1、-光學(xué)薄膜的普遍定理第二章第二章 光學(xué)薄膜設(shè)計(jì)理論光學(xué)薄膜設(shè)計(jì)理論11. 膜系的透射定理膜系的透射定理敘述如下：膜系的透射率與光的傳播方向無(wú)關(guān)。這個(gè)定理適用于膜層無(wú)吸收的情況，同時(shí)也適用于膜層有吸收的情況。RLTT LRRR 當(dāng)當(dāng)A=0時(shí)，時(shí)，T+R+A=1LRRR當(dāng)當(dāng)A0，（有吸收的膜系有使用方向問(wèn)題）（有吸收的膜系有使用方向問(wèn)題）假設(shè)膜系中各層膜的特征矩陣用M1，M2，Mk表示，并且對(duì)應(yīng)于兩種可能的傳播方向的兩種乘積用M和 表示，那么M M=M1M2M3Mk M=MkMk-1k-2M1211111aaMCBK2212aa11K 在第一種傳播方向時(shí)，11111KaaB12221KaaC ij

2、MaijMa21211212,aaaa11222211,aaaa在第二種傳播方向時(shí)，022211211011aaaaMCB0122201211aaaaB0112102221aaaaC于是兩種傳播方向的膜系透射率為21222111211010)(4kkkaaaaT20112101222110)(4aaaaTkk12TT可以看出薄薄 膜膜 光光 學(xué)學(xué)基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 膜系的透射定理膜系的透射定理 由此可見(jiàn)根據(jù)膜系的透射定理，薄膜的透射率從由此可見(jiàn)根據(jù)膜系的透射定理，薄膜的透射率從兩個(gè)方向看時(shí)是一樣的，所以不可能用薄膜的辦法

3、制兩個(gè)方向看時(shí)是一樣的，所以不可能用薄膜的辦法制作單向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，作單向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，人們根據(jù)這個(gè)原理來(lái)制作有些特殊用途的玻璃。人們根據(jù)這個(gè)原理來(lái)制作有些特殊用途的玻璃。當(dāng)光線(xiàn)傾斜入射到薄膜上的情況當(dāng)光線(xiàn)傾斜入射到薄膜上的情況rrrrrrrrrrrrnnrrrrrrrNNpNsTENdNiiBCsinsincoscoscos21cossinsincos0011波波）波波（對(duì)對(duì)于于波波）波波（對(duì)對(duì)于于其其中中：TM考慮薄膜的特征矩陣以及其中的參數(shù)：考慮薄膜的特征矩陣以及其中的參數(shù)：入射角的變化將影響等效導(dǎo)納和膜層的光學(xué)厚度入射角的變化將影

4、響等效導(dǎo)納和膜層的光學(xué)厚度020406080100400450500550600650700自然光45度入射到11層反射膜波長(zhǎng)漂移情況% TransmittanceWavelength (nm)對(duì)膜層光學(xué)厚度的影響導(dǎo)致波長(zhǎng)漂移對(duì)膜層光學(xué)厚度的影響導(dǎo)致波長(zhǎng)漂移2. 普遍的等效定理對(duì)于一個(gè)任意多層膜系存在如下等效定理：一個(gè)任意的多層膜系等效于一個(gè)雙層膜，但一般來(lái)說(shuō)不能等效為單層膜。一個(gè)單層膜的特征矩陣：22211211cossinsincosMMMMiiM單單層膜的矩陣有如下幾個(gè)特點(diǎn)：4）121122211MMMM2211MM 為純實(shí)數(shù)1）2112M、M為純虛數(shù)2）2211MM3）但此時(shí)一般但此時(shí)

5、一般M11不等于不等于M22，因此多層膜不能和一單層膜等效，只因此多層膜不能和一單層膜等效，只能等效于兩層膜。能等效于兩層膜。而一個(gè)多層膜的特征矩陣是各個(gè)單層膜特征矩陣的連乘積。而一個(gè)多層膜的特征矩陣是各個(gè)單層膜特征矩陣的連乘積。11221212111222212122112121111222112122cossincossinsincossincos11coscossinsin(sincossincos)(sincossincos)coscossinsiniinnMM Mininninnnni nnn 1122MM兩層膜1112122122kMMMM MMMM11122122MMMM對(duì)于單層

6、膜我們可以用一個(gè)矩陣M單來(lái)表示，對(duì)于一個(gè)多層膜可以用一組矩陣的乘積來(lái)表示：M多=M1M2M3Mn，一般來(lái)講M多中的每一層都是無(wú)吸收介質(zhì)時(shí)，矩陣M多中m11和m22為純實(shí)數(shù)，m12和m21為純虛數(shù)，并且，行列式值為1，但是一般情況下m11和m22并不相等，這一點(diǎn)與單層膜的性質(zhì)是不同的，所以在數(shù)學(xué)上就不能等同于一個(gè)單層膜。3. 對(duì)稱(chēng)膜系的等效層對(duì)稱(chēng)膜系的等效層 對(duì)于以中間一層為中心，兩邊對(duì)稱(chēng)安置的多層膜，對(duì)于以中間一層為中心，兩邊對(duì)稱(chēng)安置的多層膜，卻具有單層膜特征矩陣的所有特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上存在著卻具有單層膜特征矩陣的所有特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上存在著一個(gè)等效層，這為等效折射率理論奠定了基礎(chǔ)。一個(gè)等效層，這為等

7、效折射率理論奠定了基礎(chǔ)。 下面下面我們就以最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)膜系我們就以最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)膜系(pqp)為例說(shuō)明對(duì)稱(chēng)膜系在為例說(shuō)明對(duì)稱(chēng)膜系在數(shù)學(xué)上存在一個(gè)等效折射率的概念。這個(gè)稱(chēng)膜系的特?cái)?shù)學(xué)上存在一個(gè)等效折射率的概念。這個(gè)稱(chēng)膜系的特征矩陣為：征矩陣為：ppppppqqqqqqpppppppqppqpiiiiiiMMMMMMcossinsincoscossinsincoscossinsincos22211211p q p:稱(chēng)為等效位相厚度， E為等效折射率1221111/)(cosMMEM，4）121122211MMMM形式上寫(xiě)成單層膜矩陣的樣子，產(chǎn)生等效相位厚度和等效折射率概念 11122122cossi

8、n/cossin/cossin/sincossincossincoscossin /sincospppqqqpppp q ppppqqqpppiiiMiiiMMiEMMiE 可以證明：2211MM 為純實(shí)數(shù)1）2112M、M為純虛數(shù)2）2211MM3）12sinMi 21sinMiE做矩陣的乘法運(yùn)算得：做矩陣的乘法運(yùn)算得： 正是由于第四個(gè)關(guān)系式成立才使我們有可能引入等正是由于第四個(gè)關(guān)系式成立才使我們有可能引入等效折射率的概念效折射率的概念 由于對(duì)稱(chēng)膜系的待征矩陣和單層膜的特征矩陣具有相由于對(duì)稱(chēng)膜系的待征矩陣和單層膜的特征矩陣具有相同的性質(zhì)，可以假定以相似的形式來(lái)表示：同的性質(zhì)，可以假定以相似的

9、形式來(lái)表示：cossinsincos22211211iEEiMMMMMpqp因此它可以用一層特殊的等效單層膜來(lái)描寫(xiě)，因此它可以用一層特殊的等效單層膜來(lái)描寫(xiě)， 這層等效這層等效膜的折射率膜的折射率E（等效折射率）和位相厚度（等效折射率）和位相厚度 (等效位相厚度等效位相厚度) 可以由下面方程求得：可以由下面方程求得：sinsin,cos21122211iEMEiMMM1221MME所以有：所以有：122 11sin2coscos2sinsin2211sin2coscos2sinsin22pqpqppqpqqqpqpp q ppqpqpqpqqqpqpEqpqppqqpsin2sin21cos2c

10、oscos1從從M=pqp可以推廣到任意多層的對(duì)稱(chēng)膜系在數(shù)學(xué)上都可可以推廣到任意多層的對(duì)稱(chēng)膜系在數(shù)學(xué)上都可以用一個(gè)單層膜的特征矩陣所表示。以用一個(gè)單層膜的特征矩陣所表示。例如：例如：M=h(u(v(pqp)v)u)h另：最常用的周期膜系如：另：最常用的周期膜系如：M=HLHLHLHLHLH一方面表示為一方面表示為:M=H(L(H(L(H)L)H)L)H另一方面可以表示為：另一方面可以表示為：M=H/2（H/2LH/2)5H/2的形式的形式H/2LH/2是一個(gè)對(duì)稱(chēng)單元是一個(gè)對(duì)稱(chēng)單元L/2HL/2等效折射率H/2LH/2 對(duì)稱(chēng)膜系的等效折射率對(duì)稱(chēng)膜系的等效折射率g相對(duì)波數(shù) 對(duì)稱(chēng)膜系的等效折射率對(duì)稱(chēng)

11、膜系的等效折射率對(duì)于某些波長(zhǎng)范圍對(duì)于某些波長(zhǎng)范圍M11的絕對(duì)值大于的絕對(duì)值大于1截截止止區(qū)區(qū)。對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的波波長(zhǎng)長(zhǎng)范范圍圍是是的的概概念念不不再再存存在在，這這時(shí)時(shí)也也是是虛虛數(shù)數(shù)等等效效折折射射率率為為虛虛數(shù)數(shù)，可可以以得得到到即即E1cos12211 MM對(duì)于M11的絕對(duì)值小于1的情況：ssiEsEisMiEEiMiEEiMssscossinsincoscossinsincoscossinsincos可可以以證證明明：膜膜系系的的特特征征矩矩陣陣為為：為為：的的基基本本周周期期的的特特征征矩矩陣陣令令一一個(gè)個(gè)周周期期性性對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)膜膜系系 上式表示一個(gè)周期性對(duì)稱(chēng)膜系在它的透射帶中仍然存在有一

12、個(gè)等效折射率，它和基本周期對(duì)稱(chēng)組合等效折射率E完全相同，并且它的等效位相厚度等于基本周期的等效位相厚度s倍對(duì)于多個(gè)周期的集合：)cos(/ )sin()sin()cos(cos/sinsincossEsisiEsEiiEMss 2、L H L H L H L E， E， E”，”)22()22)(22)(22(22HLHHLHHLHHLHHHLHLHLLHLHLHH 可以理解為直接多個(gè)單層膜的堆砌：折射率不變，厚度為可以理解為直接多個(gè)單層膜的堆砌：折射率不變，厚度為s倍倍例例1： 當(dāng)對(duì)稱(chēng)膜系中各分層的厚度很小時(shí)當(dāng)對(duì)稱(chēng)膜系中各分層的厚度很小時(shí)(例如不例如不超過(guò)超過(guò)10nm)，等效折射率，等效折射

13、率E幾乎是一常數(shù)，它介幾乎是一常數(shù)，它介于于Np和和Nq之間，取決于分層厚度的比值，同時(shí)之間，取決于分層厚度的比值，同時(shí)位相厚度和對(duì)稱(chēng)膜系實(shí)際的總的位相厚度成比例，位相厚度和對(duì)稱(chēng)膜系實(shí)際的總的位相厚度成比例，在大多數(shù)情況下其比例常數(shù)接近于在大多數(shù)情況下其比例常數(shù)接近于1。 因此這種因此這種基本周期的厚度很小的周期性對(duì)稱(chēng)膜系非常類(lèi)似基本周期的厚度很小的周期性對(duì)稱(chēng)膜系非常類(lèi)似于色散很小的單層均勻薄膜，可以用來(lái)替換那些于色散很小的單層均勻薄膜，可以用來(lái)替換那些折射率無(wú)法實(shí)現(xiàn)的膜層，折射率無(wú)法實(shí)現(xiàn)的膜層， 它在減反膜的設(shè)計(jì)中，它在減反膜的設(shè)計(jì)中，得到了實(shí)際應(yīng)用。得到了實(shí)際應(yīng)用。應(yīng)用：應(yīng)用： 1、 p

14、q p 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 改變改變p與與q的相對(duì)厚度，改變的相對(duì)厚度，改變E的大小可以獲得折射率從的大小可以獲得折射率從np到到nq之之 間任意間任意折射率的等效膜層；折射率的等效膜層；“變折射率膜層變折射率膜層” 對(duì)于通帶附近等效的折射率具有較大的色散。改變對(duì)于通帶附近等效的折射率具有較大的色散。改變E的位置的位置“偏周期設(shè)計(jì)偏周期設(shè)計(jì)法法”很容易證明，這個(gè)結(jié)果能夠推廣到由任意多很容易證明，這個(gè)結(jié)果能夠推廣到由任意多層膜組成的對(duì)稱(chēng)膜系。首先劃定多層膜的中層膜組成的對(duì)稱(chēng)膜系。首先劃定多層膜的中心三層，它們獨(dú)自形成一個(gè)對(duì)稱(chēng)組合，這樣心三層，它們獨(dú)自形成一個(gè)對(duì)稱(chēng)組合，這樣便可以用一個(gè)單層膜來(lái)代換。然后這個(gè)

15、等效便可以用一個(gè)單層膜來(lái)代換。然后這個(gè)等效層連同兩側(cè)的兩層膜，又被取作第二個(gè)對(duì)稱(chēng)層連同兩側(cè)的兩層膜，又被取作第二個(gè)對(duì)稱(chēng)三層組合，依然用一個(gè)單層膜來(lái)代換。重復(fù)三層組合，依然用一個(gè)單層膜來(lái)代換。重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到所有膜層被替換，于是最終又這個(gè)過(guò)程直到所有膜層被替換，于是最終又形成一個(gè)等效單層膜。形成一個(gè)等效單層膜。4、周期性多層膜理論：、周期性多層膜理論：最簡(jiǎn)單周期結(jié)構(gòu)的基本單元是兩層膜，以?xún)蓪幽榛詈?jiǎn)單周期結(jié)構(gòu)的基本單元是兩層膜，以?xún)蓪幽榛締卧貜?fù)多次也可構(gòu)成一種周期性多層膜。整個(gè)多本單元重復(fù)多次也可構(gòu)成一種周期性多層膜。整個(gè)多層膜的特征矩陣是層膜的特征矩陣是Ms。應(yīng)用矩陣?yán)碚?，兩層膜為基?/p>

16、單元膜系矩陣應(yīng)用矩陣?yán)碚?，兩層膜為基本單元膜系矩?112122122mmMM Mmm得出多層膜的特征矩陣得出多層膜的特征矩陣Ms，可以得出如下結(jié)論：可以得出如下結(jié)論：（1） 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件 的波長(zhǎng)，位于膜系的反射的波長(zhǎng)，位于膜系的反射帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而穩(wěn)定地提高。帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而穩(wěn)定地提高。1122112mm（2） 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件 的波長(zhǎng)，位于膜系的透射的波長(zhǎng)，位于膜系的透射帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而振蕩。帶內(nèi)，其反射率隨膜層周期的增加而振蕩。1122112mm（3） 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件 的波長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)著反射帶和的波長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)著反射帶和透射帶邊界，稱(chēng)之為截止

17、波長(zhǎng)。透射帶邊界，稱(chēng)之為截止波長(zhǎng)。1122112mm對(duì)常用的四分之一波堆對(duì)常用的四分之一波堆 ，在垂直入射時(shí)，對(duì)，在垂直入射時(shí)，對(duì)中心波長(zhǎng)中心波長(zhǎng) ，有，有011224n dn d022112121122000000niinnnMM Mnininn2112121122000000niinnnMM Mnininn以這雙層膜為基本周期的多層膜，其特征矩陣以這雙層膜為基本周期的多層膜，其特征矩陣211212()0()0()ssssnnMM Mnn對(duì)中心波長(zhǎng)對(duì)中心波長(zhǎng) 處的組合導(dǎo)納處的組合導(dǎo)納Y及反射率及反射率R：01SgBMnC 2122SsgnCYnBn1gBMnC 2122SsgnCYnBn22

18、120022210021()1()gSsgSnnnYnnRnnnYnn2211212SsgnnYnn2221120212211201()1()SgsSgnnnn nRnnnn n公式表明：當(dāng)雙層膜的周期公式表明：當(dāng)雙層膜的周期S固定，固定，R隨隨 的比值而的比值而增大，當(dāng)增大，當(dāng) 固定時(shí)，固定時(shí)，R隨隨S增大而增大。增大而增大。12nn12n n5、誘導(dǎo)透射定理、誘導(dǎo)透射定理入射介質(zhì) R Ra 吸收膜jknNRb1-RT出射介質(zhì) a b 勢(shì)透射率：RT1(射出能量)(進(jìn)入能量)(1)、吸收膜層（通常指金屬膜）的最大勢(shì)透射率，僅決定于吸收膜的光學(xué)常數(shù) N，d。4321cos/sincoscosa

19、aaaNiiN444333222111ibaaibaaibaaibaa又令：21210bbaaC413241321bbbbaaaaC234123412abbabaabC43433bbaaC jknNNd cos2 ，其中有關(guān)勢(shì)透射率的幾個(gè)結(jié)論：則：22301max25. 021CCCCl 材料 一經(jīng)確定， 只由膜厚d決定，隨著膜厚的增加， 是非線(xiàn)性地下降。maxmaxjknNmaxl不同的吸收膜， 形態(tài)也不一樣。(2)、吸收膜的光學(xué)常數(shù)（N，d）確定以后，膜系的勢(shì)透射率是出射導(dǎo)納 （Ye=X+iZ）的函數(shù)。當(dāng)然通過(guò)調(diào)整Ye=X+iZ，使Rb=0，可以找到最佳 值，即 。 max(3)、膜系的實(shí)際透射率不僅取決于勢(shì)透射率，還與入射介質(zhì)有關(guān)。RT1)1 (RT當(dāng) R=0 時(shí)， 此時(shí)膜系的實(shí)際透射率達(dá)到了最大勢(shì)透射率（也即最大可能的透射率）。在這種情況下，我們可以說(shuō)是把吸收膜的最大透射率誘導(dǎo)出來(lái)了。maxmaxT)(223210zxCzCxCCx(4)、無(wú)吸收膜的勢(shì)透射率為、無(wú)吸收膜的勢(shì)透射率為1。njj1 由于無(wú)吸收膜的勢(shì)透射率為由