1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分& 3.1 3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念& 3.2 3.2 柯西柯西- -古薩基本定理古薩基本定理& 3.3.3* 基本定理的推廣基本定理的推廣- -復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理& 3.43.4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分& 3.5 3.5 柯西積分公式柯西積分公式& 3.6 3.6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)& 3.73.7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系內(nèi)容簡(jiǎn)介內(nèi)容簡(jiǎn)介復(fù)積分的概念、性質(zhì)、基本計(jì)算公式復(fù)積分的概念、性質(zhì)、基本計(jì)算公式Cauchy-Goursat基本定理，復(fù)合閉路定理基本定理，復(fù)合閉路定理

2、 閉路變形原理閉路變形原理原函數(shù)、不定積分，原函數(shù)、不定積分，Newton-Leibniz定理定理 Cauchy積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式 調(diào)和函數(shù)，實(shí)部調(diào)和函數(shù)，實(shí)部u, 虛部虛部v 的關(guān)系的關(guān)系S1 S1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念1.1.復(fù)積分的定義復(fù)積分的定義逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向。如如沒沒有有特特別別說說明明，總總指指簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線的的正正方方向向記記為為向向曲曲線線的的曲曲線線為為有有向向曲曲線線。反反作作正正方方向向，稱稱帶帶有有方方向向的的兩兩個(gè)個(gè)方方向向中中的的一一個(gè)個(gè)如如果果把把復(fù)復(fù)平平面面上上一一曲曲線線定定義義,. CC面面積積分分。二二

3、類類分分，第第一一類類面面積積分分，第第類類線線積積分分，第第二二類類線線積積二二重重、三三重重積積分分，第第一一常常見見的的積積分分有有定定積積分分，的的積積分分。是是沿沿著著一一條條有有向向曲曲線線作作（作作功功）有有密密切切關(guān)關(guān)系系復(fù)復(fù)積積分分與與第第二二類類線線積積分分,逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向。缺缺省省的的正正方方向向閉閉曲曲線線 :的方向規(guī)定的方向規(guī)定CA (起點(diǎn)起點(diǎn))B (終點(diǎn)終點(diǎn))CC必須明確說明方向。必須明確說明方向。記作記作為負(fù)為負(fù)則則記作記作為正為正若若終點(diǎn)終點(diǎn)指定起點(diǎn)指定起點(diǎn)開曲線開曲線;,: CabCbaba nkkkCnnkknkkkkkkknkkknkkkknkkkn

4、kkzfdzzfCzfSCnszzszzzzfzzfSnkzzBzzzzzzAnCBADCDzf111111111210)(lim)()(0,max)()(,), 2 , 1(,)( 的的積積分分，記記為為沿沿曲曲線線限限為為函函數(shù)數(shù)有有唯唯一一極極限限，則則稱稱此此極極如如何何，的的取取法法的的分分法法及及時(shí)時(shí)，如如果果不不論論對(duì)對(duì)且且當(dāng)當(dāng)?shù)牡拈L(zhǎng)長(zhǎng)度度，為為，記記其其中中并并作作和和式式上上任任意意取取一一點(diǎn)點(diǎn)每每個(gè)個(gè)弧弧段段，在在個(gè)個(gè)弧弧段段，設(shè)設(shè)分分點(diǎn)點(diǎn)為為任任意意分分成成把把曲曲線線的的分分段段光光滑滑有有向向曲曲線線。終終點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)起起點(diǎn)點(diǎn)為為是是內(nèi)內(nèi)，定定義義在在區(qū)區(qū)域域函函數(shù)數(shù)

5、定定義義.)( CdzzfC路路積積分分，記記為為是是閉閉曲曲線線，稱稱積積分分為為閉閉若若定定義義A1z12z23z3.zk1kzkzkBxyO C為在區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線. 把曲線C任意分成n個(gè)弧段, 設(shè)分點(diǎn)為A = z0 , z1,., zk1, zk,., zn = B圖 nkkknBAnkkknCxfdxxfzfdzzf1010)(lim)()(lim)( 注注 nkkknBAnkknkkkknkkknkkkknkkknkkxfdxxfBAxfSCnxxxxxfxxfSxxBxxxxxxAnBABAxfy11111111210)(lim)(,)(0,max)(

6、)(,)( 的的定定積積分分，記記為為在在則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)有有唯唯一一極極限限，的的取取法法如如何何，的的分分法法及及如如果果不不論論對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)，其其中中并并作作和和式式上上任任意意取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在每每段段，個(gè)個(gè)段段，設(shè)設(shè)分分點(diǎn)點(diǎn)為為分分成成任任意意，把把定定義義在在區(qū)區(qū)間間對(duì)對(duì)比比：定定積積分分 abbadxxfdxxfba)()(,. 1也也有有方方向向：定定積積分分中中的的。，則則復(fù)復(fù)積積分分就就是是定定積積分分就就是是區(qū)區(qū)間間如如果果,. 2baC點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)系系。不不明明顯顯，不不過過跟跟做做功功有有缺缺點(diǎn)點(diǎn)是是物物理理、幾幾何何意意義義. 32. 2. 積分的性

7、質(zhì)積分的性質(zhì) CCdzzfdzzf)()(. 1)(齊齊次次性性 CCdzzfkdzzkf)()(. 2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()(. 3 nCCCndzzfdzzfdzzfCCC)()()(,. 411則則等等光光滑滑曲曲線線連連接接而而成成，由由若若)(可可加加性性 線線性性3. 3. 積分存在的條件和計(jì)算方法積分存在的條件和計(jì)算方法一一定定存存在在。是是分分段段光光滑滑曲曲線線，則則連連續(xù)續(xù)且且若若 CdzzfCzf)()()(路徑可加性路徑可加性 bccaba號(hào)號(hào)可可以以自自由由提提出出的的相相當(dāng)當(dāng)于于 C21CC CCCudyvdxivdyudxdzzf)(例

8、例 1 P72 法法為為：給給出出，復(fù)復(fù)積積分分的的計(jì)計(jì)算算方方設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線由由參參數(shù)數(shù)方方程程btatiytxtzz ),()()( badttztzf)( )(第二類線積分第二類線積分例例 2 P73 例例 3 P74 u2這這是是一一個(gè)個(gè)重重要要例例子子。 CYXdyyxFdxyxF),(),(分分：計(jì)計(jì)算算作作功功的的第第二二類類線線積積復(fù)習(xí)：圖形與方程 .1),(1 xyyxxy即即，例如，例如圖形由方程的解集畫出圖形由方程的解集畫出。軸軸即即的垂直平分線，的垂直平分線，表示表示：無參數(shù)無參數(shù)：有參數(shù)有參數(shù)直線：直線：0Re, 0:1111) 2()()()() 1 (*12

9、1121121 zxyzztzztzzyytyyxxtxxt常見圖形的方程：常見圖形的方程： irezirzzyryyxrxxrzz 00000sincos) 3()(sin)(cos) 2(,) 1 (*圓：圓：22020)()(ryyxx 121211yyxxyyxx 2 , 0 iyxz 中中要要用用到到。，在在復(fù)復(fù)積積分分成成可可以以表表示示平平面面上上的的曲曲線線曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)表表示示法法 )(,)()(0),( CdzzfbtatyytxxyxF) 1 ( 1 20 ,sincos 22 zyxttytxt單單位位圓圓即即可可，例例如如的的話話，只只要要消消去去要要化化成成我

10、我們們熟熟悉悉的的方方程程 方方向向的的行行走走情情況況。方方向向、他他在在分分別別代代表表個(gè)個(gè)軌軌跡跡。的的推推移移，這這個(gè)個(gè)人人走走出出一一時(shí)時(shí)間間時(shí)時(shí)刻刻所所處處的的位位置置。隨隨著著）理理解解為為某某個(gè)個(gè)人人在在把把（，我我們們可可以以給給定定一一個(gè)個(gè)曲曲線線直直觀觀理理解解YXtytxtttytxbtatyytxx)(),( )(),(,)()( )()()(,)( )()(tiytxtzdttztzfdzzfbaC kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令) 5 (),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknk

11、kkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvi dyyxvdxyxuzfS)(),(),(),(),()(limlim1 -證明證明.0實(shí)函數(shù)的曲線積分實(shí)函數(shù)的曲線積分時(shí)，均是時(shí)，均是當(dāng)當(dāng) Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),( )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(終終起起終終起起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttztzf)( )( dttiytxtytxvitytxu)( )(

12、 )(),()(),( :)()()(:ttiytxtzzC設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線由由曲線積分的計(jì)算法得曲線積分的計(jì)算法得 dttztzfdzzfC)( )()(S2 Cauchy-S2 Cauchy-GoursatGoursat基本定理基本定理）的的作作功功。（例例如如重重力力場(chǎng)場(chǎng)，靜靜電電場(chǎng)場(chǎng)數(shù)數(shù)的的積積分分類類似似于于保保守守場(chǎng)場(chǎng)單單連連通通區(qū)區(qū)域域上上的的解解析析函函：的的積積分分為為曲曲線線內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條閉閉沿沿內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，那那么么區(qū)區(qū)域域在在單單連連通通若若函函數(shù)數(shù)基基本本定定理理0)()(CBzfBzfGoursatCauchy 為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線之之和和

13、。為為復(fù)復(fù)雜雜閉閉曲曲線線可可以以分分解解可可以以是是復(fù)復(fù)雜雜閉閉曲曲線線，因因注注0)( Cdzzf（作作功功）有有密密切切關(guān)關(guān)系系復(fù)復(fù)積積分分與與第第二二類類線線積積分分候候不不能能用用。么么時(shí)時(shí)什什么么時(shí)時(shí)候候能能用用它它們們，什什，即即弄弄清清楚楚它它們們成成立立的的條條件件公公式式的的關(guān)關(guān)鍵鍵：學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)這這些些定定理理、. 0)()( CdzzfCzfGoursatCauchy那那么么內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，曲曲線線在在只只要要函函數(shù)數(shù)基基本本定定理理的的用用法法：)(外外有有多多少少奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在不不管管Czf對(duì)比對(duì)比單單連連通通解解析析區(qū)區(qū)域域0到到起起點(diǎn)點(diǎn)，作作功功為為質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)繞繞

14、曲曲線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)又又回回0)( Cdzzf)(重重力力、靜靜電電保保守守力力場(chǎng)場(chǎng).,)(與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)有有關(guān)關(guān)只只與與起起點(diǎn)點(diǎn)終終點(diǎn)點(diǎn) Cdzzf., 與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)有有關(guān)關(guān)作作功功只只與與起起點(diǎn)點(diǎn)終終點(diǎn)點(diǎn)作作功功 Cdzzf)(（作作功功）有有密密切切關(guān)關(guān)系系復(fù)復(fù)積積分分與與第第二二類類線線積積分分 CYXdyyxFdxyxF),(),( CCdzzfdzzf)()( CC作作功功作作功功)3)(2(1)(, 32)(2 zzzzgzzzf例例 不同閉路下的積分不同閉路下的積分 1:. 11 zC CCdzzgdzzf)()(212:. 22 zC313:. 33 zC22:.

15、44 zC22525212:. 5CCCCzC 繞繞兩兩圈圈，即即32104321CCCC 324)()()(CCCdzzgdzzgdzzgS3S3基本定理的推廣基本定理的推廣- -復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理個(gè)個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的小小問問題題。雜雜的的積積分分問問題題分分解解為為個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)。它它的的主主要要作作用用是是把把一一廣廣，即即推推廣廣到到多多連連通通域域基基本本定定理理的的推推復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理是是nGoursatCauchy 內(nèi)內(nèi)解解析析，那那么么在在如如果果互互不不相相交交們們互互不不包包含含，內(nèi)內(nèi)部部的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線，它它是是在在包包圍圍，其其中中條條曲曲線線個(gè)個(gè)不不解解析

16、析點(diǎn)點(diǎn)集集，分分別別被被里里面面包包含含了了內(nèi)內(nèi)的的一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線是是多多連連通通域域若若復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理DzfCCCCCnnDCin)(.,21。即即按按順順時(shí)時(shí)針針按按逆逆時(shí)時(shí)針針進(jìn)進(jìn)行行，組組成成的的復(fù)復(fù)合合閉閉路路及及是是由由均均取取正正方方向向。及及其其中中),(0)()()()1 kkkknkCCCCCCCCdzzfiiCCdzzfdzzfikCCC21DCC1AABBFEEF0d)(0d)( BFABFAAAAEAEBBzzfzzf00d)(d)( BFABFAAAAEAEBBzzfzzf奇奇點(diǎn)點(diǎn)奇奇點(diǎn)點(diǎn)解解析析點(diǎn)點(diǎn) 1d)(d)(CCzzfzzf證明證明n

17、=1的情形：的情形：)2 . 3 . 3(d)(d)()1 . 3 . 3(0d)(d)(0d)(d)(d)(d)(d)(d)(111 CCCCBBBBAAAACCzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzf或或即即 CCdzzfdzzf)()(00d)(d)( BFABFAAAAEAEBBzzfzzf相相等等。的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，則則兩兩閉閉路路積積分分伸伸縮縮變變形形時(shí)時(shí)沒沒有有經(jīng)經(jīng)過過的的值值。即即只只要要兩兩曲曲線線在在它它域域內(nèi)內(nèi)作作連連續(xù)續(xù)變變形形而而改改變變積積分分，不不因因閉閉曲曲線線在在區(qū)區(qū)沿沿閉閉曲曲線線的的一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù)閉閉路路變變形形原原理理)()(

18、zfzf閉路變形原理閉路變形原理DCC1奇點(diǎn)奇點(diǎn)奇點(diǎn)奇點(diǎn)解解析析點(diǎn)點(diǎn) 1d)(d)(CCzzfzzf注意：變形過程中不能夠經(jīng)過注意：變形過程中不能夠經(jīng)過 f(z)不解析的點(diǎn)。所不解析的點(diǎn)。所以閉路變形原理主要用于解析性比較好的函數(shù)。以閉路變形原理主要用于解析性比較好的函數(shù)。?, CCibydzaxdzz思考：思考：一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線。的的任任意意是是繞繞，推推論論001012)(zCnnizzdzCn DCC1奇點(diǎn)奇點(diǎn)奇點(diǎn)奇點(diǎn)解解析析點(diǎn)點(diǎn)問題問題 繞兩圈結(jié)果怎么樣？繞兩圈結(jié)果怎么樣？ 例例:能否利用閉路變形原理能否利用閉路變形原理4321CCCC注注向向。由由多多條條線線組組成成。注

19、注意意方方復(fù)復(fù)合合閉閉路路,:. 1 kCC.,. 21互互不不包包含含，互互不不相相交交nCC niiiCniCCzzfzzfzzf1d)(d)(d)()1(1由由)(. 3文文件件見見復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理的的用用法法docCCC 210d)(d)(0d)(d)(0d)(d)(111 zzfzzfzzfzzfzzfzzfnniiniiCCCCCCC得得例例例例 P79 計(jì)算計(jì)算 的值的值, , C C為包含圓周為包含圓周| |z z|=1|=1在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線. . Czzzzd122 解解 函數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)除在復(fù)平面內(nèi)除z z=0=0和和z z=1=

20、1兩個(gè)奇點(diǎn)外是處處解析的兩個(gè)奇點(diǎn)外是處處解析的. . 由于由于C C 是包含著圓周是包含著圓周| |z z|=1|=1在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線單閉曲線, , 因此因此, , 它也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)它也包含這兩個(gè)奇點(diǎn). . 在在C C內(nèi)內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C C1 1與與C C2 2, , C C1 1只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)z z=0, =0, C C2 2只包含奇點(diǎn)只包含奇點(diǎn)z z=1.=1. Czzzzd122xyO1C1C2CiiizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzCCCCCCC40220d1d11d1d11d12d12d1

21、2221121222 1012)(0nnizzdzCn rzkzkzQ)(,)(21 部部分分分分式式真真分分式式解：解：有理函數(shù)的部分分式分有理函數(shù)的部分分式分 kAzcAzczQ ,)(多多項(xiàng)項(xiàng)式式真真分分式式多多項(xiàng)項(xiàng)式式111) 1(12 zzzzz例例 0)()()()(00000zzzfzzczzczfzfz 的的系系數(shù)數(shù)為為部部分分分分式式時(shí)時(shí)展展開開成成分分母母的的單單根根，則則是是真真分分式式若若命命題題消消去去、代代入入不不是是單單根根時(shí)時(shí)不不要要使使用用。注注 2)2(11)2)(1(11222 zczczzz32135 類類似似2233ss 32212515sss 432

22、3282531156116ssssF ssss例：3243261168253115ssssssss4326116ssss2322122212sss23223326116ssssss32135 假假分式分式多項(xiàng)式真分式多項(xiàng)式真分式長(zhǎng)除法：長(zhǎng)除法：假假分式分式多項(xiàng)式真分式多項(xiàng)式真分式23795)(223 ssssssF作長(zhǎng)除法作長(zhǎng)除法 2 3s 462772 2379523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sFssssssF 2112)(1 sssF 11111111121112121111112211111211!rs tr iiiris sis ss ssitk

23、f ttekkF sssdkssF sidskssF sdksstriF sdsf tskktste若二重根，則 1111131112321113111312123131221112131212s ss ss ss tkkkF ssssssskssF sdkssF sdsdkssF sdsf tk tk tket若三重根，則例例 9(1) P100 u nkCCkdzzfdzzf1)()(. 3 復(fù)合閉路定理：復(fù)合閉路定理：個(gè)個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的問問題題。把把復(fù)復(fù)雜雜的的問問題題拆拆成成若若干干點(diǎn)點(diǎn)：的的部部分分分分式式展展開開的的共共同同分分式式性性、復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理與與真真積積分分的的線

24、線性性、路路徑徑可可加加技巧：復(fù)雜問題技巧：復(fù)雜問題簡(jiǎn)單問題簡(jiǎn)單問題 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()(:. 1 線性線性 nCCCdzzfdzzfdzzf)()()(:. 21路路徑徑可可加加性性例例 14 P101 kAzcAzczQ ,)(. 4多多項(xiàng)項(xiàng)式式真真分分式式多多項(xiàng)項(xiàng)式式S4 S4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分也也稱稱變變上上限限積積分分。內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)單單值值函函數(shù)數(shù)，記記是是定定義義在在內(nèi)內(nèi)變變化化，則則積積分分在在固固定定，終終點(diǎn)點(diǎn)的的起起點(diǎn)點(diǎn)令令曲曲線線 zzCdfzFBdzzfBzzC0)()()(0 .,)()(與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)只只與與起起

25、點(diǎn)點(diǎn)終終點(diǎn)點(diǎn)有有關(guān)關(guān)么么積積分分內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，那那在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)定定理理一一 CdzzfBzf成成立立。多多連連通通區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)定定理理一一不不注注).()( )()(zfzFBzFBzf 內(nèi)內(nèi)的的解解析析函函數(shù)數(shù)，且且必必為為么么函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，那那在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)定定理理二二證證明明01zz復(fù)習(xí)復(fù)習(xí))()()()()(xfxFdttfxFxfyxa 其其特特點(diǎn)點(diǎn)是是稱稱變變上上限限積積分分，為為實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè):公式公式LeibnizNewton )()()()(aFbFxFdxxfbaba 一個(gè)常數(shù)。一個(gè)常數(shù)。的任何兩

26、個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差命題命題)(xfCxFdxxfxf )()(:)(的的不不定定積積分分內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù)。在在區(qū)區(qū)域域?yàn)闉椋悄敲疵捶Q稱，即即內(nèi)內(nèi)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)定定義義BzfzzfzzfBz)()()()( )()( )(公式公式LeibnizNewton 一個(gè)常數(shù)。一個(gè)常數(shù)。的任何兩個(gè)原函數(shù)相差的任何兩個(gè)原函數(shù)相差命題命題)(zfczFdzzfzfcczFzfzF )()()()()()()(的的不不定定積積分分，記記作作為為任任意意復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)是是的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，稱稱是是如如果果定定義義內(nèi)內(nèi)的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)。是是區(qū)區(qū)域域那那么么的的一一

27、個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)定定理理三三BzzzGzGzGdzzfzfzGBzfzzzz1001,)()()()(,)()(,)(1010 例例 1,2 P83S5 CauchyS5 Cauchy積分公式積分公式 CdzzzzfizfCzDDDCDzfCauchy000)(21)()()( 內(nèi)內(nèi)的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)，那那么么為為，是是單單連連通通域域因因此此含含于于閉閉曲曲線線，它它的的內(nèi)內(nèi)部部完完全全內(nèi)內(nèi)的的任任何何一一條條正正向向簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單為為內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在區(qū)區(qū)域域若若函函數(shù)數(shù)積積分分公公式式注注上上很很重重要要。理理的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)，在在

28、理理論論積積分分公公式式是是后后面面許許多多定定Cauchy. 1說說明明.)(00zCzzzf內(nèi)內(nèi)只只有有一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)，即即在在被被積積函函數(shù)數(shù) 理理的的特特殊殊情情況況）（解解析析函函數(shù)數(shù)的的唯唯一一性性定定。這這與與實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)不不同同。內(nèi)內(nèi)部部處處處處成成立立的的上上相相等等，那那么么在在在在曲曲線線和和若若兩兩解解析析函函數(shù)數(shù)即即值值完完全全決決定定其其內(nèi)內(nèi)部部值值，解解析析函函數(shù)數(shù)在在曲曲線線邊邊界界的的)()()()(. 2zgzfCCzgzf 0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在則則的的一一條條閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞是是內(nèi)內(nèi)解解析析在在單單連連通通設(shè)

29、設(shè) CdzzzzfzzzzfzDCDzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf10,CDz曲曲線線的的的的，內(nèi)內(nèi)部部包包含含任任意意由由閉閉路路變變形形原原理理 說明說明DCz0C1 Cdzzzzfizf00)(21)( )(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上的的函函數(shù)數(shù)值值在在的的連連續(xù)續(xù)性性 .,積積分分公公式式這這就就是是這這個(gè)個(gè)猜猜想想是是對(duì)對(duì)的的Cauchy猜想積分猜想積分特別取特別取DCz0C1連連續(xù)續(xù)可可導(dǎo)導(dǎo)一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析-證明

30、DCKzz0R證 由于f(z)在z0連續(xù), 任給0, 存在()0, 當(dāng)|zz0|時(shí), |f(z)f(z0)|. 設(shè)以z0為中心, R為半徑的圓周K:|zz0|=R全部在C的內(nèi)部, 且R1. CzCzzzzzd) 1(e) 2;d) 1(cos) 1225 Cnndzzzzfinzf100)()(2!)( .12cos! 42)(cos)!15(2d) 1(cos15141)4(5|izizizzzzzC ）解解：由由復(fù)復(fù)合合閉閉路路定定理理，為為中中心心作作兩兩個(gè)個(gè)正正向向圓圓周周和和內(nèi)內(nèi)以以在在我我們們處處不不解解析析內(nèi)內(nèi)的的在在函函數(shù)數(shù).,.)1()22122CCiiCizCzez OC1

31、C2Ciixy 21d) 1(ed) 1(ed) 1(e222222CzCzCzzzzzzz ).()!1(2)(0) 1(0zfnidzzzzfnCn )41sin(2d) 1(e.2)1 (d)()(ed) 1(e,.2)1 ()(e)!12(2d)()(ed) 1(e222222222222211 izzeizizizzzeiizizizizzzCziCzCziizzCzCz因因此此同同樣樣例例 u例例 u2OC1C2Ciixy ).()!1(2)(0) 1(0zfnidzzzzfnCn 思考思考 P99 6 )()( )(),(:,)(的的單單連連通通解解析析區(qū)區(qū)域域在在公公式式基基本

32、本公公式式非非閉閉路路積積分分zfNLdttztzfbtatzzCdzzfbaC 閉閉路路變變形形原原理理留留數(shù)數(shù)方方法法（第第五五章章）內(nèi)內(nèi)一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)：內(nèi)內(nèi)多多個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)：復(fù)復(fù)合合閉閉路路內(nèi)內(nèi)無無奇奇點(diǎn)點(diǎn)：閉閉路路積積分分 CnCCnnkCCCdzzzzfdzzzzfdzzzCdzzfdzzfCIGoursatCauchyCdzzfIk)()(,)(,)(1)()(0,:)(0001)(主主要要總結(jié)總結(jié)1010)()(zzzzzGdzzf S7 S7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。為為區(qū)區(qū)域域，那那么么稱稱方方程程偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)有有二二

33、階階連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)域域若若二二元元實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)定定義義DyxyxLaplaceDyx),(0),(2222 .,.)(yvxuiyxzzfCR 例例如如，方方程程）。函函數(shù)數(shù)（不不一一定定滿滿足足和和函函數(shù)數(shù)不不一一定定組組成成解解析析和和函函數(shù)數(shù)組組成成，但但兩兩個(gè)個(gè)調(diào)調(diào)可可見見解解析析函函數(shù)數(shù)由由兩兩個(gè)個(gè)調(diào)調(diào)內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。都都是是和和虛虛部部它它的的實(shí)實(shí)部部，內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)任任何何在在區(qū)區(qū)域域定定理理DyxvyxuivuzfD),(),()( 解解析析。解解析析證證明明：因因?yàn)闉榻饨馕鑫觥?。解解析析等等價(jià)價(jià)于于：“的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)”是是的的共共軛軛調(diào)調(diào)和

34、和函函數(shù)數(shù)是是“例例如如是是解解析析函函數(shù)數(shù)。的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)是是共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)”。部部的的“解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實(shí)實(shí)不不是是互互相相共共軛軛，而而是是說說注注iuvivuiivuiuvivuvuuvPivuuv )(:) 2(27102. 2. 1的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。是是實(shí)實(shí)部部?jī)?nèi)內(nèi)解解析析，稱稱虛虛部部在在區(qū)區(qū)域域若若定定義義),(),()(yxuyxvDivuzf 例例 24 P102計(jì)算方法主要有三種：計(jì)算方法主要有三種：）。）。、或整個(gè)、或整個(gè)（或（或）能算出）能算出（或（或方程，由方程，由滿足滿足密切，密切，的實(shí)部和虛部關(guān)系非常的實(shí)部和虛

35、部關(guān)系非常解析函數(shù)解析函數(shù)fuvvuCRivuzf )(，曲線積分法，曲線積分法不定積分法，偏導(dǎo)數(shù)法不定積分法，偏導(dǎo)數(shù)法1.1.不定積分法不定積分法)( xyyxxxivviuuivuzf .)(ivuzf 歸歸零零法法只只能能用用于于解解析析的的注注例例 1,2 P92Cccdzzfzf ,)( )(表表達(dá)達(dá)式式y(tǒng)x,的表達(dá)式？的表達(dá)式？表達(dá)式，如何求表達(dá)式，如何求的的已知已知問題問題zyxzf,)(中中，化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)。，代代入入，一一般般方方法法),(),(22yxivyxuizzyzzxiyxz ?)2()(222zxyiyx 理）理）（解析函數(shù)的唯一性定（解析函數(shù)的唯一性定zyixyix222?32 )()(),()0 ,()0 ,()()(, 0.)(),(),()(zgzfxgxivxuxfzfxzyzfyxivyxuzf 則則則則令令表表達(dá)達(dá)式式解解析析，求求已已知知?dú)w歸零零法法2.2.偏導(dǎo)數(shù)法偏導(dǎo)數(shù)法(CR(CR條件法，偏積分法條件法，偏積分法) )：，