1、6.3 窄窄帶高斯過程包絡(luò)與相位的分布帶高斯過程包絡(luò)與相位的分布趙藝群趙藝群314560086.3 窄窄帶高斯過程包絡(luò)與相位的分布帶高斯過程包絡(luò)與相位的分布窄帶高斯過程的包絡(luò)和相位窄帶高斯過程的包絡(luò)和相位6.3.1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布已知窄帶過程的一般表達(dá)式為：已知窄帶過程的一般表達(dá)式為：由上節(jié)內(nèi)容，已知由上節(jié)內(nèi)容，已知 ， 和和 具有如下關(guān)系：具有如下關(guān)系：ttAttAtttAtttAtttAtXsc00000sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()()(tA)(t)(,)(tAtAsc)()(arctan)()(tan)()

2、()()(122tAtAtAtAttAtAtAcscssc)(sin)()()(cos)()(ttAtAttAtAsc6.3.1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布則則 和和 之間的函數(shù)關(guān)系為之間的函數(shù)關(guān)系為其中，其中， 為垂直分量為垂直分量 在固定時(shí)刻的采樣，也都是隨機(jī)在固定時(shí)刻的采樣，也都是隨機(jī)變量。則反變換關(guān)系為：變量。則反變換關(guān)系為：ttA,stAA,ctctststctstctstctAAAAgAAAAgAarctan),(),(2t221tstAA,ct)(,)(tAtAscttstttAAhAAAhAsin),(cos),(tt2tt1ct6.3.1 包絡(luò)和相位的一

3、維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布 求解思路：求解思路： 首先根據(jù)已知的窄帶高斯過程垂直分量首先根據(jù)已知的窄帶高斯過程垂直分量Ac(t),As(t)的統(tǒng)計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性，來研究特性，來研究Act，Ast的統(tǒng)計(jì)特性，從而得到的統(tǒng)計(jì)特性，從而得到Act，Ast的聯(lián)的聯(lián)合概率密度合概率密度 。 從從 出發(fā)，利用雅克比變換得到出發(fā)，利用雅克比變換得到 的的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度 。 最后對(duì)最后對(duì) 的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度 積分，求邊積分，求邊緣概率密度緣概率密度 。 ),(stctAAaafsc),(stctAAaafscttA,),(ttAafttA,),(ttAaf)()(ttAfaf和6.3.

4、1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布1.1.求求 都是高斯隨機(jī)變量。都是高斯隨機(jī)變量。 已知已知X(t)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)高斯過程，由于是一個(gè)平穩(wěn)高斯過程，由于 是是 的線性變換，所以的線性變換，所以 也為平穩(wěn)高斯過程。又也為平穩(wěn)高斯過程。又 均為均為 的線性組的線性組合，故合，故 也是平穩(wěn)高斯過程，所以也是平穩(wěn)高斯過程，所以 均為高斯變量。均為高斯變量。 ),(stctAAaafscstAA,ct)(tX)(tX)(tX)(,)(tAtAsc)()(tXtX和)(,)(tAtAscstcAA ,tttXttXtAttXttXtAsc0000cos)(sin)()(sin)(c

5、os)()(6.3.1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布 根據(jù)根據(jù) 的性質(zhì)，的性質(zhì)， ， 具有零均值和方差具有零均值和方差 。則有：則有： 根據(jù)根據(jù) 的性質(zhì)，同一時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)互不相關(guān)，即的性質(zhì)，同一時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)互不相關(guān)，即 互不相關(guān)。而對(duì)于高斯隨機(jī)變量來說，互不相關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立等互不相關(guān)。而對(duì)于高斯隨機(jī)變量來說，互不相關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立等價(jià)，所以價(jià)，所以 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。)(),(tAtAsc2)(),(tAtAsc)(),(tAtAscstAA,ctstAA,ct22220XAAstctscAEAE6.3.1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布 根據(jù)以上性質(zhì)，則

6、其概率密度為：根據(jù)以上性質(zhì)，則其概率密度為：2. 求求2222(,)()()1exp22cscsA ActstActAstctstfaafafaaa),(ttAaf),(),(stctAAttAaafJafsc)sin,cos(ttttAAaafJsc6.3.1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布其中雅克比行列式為：其中雅克比行列式為：則則 的聯(lián)合概率密度為：的聯(lián)合概率密度為：ttA,20 , 02exp2),(),(),(222ttttstctAAtstctAAttAaaaaafaaafJafscsc0cossinsincosttttttttsttsttcttctaaaaaaa

7、aaJ6.3.1 包絡(luò)和相位的一維概率分布包絡(luò)和相位的一維概率分布 3. 求求 包絡(luò)的一維概率密度包絡(luò)的一維概率密度瑞利分布瑞利分布 相位的一維概率分布相位的一維概率分布均勻分布均勻分布 從上述分析可以看出：從上述分析可以看出： 這說明，在同一時(shí)刻窄帶高斯過程的包絡(luò)和相位是互相獨(dú)這說明，在同一時(shí)刻窄帶高斯過程的包絡(luò)和相位是互相獨(dú) 立的隨機(jī)變量。立的隨機(jī)變量。)()(ttAfaf和2021),()(0ttttAtdaaff0)2exp(),()(22220ttttttAtAaaadafaf)()(),(ttAttAfafaf6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布求包

8、絡(luò)和相位的二維概率密度的步驟如下：求包絡(luò)和相位的二維概率密度的步驟如下： 先求出四維概率密度先求出四維概率密度 ，然后轉(zhuǎn)換為，然后轉(zhuǎn)換為最后再推導(dǎo)出最后再推導(dǎo)出 和和 。1.1.求求 假定窄帶隨機(jī)過程假定窄帶隨機(jī)過程X(t)X(t)的功率譜密度的功率譜密度 關(guān)于載波頻率關(guān)于載波頻率 偶對(duì)偶對(duì)稱稱),(2211scscAAaaaafsc),(2211aafA),(21aafA),(21f),(2211scscAAaaaafsc),(),(),(21212211ssAccAscscAAaafaafaaaafscsc)(GX06.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布u二維

9、高斯變量二維高斯變量(Ac1，Ac2)的協(xié)方差矩陣為：的協(xié)方差矩陣為： 平穩(wěn)高斯過程平穩(wěn)高斯過程 的的 和和u二維高斯變量（二維高斯變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度形式：）的聯(lián)合概率密度形式：220022122111）（）（）（）（）（）（ccccccccccccccAAAAAAAAAAAAAARRCCCCCCCCC)(tAc)()(ccAARC2)0(cAC)(2)()(2)(exp21),(22222x2x2222XYYXYXYXYYXYYXXYCmymymxCmxCyxf6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布二維高斯變量（二維高斯變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度形式

10、：）的聯(lián)合概率密度形式：二維高斯變量二維高斯變量 的聯(lián)合概率密度：的聯(lián)合概率密度：)(2)()(2)(exp21),(22222x2x2222XYYXYXYXYYXYYXXYCmymymxCmxCyxf)(2)(2exp)(21),(24222212122421ccccAcccAcAccARaaaRaRaaf),21ccAA（6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布二維高斯變量二維高斯變量 的聯(lián)合概率密度：的聯(lián)合概率密度：二維高斯變量二維高斯變量 的聯(lián)合概率密度：的聯(lián)合概率密度：),21ccAA（),21ssAA（)(2)(2exp)(21),(2422221212

11、2421ccccAcccAcAccARaaaRaRaaf)(2)(2exp)(21),(24222212122421ssssAsssAsAssARaaaRaRaaf6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布 四維高斯變量四維高斯變量 的聯(lián)合概率密度為：的聯(lián)合概率密度為：),2221ssccAAAA（)(2)(2)(exp)()2(1),(),(),(24212122222221224221212211scsscscAssccAssccAssAccAscscAARaaaaRaaaaRaafaafaaaaf）（）（scAARR6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和

12、相位各自的二維概率分布2. 求求 和和 的關(guān)系為：的關(guān)系為： 雅克比行列式為：雅克比行列式為：),(2211aafA222242222232111121111111sin),(cos),(sin),(cos),(AAhAAAhAAAhAAAhAscsc0cossin00sincos0000cossin00sincos21222222111111aaAAAAJ),2121ssccAAAA（),2221AA（6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布四維隨機(jī)變量四維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為：的聯(lián)合概率密度為：),2221AA（其他；，, 02,00,)(2)cos()(

13、2)(exp)()2(),(),(2121241221222122422122112211aaRaaRaaRaaaaaafJaafscsscAAAscscAAA6.3.2 包絡(luò)和相位各自的二維概率分布包絡(luò)和相位各自的二維概率分布3. 求求 和和 各自的二維聯(lián)合概率密度各自的二維聯(lián)合概率密度 和和 其中，其中， 第一類零階修正貝爾賽爾第一類零階修正貝爾賽爾(Bessel)(Bessel)函數(shù)函數(shù) )(tA)(t),(21aafA),(21f 其他，, 00,)(2)(exp)()()(),(),(212422212242102421212020221121aaRaaRRaaIRaaddaafaafsscsAAAAA