1、序言人們很早就知道圓的周長與直徑之比是一個常數(shù)，數(shù)學家們把這一比率用 希臘字母來表示, 稱之為圓周率。圓周率是科技領(lǐng)域中最直觀和最主要的常數(shù)，它是一個極其馳名的數(shù)。在日常生活中人們經(jīng)常與接觸，并且從有文字記載開始，圓周率就引進了外行人和學者們的興趣，古今中外許多科學家在值計算上獻出了自己的智慧和勞動，甚至奉獻了自己的一生。因此，準確計算圓周率的值，不僅直接涉與到值計算時的需要，而且通過圓周率的數(shù)值計算促進了數(shù)學的發(fā)展。值的計算伴隨著人類的進步而發(fā)展，作為一個非常重要的常數(shù)， 它最早是解決有關(guān)圓的計算問題，所以，求出它的盡量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。早在二千多年前，古希臘著名數(shù)學家

2、阿基米德第一個用科學方法 度量圓的周長，得出圓周長與直徑之比（圓周率）為3.14 ；我國杰出數(shù)學家徽（公元前 3世紀）提出震驚中外的“割圓術(shù)”求出圓周率的近似值為3.1416 ；南北朝偉大科學家祖沖之又進一步將圓周率計算在介于3.1415926與3.1615927 之間的8位可靠數(shù)字。直至 1882年德國數(shù)學家林德曼證明了不僅是一個無理數(shù)， 而且是一個超越數(shù)，給幾千年來對的認識歷史劃上了一個句號在一般工程應用中，對值的精度 只要求十幾位，但是在某些特殊場合需要高精度的圓周率值。在信息技術(shù)發(fā)展迅速的今天，尤其是電腦的發(fā)明以來， 人們對的計算位數(shù)大大增加 ,如今，借助大型計算機對有效的計算位數(shù)已達

3、小數(shù)點后的 27000億位；同時的計算也已成為驗證超大型計算機計算效率和工作可靠性的一種有效手段。盡管目前數(shù)學家已經(jīng)將值計算出小數(shù)點后 27000億位， 但是，人們對的研究還沒有完，始終都在追求計算出更為準確的值，值里仍有許多未解的 謎團。現(xiàn)在，圓周率的準確程度在一定程度上反映了一個地區(qū)和時代的數(shù)學水平， 因此，的值還要繼續(xù)計算下去。本文通過利用割圓術(shù)、韋達公式、級數(shù)加速法、拉馬努金公式、迭代法等近似計算方法的介紹和計算實驗，來綜合表述圓周率的計算方法。1 / 201. 圓周率的起源與早期發(fā)展1.1 圓周率簡介圓周率是代表圓周長和直徑的比例的一個常數(shù)（約等于3.1415926 ）。在日常生活中

4、，通常都用3.14 來代表圓周率去進行計算。早期的圓周率沒有確定的字母表示，直至1600 年, 英國威廉·奧托蘭特首先使用表示圓周率， 1737 年歐拉在其著作中使用。后來被數(shù)學家廣泛承受 ,一直沿用至今。圓周率不僅是一個無理數(shù)，而且還是一個超越數(shù)。早在 1767 年，蘭伯特就證明了 是一個無理數(shù)； 1794 年，勒讓德證明了 也是無理數(shù)； 1882 年，林德曼證明了 是超越數(shù)。早期是通過實驗對值進行估算的，第一個用科學方法尋求圓周率數(shù)值的 人是阿基米德，他在圓的度量 （公元前 3 世紀）中用圓接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96 邊形，得到

5、（3+（ 10/71 ） <<（ 3+（1/7 ），開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法） ，得出精確到小數(shù)點后兩位的值。中國數(shù)學家徽在注釋 九章算術(shù)（263 年）時只用圓接正多邊形就求得的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)。他用割圓術(shù)一直算到圓接正192 邊形，得出10（約為 3.16 ），這被稱為“徽率”。南北朝時代著名數(shù)學家祖沖之進一步得出精確到小數(shù)點后7 位的值（約 5世紀下半葉），給出不足近似值3.1415926 和過剩近似值 3.1415927 ，還得到兩個近似分數(shù)值， 密率 355/113 和約率 227。他的輝煌成就比歐洲

6、至少早了1000年。1.2 早期的圓周率數(shù)學中的圓，溯源到上古的時候，就引起了人類的探索。墨經(jīng)書中說它是“一中同長也”（“一中”即一個中心或中點。 “一中同長”就是到一個心的點的距離都相等，是對圓的定義） 。成語說：“不以規(guī)矩，不成方圓。 ” 等到人們知道了比例的概念之后，人們自然關(guān)顧圓周的長度與圓的直徑之間一定的比例常數(shù)。盡管圓有大有小，但對一個圓來說，其周長l 與直徑 d 之間的比例常數(shù)就是圓周率。歷史上曾采用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實驗而得到的結(jié)果。古代常粗略地用3 作為的值。我們可以在舊約·歷代志下第四章（4：2） 看到：“他又造一銅海，樣式是圓的，徑10 肘，高

7、 5 肘，圍 30 肘?！边@說明， 當時的希伯來人近似以3 作為圓周長與直徑之比。這相當于拿圓的接正六邊形的周長近似圓的周長。我國第一部周髀算經(jīng)中，就記載有圓 " 周三徑一 " 這一結(jié)論。在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做： " 周三徑一，方五斜七" ，意思是說，直徑為 1 的圓，周長大約是 3，邊長為 5 的正方形，對角2線之長約為 7。這正反映了早期人們對圓周率和這兩個無理數(shù)的粗略估計。東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取3 為計算面積的標準。在歷史上，從粗略的近似 3 開始，有不少數(shù)學家都對圓周率作出過研究。晉時，徽曾用使正多邊形的邊數(shù)逐漸增

8、加去逼近圓周的方法（即“割圓術(shù)”）， 求得的近似值 3.1416 。 漢朝時，衡得出 的平方除以 16 等于 5/8 ，即等于 10 的開方（約為 3.162 ）。雖然這個值不太準確， 但它簡單易理解， 所以也在亞洲風行了一陣。王蕃（ 229-267 ）發(fā)現(xiàn)了另一個圓周率值，這就是3.156 ，但沒有人知道他是如何求出來的。公元 5 世紀，祖沖之和他的兒子以正24576 邊形，求出圓周率約為 355/113 ，和真正的值相比， 誤差小于八億分之一。 這個紀錄在一千年后才給打破。約在公元530 年，印度數(shù)學大師阿耶波多利用384 邊形的周長，算出圓周率約為3.14159263.1415927。歐

9、洲斐波那契算出圓周率約為 3.1418 。2. 圓周率的近似計算歷程2.1 圓周率的早期計算2.1.1 實驗時期通過實驗對值進行估算， 這是計算的的第一階段。 這種對值的估算基本上都是以觀察或?qū)嶒灋楦鶕?jù)，是基于對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的。早期的人們還使用了其它的粗糙方法。如古埃與、古希臘人曾用谷粒擺3 / 20在圓形上，以數(shù)粒數(shù)與方形對比的方法取得數(shù)值。或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值由此，得到圓周率的稍好些的值。如古埃與人應用了約四 千 年 的4(8/9)2=3.1605 。 在 印 度 ， 公 元 前 六 世 紀 ， 曾 取=10 =3.162 。在我國東、西漢之交，新

10、朝王莽令歆制造量的容器律嘉量斛。歆在制造標準容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此，他大約也是通過做實驗， 得到一些關(guān)于圓周率的并不劃一的近似值。現(xiàn)在根據(jù)銘文推算，其計算值分別取為3.1547 ，3.1992 ，3.1498 ，3.2031 比徑一周三的古率已有所進步。人類的這種探索的結(jié)果，當主要估計圓田面積時，對生產(chǎn)沒有太大影響， 但以此來制造器皿或其它計算就不適宜了。蒲豐在或然性算術(shù)實驗一書中，提出了用實驗方法計算。這個實驗方法的操作很簡單：找一根粗細均勻，長度為d的細針，并在一白紙上畫上一組間距為 l的平行線（方便起見，常取l= d/2 ），然后一次又一次地將小針任意投擲在白紙上。這樣反

11、復地投多次，數(shù)數(shù)針與任意平行線相交的次數(shù)，于是就可以得到的近似值。因為蒲豐本人證明了針與任意平行線相交的概率為p = 2l/d 。利用這一公式， 可以用概率方法得到圓周率的近似值。在一次實驗中， 他選取 l = d/2，然后投針 2212 次，其中針與平行線相交704 次，這樣求得圓周率的近似值為2212/704= 3.142 。當實驗中投的次數(shù)相當多時，就可以得到的更精確的值。1850 年，沃爾夫在投擲5000 多次后，得到的近似值為 3.1596 。目前宣稱用這種方法得到最好結(jié)果的是意大利人拉茲瑞尼。在1901 年，他重復這項實驗， 作了 3408 次投針，求得的近似值為 3.141592

12、9。2.1.2幾何法時期割圓法憑直觀推測或?qū)嵨锒攘浚瑏碛嬎阒档膶嶒灧椒ㄋ玫降慕Y(jié)果是相當粗略的。因此，古人計算圓周率，一般是用割圓法。即用圓的接或外切正多邊形來 逼近圓的周長。阿基米德真正使圓周率計算建立在科學的基礎(chǔ)上。他是科學地 研究這一常數(shù)的第一個人，是他首先提出了一種能夠借助數(shù)學過程而不是通過 測量的、能夠把的值精確到任意精度的方法。由此，開創(chuàng)了圓周率計算的第二階段。阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，表達在他的一篇論文圓的度量之中。在這一書中，阿基米德第一次用上、下界來確定的近似值，他用幾 何 方 法 證 明 了 “ 圓 周 長 與 圓 直 徑 之 比 小 于3+(1/7)而 大于3

13、+(10/71)”，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法從理論 上而言，能夠求得圓周率的更準確的值。到公元150 年左右，希臘天文學家托勒密得出3.1416 ，取得了自阿基米德以來的巨大進步。圖 2.1割圓術(shù)在我國，數(shù)學家徽率在九章算術(shù)方田章“圓田術(shù)”注中，提出割圓術(shù)作為計算圓的周長、面積以與圓周率的基礎(chǔ)。他從圓接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐漸加倍，如圖 2.1 ，設圓面積為S0 半徑為 r ，圓接正 n 邊形邊長為l n , 周長為Ln ,面積為Sn 。 將邊數(shù)加倍后，得到圓接正2 n 邊形，其邊長、周長、面積分別記為l2 n 、 L2 n 、 S2n 。當l n 已知，用勾股定理求出l2n

14、。即如下圖得lAEAC2CE212 rr 212 2 (2.1)2n求得了接正 n 邊形的周長( 2 ln)Ln , 即可求得正 2 n 邊形的面積： .( 2 ln)Sn( 1AB ? OE )n ? l n r1 L? r2 nn222(2.2)徽割圓術(shù)還注意到，如果在接n 邊形的每條邊上作一高為CE 的矩形，就可以證明S 2 nS0S2 n( S 2 nSn )(2.3)由此，他從正六邊形一值計算到192 邊形，得出3.14 ，通常稱為“徽率”。南 北 朝 時 期 的 祖 沖 之 計 算 出 了 圓 周 率 數(shù) 值 的 上 下 限 ：5 / 203.14159263.1415927，由于

15、史料上沒有關(guān)于祖沖之推算圓周率“正數(shù)”方法的記載，一般認為這個正數(shù)的獲得是沿用了徽的割圓術(shù)。如按徽割圓術(shù)從正 六邊形出發(fā)連續(xù)算到正24576 邊形時，恰好得到這一結(jié)果。2.2圓周率的經(jīng)典計算公式2.2.1基本計算1數(shù)值積分法1由定積分0 14x2dx計算出該積分的數(shù)值, 即可得到的近似值。xaba i (i0,1, n)用Mathmatic計算圓接6144邊形的結(jié)果如下： 將 區(qū)間a,bn 等 分， 則分點n， 計 算定 積分ibSf ( x)dxa。利用定積分的幾何意義，可以將小曲邊梯形的面積近似地用矩形、梯形來代替，就有了梯形公式、矩形公式：矩形公式左矩形公式 Sba n 1ni 0f (

16、 xi )右矩形公式 Sbanni 1f ( xi )中矩形公式 Sba n 1ni 0f ( xixi 1 )2梯形公式 Sban 1ni 1f (xi )f ( x0 )2f (xn )由 Mathmatic 編程取 n 為 1000 計算（見附錄 I(A) ），由計算可知，中矩形公式取得的結(jié)果最接近圓周率值。將小曲邊梯形的曲邊用三次拋物線來代替，就有了辛普森公式。辛普森（ Simpson）公式Sbaf (x0 )f (xn )n 1n 12f ( xi )4f ( xixi 1 )6ni 1i 02由 Mathmatic 編程取 n 為 1000 計算（見附錄 I(B) ），由附錄 I(

17、A) 、(B) 得，辛普森公式計算更為精確。2蒙特卡羅算法（ Monte Carlo ）在直角坐標系中 , 以 O(0,0) ,A(1,0) ,B(0,1) ,C (1,1) 為定點作一正方形, 面積為 S11 。以原點為圓心 , 半徑為 1 在該正方形作扇形 , 面積 S2。在該正方4形隨機投入 n 個點，設其中 m 個點落入扇形區(qū)域。則m S14mn S24，n由 Mathmatic 計算，分別取 n 為 1000， 1001,1002 得結(jié)果計算如下：7 / 202.2.2 級數(shù)法1、萊布尼茲級數(shù) (1674 年發(fā)現(xiàn))(1)k4k 0 2k11844 年，數(shù)學家達什在無計算機的情況下用此

18、公式計算出了的前 200 位小數(shù)。誤差估計式為 : rn1111(1)n 11143572n12n1根 據(jù) 萊 布 尼 茨 級 數(shù) 公 式 與 誤 差 公 式 計 算 結(jié) 果 如 以 下 圖 所 示 ：2.歐拉的兩個級數(shù) (1748 年發(fā)現(xiàn))2121k26k 1，8k0 (2 k1)29 / 20萊布尼茲級數(shù)和歐拉的這兩個級數(shù)的收斂速度較慢。3. 基于arctanx 的級數(shù)(1)k x2k 1x1(1)k由泰勒級數(shù)arctan xk 0當2k1時有4k 0 2k即為萊布尼茲1級數(shù)。當| x | 的值越接近于 0, 級數(shù)收斂的速度越快。令xtan1 ，5arctan 1tan 22 tan2 x

19、55 ，1tan2251x212 ，tan 42 tan 21tan2 212120152119112因此， 4， 44，就非常接近于04tantan 41120111911tan 41120239119。由此，英國天文學教授JohnMachin 得出 Machin 公式1116416arctanarctan5239(1)k1(1)k116k 0 2k2 k 1154k 0 2k2k 11239他利用這個公式計算到了100 位的圓周率。由此原理，可以得到高斯公式48arctan132arctan120arctan11857239斯托梅爾公式24arctan 18arctan14arctan18

20、57239類似公式5cot1(6)cot 1503cot1 (117)4166cot1 (8)cot 1993cot1 (268)458cot1(10)2cot1452761cot1 (1393)4254312cot41 (18)3cot1 (70)5cot1 (99)8cot1(307)5cot1(7)2cot179438cot41 (10)cot 12394cot1(515)111112cot(18)8cot993cot(239)8cot(307)42.2.3 迭代法1、1593 年，韋達給出11 / 202222222222這一不尋常的公式是的最早分析表達式。其推導過程是：sin t2

21、cos4 cos8 costtsin22ttcos24ttcos24tsin4tcos8tsin8對于任意的 N ，總有sin tNt2sinNNtcosn則sin t2sint2，Ntcosnn 12，NNtt2n 12令 N時，有sin t tcos t，nn 12取t，可得22cos4cos8cos16cosn 1n 12(1)cos4cos822cos1422212222cos16由歸納法得：cos182221222222cos 2n 122222（ n 重根號）(2)由公式 (1) 和(2) 可得韋達公式2cos2222n 12 n 1n 1222222222222222甚至在今天，

22、 這個公式的優(yōu)美也會令我們贊嘆不已。它說明僅僅借助數(shù)字2， 通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出值。2 迭代公式 1989 年， Borwein 發(fā)現(xiàn)以下收斂于1 的迭代公式 :y0214zn4 1yn 1y1znn11zna06an(142nn1y ) 4 a22 nyn (1yn2yn )迭代誤差有估計式1164n e 2 4nan1996 年， Bailey發(fā)現(xiàn)另一個收斂于1 的迭代公式 :y5(52) ,c(25) 2 ,d(5)0nnyn 1ed(7c )23d 37cyn 1nnnnny25,a1 / 22ny(1d5 2 / e05 e/ 2)2n 1nnna2anyn 1n

23、15n 1yn 1522yn 1 ( yn 12 yn 15)迭代誤差有估計式1165n e5nan2.3 PC 機計算1 Ramanujan 公式13 / 20980122(4 n)!(110326390 n)4n44nn 0 4(n!)99該公式是由印度數(shù)學家拉馬努金（18871920）給出的，是計算的一個極其有效的公式。 1985 年，數(shù)學家比爾高·斯帕伊利用該公式在計算機上計算出的 1750 萬位小數(shù)。該級數(shù)收斂速度非常快，級數(shù)每增加一項，大約可以提高 8 位小數(shù)的精度。2 改進的計算公式Chudnovsky1123(1)n (6n)! 135914093545140134

24、n3n640320 2n 0 (n!)(3n)!640320該級數(shù)每增加一項，大約可以提高14 位小數(shù)的精度。1999 年 9 月，日本東京大學教授金田康正和其助手用時37 小時 21 分，計算出了的 2061.5843 億位小數(shù)，檢驗用時46 小時 7 分鐘。3 二分法計算算法原理：f(x)=sin(x)在x=點取的零點，又有函數(shù)在 3與4之間只有一個零點。因此，可對區(qū)間 3,4進行二分，逐漸達到。(1)a(1)=3;b(1)=4;k=1;(2)if f(a(k)*f(a(k)/2+b(k)/2)<0 a(k+1)=a(k);b(k+1)= (a(k)+b(k)/2; k=k+1;el

25、sea(k+1)= (a(k)+b(k)/2; b(k+1)=b(k);k=k+1;(3)當k=n時完畢。 x=(a(n)+b(n)/2.算 法 程 序 ： Function #=pi_1(n) a(1)=3;b(1)=4;k=1;for i=1;if sin(a(k)*sin(a(k)+b(k)/2)<0 a(k+1)=a(k);b(k+1)= (a(k)+b(k)/2; k=k+1;endelsea(k+1)= (a(k)+b(k)/2; b(k+1)=b(k);k=k+1;end #=(a(k)+b(k)/2;執(zhí)行程序，選擇迭代次數(shù)為20，可以得到=3.399.計算的方法還有很多本

26、文僅列具幾種常見并且典型的計算方法。最后不得不提一句的是，為什么對于的位數(shù)的競爭會持續(xù)不斷呢？這也應該是相當一 部分人的問題吧，可能是因為分數(shù)誕生的緣故吧！3.圓周率計算的最新記錄與意義1946 年，世界第一臺計算機ENIAC制造成功，標志著人類歷史邁入了電腦時代。電腦的出現(xiàn)使計算有了根本性的變革。1949 年， ENIAC根據(jù)梅欽公式計算到 2035（一說是 2037）位小數(shù)，包括準備和整理時間在僅用了70 小時。隨著計算機的發(fā)展一日千里，圓周率值的紀錄也就被頻頻打破。1973 年，有人就把圓周率算到了小數(shù)點后100 萬位，并將結(jié)果印成一本二百頁厚的書， 可謂世界上最枯燥無味的書了。1989

27、 年值突破 10 億大關(guān)， 1995 年 10 月超過 64 億位。 1999 年 9 月 30 日，文摘報報道，日本東京大學教授 金田康正已求到2061.5843 億位的小數(shù)值。 如果將這些數(shù)字打印在A4 大小的復印紙上，令每頁印2 萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達五六百米。2002 年12 月 6 日，金田康正利用一臺超級計算機，計算出圓周率小數(shù)點后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀錄。據(jù)悉，金田教授還與日立制作所的員工合作，利用目前計算能力居世界第二十六位的超級計算機，使用新的計算方法，耗時四百多個小時，才計算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計算出的小數(shù)點后二千六百一十

28、一位提高了六倍。圓周率小數(shù)點后第一兆位數(shù)是二，第一兆二千四百一十一億位數(shù)為五。如果一秒鐘讀一位數(shù)，大約四萬年后才能讀完。2009 年8 月日本筑波大學科學家利用超級計算機耗時 29 小時計算出圓周率的小數(shù)點后 25770 億位, 取得了吉尼斯世界紀錄。 但該紀錄在保持了不到一年的時間里，就被法國巴黎市的軟件工程師法布里斯·貝拉德打破。貝拉德使用家用臺式電腦，運用比日本科學家有效20 倍的改良后的查德諾夫斯基方程算法， 耗時 131 天時間計算出了圓周率小數(shù)點后27000 億位這個最新精確值，如果以每秒鐘一個數(shù)字的速度朗讀，這個最新紀錄至少要花費49000 年時間才能朗讀完。10圓周率對于計算各種數(shù)量，例如體積、面積、周長以與任何與圓、圓柱、15 / 20圓錐、球有重要的作用。但隨著數(shù)學的不斷發(fā)展，的應用不再局限于求圓的面積和周長，橢圓、萁舌線、旋輪線等面積公式中也都出現(xiàn)了值。此