1、（2 2）初等函數(shù)：）初等函數(shù)： 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和復(fù)合所得到且能用一個解析式表示的函數(shù)復(fù)合所得到且能用一個解析式表示的函數(shù). .常考題型：?？碱}型：1 1. .函數(shù)有界性、單調(diào)性、周期性及奇偶性的判定；函數(shù)有界性、單調(diào)性、周期性及奇偶性的判定；2 2. .復(fù)合函數(shù)；復(fù)合函數(shù)；第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)函數(shù)第1頁/共39頁【例例1 1】)(e|sin|)(cos xxxxfx（A A）有界函數(shù)）有界函數(shù). . （B B）單調(diào)函數(shù)）單調(diào)函數(shù). . 是（是（ ）（C C）周期函數(shù)）周期函數(shù) （D D）偶函數(shù)）偶函數(shù).

2、.第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)函數(shù)第2頁/共39頁 ,1)(,sin)(2xxfxxf _)( x 【例例2 2】已知已知則則定義域?yàn)槎x域?yàn)?【解解】 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2( )sin , ( )1f xx fxx 由由知2s in()1xx 2( )arcsin(1)xx 211x 22x 則則令令得得函數(shù)函數(shù)第3頁/共39頁 0, 0,)(, 0, 2, 0,2)(2xxxxxfxxxxxg )(xfg【例例3 3】設(shè)設(shè)則則( )g f x . 0,2, 0,22xxxx【解解】 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)函數(shù)第4頁/共39頁二、極限二、極限1 1. .極限概念極限概念（1 1）

3、數(shù)列極限）數(shù)列極限: : :limAann , 0 , 0 N Nn .| Aan當(dāng)當(dāng)時，恒有時，恒有（2 2）函數(shù)極限）函數(shù)極限: : :)(limAxfx 0 , 0 X Xx |.|)(| Axf, ,當(dāng)當(dāng)時，恒有時，恒有;)(limAxfx Axfx )(limAxfx )(limAxfxfxx )(lim)(lim:)(lim0Axfxx 0 , 0 |00 xx.|)(| Axf, ,當(dāng)當(dāng)時時, , 恒有恒有第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限概念及四大性質(zhì)第5頁/共39頁 )(lim0 xfxx)0()(00 xfxf )(lim0 xfxx)0()(00 xfxf右極限：右極限：左極限

4、：左極限：AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000 幾個值得注意的極限：幾個值得注意的極限：;1arctanlim0 xx;lim10 xxe;limxxe ;arctanlimxx xxx21lim 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)10limxxe （錯）（錯）. . (1)(1)1100lim, lim0 xxxxee limxxe （錯）（錯）. . (2)(2)極限概念及四大性質(zhì)第6頁/共39頁01limarctan2xx 0011lim arctan, lim arctan22xxxx limarctan2xx lim arctan, lim arctan22xxx

5、x 21lim1xxx 2211lim1, lim1xxxxxx （錯）（錯）. . （錯）（錯）. . （錯）（錯）. . 正確的是正確的是正確的是正確的是正確的是正確的是(3)(3)(5)(5)(4)(4)極限概念及四大性質(zhì)第7頁/共39頁2.2.極限性質(zhì)極限性質(zhì)（1 1）局部界性）局部界性 )(lim0 xfxx)(xf0 x若若存在存在, , 則則在在某去心鄰域有界。某去心鄰域有界。（2 2）保號性）保號性 Axfxx )(lim00 A,0 ),(0 xUx ;0)( xf 如果如果, ,則存在則存在當(dāng)當(dāng)時，時，),(0 xUx , 0)( xf. 0 A如果當(dāng)如果當(dāng)時時, ,那么那

6、么設(shè)設(shè)極限概念及四大性質(zhì)第8頁/共39頁有理運(yùn)算性質(zhì)有理運(yùn)算性質(zhì) .)(lim ,)(limBxgAxf 那么那么: : 若若 BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim BAxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)0( )(lim)(lim)()(lim BBAxgxfxgxf第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)存在存在 不存在不存在 不存在；不存在；不存在不存在 不存在不存在 不一定；不一定；存在存在( () )不存在不存在 不一定；不一定；不存在不存在( () )不存在不存在 不一定不一定. .(1)(1)(3)(3)(2)(2)(4)(4)極限概念及四大性質(zhì)第9頁/共3

7、9頁 2 2） ; 0)(lim0)(lim, 0)()(lim xgxfAxgxf極限值與無窮小之間的關(guān)系極限值與無窮小之間的關(guān)系; ;)()()(limxAxfAxf . 0)(lim x 其中其中)()(limxgxf;0)(lim0)(lim xfxg 兩個常用的結(jié)論：兩個常用的結(jié)論：存在，存在，1 1）第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限概念及四大性質(zhì)第10頁/共39頁 3 3. .極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 （1 1）夾逼準(zhǔn)則：）夾逼準(zhǔn)則： ,nnnzyx ,limlimazxnnnn .limaynn 若存在若存在且且則則 （2 2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：）單調(diào)有界準(zhǔn)則： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單

8、調(diào)有界數(shù)列必有極限。 ; 1)1ln(lim0 xxx; 11lim0 xexx;ln1lim0axaxx ;1)1(lim0 xxx. 1lim nnn4 4. .常用的基本極限常用的基本極限;)1(lim10exxx ;)11(limexxx ; 1sinlim0 xxx,N當(dāng)當(dāng)Nn 時，時，第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無窮小量第11頁/共39頁（2 2）無窮小的比較）無窮小的比較0)( , 0)(xx 高階：高階： 0)()(lim xx );()(xx 若若； 記為記為同階：若同階：若; 0)()(lim Cxx 1)()(lim xx );()(xx 等價：若等價

9、：若；記為；記為5 5. .無窮小量無窮小量（1 1）無窮小量的概念）無窮小量的概念 , 0)(lim0 xfxx)(xf0 xx 若若則稱則稱為為時的無窮小量。時的無窮小量。設(shè)設(shè)第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無窮小量第12頁/共39頁無窮小的階無窮小的階: : 0)()(lim Cxxk )(x )(x k若若，稱，稱是是的的階無窮小階無窮小. .（4 4）等價無窮小代換）等價無窮小代換, lim limlim 若若且且存在，存在， 則則 （3 3）常用等價無窮?。海┏Ｓ玫葍r無窮?。?0 x時時, ,xxxxxarctanarcsintansin; 1)1ln( xex,2

10、1cos12xx ,1)1(xx ,ln1 axax 當(dāng)當(dāng)?shù)谝徽?函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無窮小量第13頁/共39頁（5 5） 無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì): :（2 2）有限個無窮小的積仍是無窮?。┯邢迋€無窮小的積仍是無窮小. .（1 1）有限個無窮小的和仍是無窮?。┯邢迋€無窮小的和仍是無窮小. .（3 3）無窮小量與有界量的積仍是無窮?。o窮小量與有界量的積仍是無窮小. .6.6.無窮大量無窮大量 ,)(lim0 xfxx)(xf0 xx 若若則稱則稱為為時的無窮大量時的無窮大量（1 1）無窮大量的概念）無窮大量的概念第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無窮小量第1

11、4頁/共39頁 nnnnnann!ln . 1, 0, 0 a 當(dāng)當(dāng)時時 其中其中（2 2）常用的一些無窮大量的比較）常用的一些無窮大量的比較xxaxx ln. 1, 0, 0 a 當(dāng)當(dāng)時時 其中其中（3 3）無窮大量與無界變量的關(guān)系：無窮大量與無界變量的關(guān)系： 無窮大量無窮大量無界變量無界變量第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無窮小量第15頁/共39頁（4 4）無窮大量與無窮小量的關(guān)系：）無窮大量與無窮小量的關(guān)系：)(xf)(1xf)(xf, 0)( xf)(1xf在同一極限過程中在同一極限過程中, , 如果如果是無窮大是無窮大, , 則則是無窮?。环粗菬o窮??；反之, , 如

12、果如果是無窮小是無窮小, , 且且則則是無窮大；是無窮大；常考題型：?？碱}型：1.1.求極限；求極限；2.2.無窮小量階的比較；無窮小量階的比較；第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在準(zhǔn)則、常用極限及無窮小量第16頁/共39頁1 1. .求極限：求極限：方法方法1 1 有理運(yùn)算有理運(yùn)算 xxxxxx)cos1(1cossin3lim20【例例1 1】 . . 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2013sincoslim(1cos )xxxxx x 【解解】0013sin1(limlim cos )2xxxxxx 13(30)22求極限與無窮小階的比較第17頁/共39頁.1111lim330 xxxxx 【例例

13、2 2】【解解】33011lim11xxxxx 32 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)212233302 (1)(1)(1) lim2 ( 11)xxxxxxxx 求極限與無窮小階的比較第18頁/共39頁方法方法2 2 基本極限基本極限,)3(limnnnnncba . 0, 0, 0 cba【例例1 1】其中其中第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)lim( )0,lim( )xx ( )lim(1( ).xAxe | 型極限，關(guān)于此類極限有以下常用結(jié)論型極限，關(guān)于此類極限有以下常用結(jié)論【分析分析】 本題是本題是若若且且則則，A求極限與無窮小階的比較第19頁/共39頁3()(1)33nnnnnnnnabcabc

14、31(1) (1) (1)limlim133nnnnnnxxabcabcnn 【解解】由于由于且且3ln3lim()3nnnnabcxabceabc 1(lnlnln )ln3nabcabc 則則求極限與無窮小階的比較第20頁/共39頁【例例2 2】極限極限 xxbxaxx)(lim2ea b eb a 1e（ ）（A A） （B B） （C C） （D D）第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2limlim()()()()xxxxxxxxxaxbxaxb aba beee 【解法解法1 1】求極限與無窮小階的比較第21頁/共39頁第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)2lim()()xxxxaxb lim(1)lim

15、(1)xxxxabxx aba beee 【解法解法2 2】故應(yīng)選（故應(yīng)選（C C）求極限與無窮小階的比較第22頁/共39頁方法方法3 3 等價無窮小代換等價無窮小代換【例例1 1】.)1ln(lim2tansin0 xxeexxx 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)sintantansintan2300(1)limlimln(1)xxxxxxxeeeexxx 3300sintantan (cos1)limlimxxxxxxxx 2301()12lim2xxxx 【解解】求極限與無窮小階的比較第23頁/共39頁.1111lim330 xxxxx 【例例2 2】第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)01232 1lim

16、1 223 1xxxxx 【解解】求極限與無窮小階的比較第24頁/共39頁方法方法4 4 夾逼原理夾逼原理【例例1 1】 nnnnnnnnn2222211lim第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)【解解】由于由于且且則則 nnnnnnnnn2222211lim求極限與無窮小階的比較第25頁/共39頁【例例2 2】nnnn321lim 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)【解法解法2 2 】由于【解法解法1 1】331233 33 3nnnnnnnn lim31nn lim 1233nnnn 又又則則3 nnnn321lim 求極限與無窮小階的比較第26頁/共39頁第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)，則，則又又,lim21nnm

17、nnnaaa ), 2 , 1( , 0miai 【例例3 3】 其中其中【解解】 令令1maxii maa 12nnnnnnnnnnaaaaamaa m 則則lim1nnm 12limnnnnmnaaaa 【注注】本題的結(jié)論是一個常用結(jié)論本題的結(jié)論是一個常用結(jié)論求極限與無窮小階的比較第27頁/共39頁 方法方法5 5 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則., 2 , 121, 0, 011 nxaxxxannn，.limnnx 【例例】設(shè)設(shè)求極限求極限第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)10,0ax 0.nx 111()222nnnnnaaxxxaxx nx【解】則數(shù)列則數(shù)列 有下界，又有下界，又知知求極限與無窮小

18、階的比較第28頁/共39頁第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)211()022nnnnnnaxaxxxxx nx1()2axxx .xa 則數(shù)列則數(shù)列單調(diào)減，從而單調(diào)減，從而存在存在令令則則，求極限與無窮小階的比較第29頁/共39頁2 2. .無窮小量階的比較無窮小量階的比較0 x2)(kxx xxxxcosarcsin1)( 【例例1 1】當(dāng)當(dāng)時，時，與與是等價無窮小，則是等價無窮小，則 ._ k第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)201arcsincos1limxxxxkx 2011cosarcsinlim2xxxxkx 【解解】113(1)224kk 34k 則則求極限與無窮小階的比較第30頁/共39頁0 x)

19、1ln()cos1(2xx nxxsin【例例2 2】設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)時，時，是比是比高階高階 nxxsin)1e (2 x的無窮小，而的無窮小，而是比是比高階的無窮小，高階的無窮小， 則則 正整數(shù)正整數(shù)n等于等于 （A A）1. 1. （B B）2. 2. （C C）3. 3. （D D）4 4.第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)241(1cos )ln(1) 2xxx 1sinnnxxx 221 xex 214n 2n 【解解】，則則，即，即求極限與無窮小階的比較第31頁/共39頁三、連續(xù)三、連續(xù)1 1. .連續(xù)的定義連續(xù)的定義: : )()(lim00 xfxfxx )(xf0 x若若, ,稱稱在在處連續(xù)

20、。處連續(xù)。)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx 左連續(xù)左連續(xù): : 右連續(xù)：右連續(xù)： )(xf)(xf連續(xù)連續(xù)左連續(xù)且右連續(xù)左連續(xù)且右連續(xù) 2 2. .間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 1 1）第一類間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn): : 左左, ,右極限均存在的間斷點(diǎn)右極限均存在的間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn): : 左極限左極限 = = 右極限右極限跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn): : 左極限左極限 右極限右極限2 2）第二類間斷點(diǎn)）第二類間斷點(diǎn): : 左左, ,右極限中至少有一個不存在右極限中至少有一個不存在無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)連續(xù)的定義、性質(zhì)和間斷點(diǎn)第3

21、2頁/共39頁3 3. .連續(xù)函數(shù)性質(zhì)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1 1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)；合仍為連續(xù)函數(shù)；（2 2） 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)；)(xf,ba)(xf,ba（3 3）有界性：若）有界性：若在在上連續(xù)上連續(xù), ,則則在在上有界。上有界。)(xf,ba)(xf,ba（4 4）最值性）最值性: : 若若在在上連續(xù)上連續(xù), , 則則在在最大值和最小值。最大值和最小值。上必有上必有 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)；初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)；)(xf,ba),()(bfaf )(af),(ba （5 5）介值性）介值性: : 若若在在上連續(xù)上連續(xù), ,且且 則對則對之間任一數(shù)之間任一數(shù)C,C,與與 )(bf至少存在一個至少存在一個使得使得.)(Cf 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)連續(xù)的定義、性質(zhì)和間斷點(diǎn)第33頁/共39頁)(xf,ba0)()( bfaf),(ba . 0)( f（6 6）零點(diǎn)定理