的微微元元法法. . 定積分應(yīng)用的微元法定積分應(yīng)用的微元法： ( (一一) ) 在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上任任取取一一個個微微小小區(qū)區(qū)間間 xxxd, ，然然后后寫寫出出在在這這個個小小區(qū)區(qū)間間上上的的部部分分量量F的的近近似似值值，記記為為xxfFd)(d( (稱稱為為 F的的微微元元) ); ; （二二） 將將微微元元Fd在在ba,上上積積分分（無無限限累累加加） ，即即得得 .d)(baxxfF2.平面圖形的面積計算平面圖形的面積計算1）直角坐標系情形 2）極坐標情形 曲曲邊邊扇扇形形：是是指指由由曲曲線線)

4、(rr 及及兩兩條條射射線線,所所圍圍成成的的圖圖形形（如如右右下下圖圖）. . 取取 為積分變量， 其變化范圍為為積分變量， 其變化范圍為,， 在微小區(qū)間， 在微小區(qū)間 d,上上“以常代變以常代變”，即以小扇形面積，即以小扇形面積 Ad作為小曲邊扇形面積的近似作為小曲邊扇形面積的近似值，于是得面積微元為值，于是得面積微元為 21d( )d ,2Sr將將Ad在在,上積分上積分, ,便得曲便得曲邊邊 扇形面積為扇形面積為 21( )d .2SrO x ()rr d 3）旋轉(zhuǎn)體的體積 設(shè)設(shè) 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 體體 是是 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy 和和 直直 線線)(,babxax，及及 x

5、軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞 x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成（如如下下圖圖） ，我我們們來來求求它它的的體體積積 V. . 在區(qū)間在區(qū)間 ,ba上點上點 x處垂直處垂直 x軸的截面面積為軸的截面面積為 在在x的變化區(qū)間的變化區(qū)間,ba內(nèi)積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為內(nèi)積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為 ).()(2xfxA.d)(2baxxfV.d)(2dcyyVO y x b a A(x) 4）平面曲線的弧長.d1)d()d(d222xyyxQTMQMTs22這這里里xysd1d2也也稱稱為為弧弧微微分分公公式式. . 在在x的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba內(nèi)內(nèi)積積分分，就就得得所所求求弧弧長長 .d)( 1d122

6、babaxxfxys二、定積分的物理應(yīng)用舉例1.變力所做的功變力所做的功 如如果果物物體體在在運運動動的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.2. 水壓力水壓力 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點點處處壓壓強強p不不相相等等，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想3. 引力引力 如如果果要要計計算算一一根根細細棒棒對對一一個個質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力，那那么么，由由于于細細棒棒上上各各點點與與該該質(zhì)質(zhì)點點的的距距離離是是變變化化的的，且且各各點點對對該該質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力方方向向也也是是變變化化的的，就就不不能能用用此此公公式式計計算算2l2l xyoMa解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點將典型小段近似看成質(zhì)點小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy 小段與質(zhì)點的距離為小段與質(zhì)點的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向