1、第 PAGE20 頁 共 NUMPAGES20 頁高考文科數(shù)列學(xué)習(xí)知識點(diǎn)總結(jié)計(jì)劃 高考文科數(shù)列知識點(diǎn)一考綱要求要求層次 內(nèi)容 4A B C數(shù)列的概念 數(shù)列的概念和表示法 等差數(shù)列的概念 數(shù)列 等差數(shù)列、 等比數(shù)列的概念 等比數(shù)列 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式 二知識點(diǎn)(一)數(shù)列的該概念和表示法、（ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)記作a ，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第 2項(xiàng)，? ? ，n序號為n 的項(xiàng)叫第 n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作 an；數(shù)列的一般形式： a1， a2 ， a3 ，

2、? ? ， an ，? ? ，簡記作 an 。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列 an 的第 n項(xiàng)與 n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式說明：a 表示數(shù)列， an 表示數(shù)列中的第 n項(xiàng)，an = f n 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；n 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如， 1，1.4，1.41，1.414，? ?（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示 ：序號： 1 2 3 4 5 6項(xiàng)： 4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N （或它的有限子集）

3、的函 數(shù) f (n) 當(dāng) 自變量 n 從 1 開 始 依 次 取值時(shí)對應(yīng)的 一 系 列 函 數(shù) 值f (1), f (2), f (3), ? ? ， f (n) ，? ? 通常用 an 來代替 f n ，其圖象是一群孤立的點(diǎn)（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、 遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列（5） 遞推公式定義 ：如果已知數(shù)列 an 的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)） ，且任一項(xiàng) an 與它的前一項(xiàng)a （或前幾項(xiàng)） 間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示， 那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的n 1遞推公式（二）等差數(shù)列1.等差數(shù)列的定義 ：a

4、n a 1 d （d為常數(shù)）（ n 2）；n2 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：_a a1 (n 1)d dn a1 d (n N ) ， 首項(xiàng): a1 ，公差 :d ，末項(xiàng) : ann推廣： a a n m dn ( ) 從而mdannamm；3等差中項(xiàng)a b（1）如果 a ，A，b 成等差數(shù)列， 那么 A叫做 a 與b 的等差中項(xiàng) 即：A 或2A a b2（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列 an 是等差數(shù)列 2an an-1 an 1(n 2) 2an 1 an an 24等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：n(a a ) n(n 1) d 11 n 2 2S na1 d n (a d)n An Bnn 12 2 2 2（其

5、中 A、B是常數(shù)，所以當(dāng) d0時(shí)，Sn是關(guān)于 n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為 0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n 1時(shí)， an 1是項(xiàng)數(shù)為 2n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)2n 1 a a1 2n 1S 2n 1 a （項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)2n 1 n 12乘以中間項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法（1） 定義法：若 an a 1 d 或an 1 an d ( 常數(shù) n N ) an 是等差數(shù)列n（2） 等差中項(xiàng)：數(shù)列a 是等差數(shù)列 2 an an-1 an 1(n 2) 2an 1 an an 2 n（3） 數(shù)列a 是等差數(shù)列 an kn b （其中 k,b是常數(shù)）。n（4） 數(shù)列 an 是等差數(shù)列2S

6、 An Bn , （其中 A、B是常數(shù)）。n6等差數(shù)列的證明方法定義法：若 an a 1 d 或an 1 an d (常數(shù) n N ) an 是等差數(shù)列n7.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差 d 0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a a1 (n 1 )d dn a1 d 是關(guān)于 n 的一次函n數(shù)，且斜率為公差 d；前n 和函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為 0.n(n 1) d d2S na d n (a )n 是關(guān)于 n 的二次n 2 2 2（2）若公差 d 0，則為遞增等差數(shù)列， 若公差 d 0，則為遞減等差數(shù)列， 若公差 d 0，則為常數(shù)列。（ 3） 當(dāng) m n p q時(shí),則有 am an ap aq ， 特別地 ， 當(dāng)

7、 m n 2p時(shí)，則有a a 2a .m n p（4）若a 、 bn為等差數(shù)列，則an b ， 1an 2bn 都為等差數(shù)列n(5) 若a 是等差數(shù)列，則Sn, S2n Sn , S3n S2n ，? 也成等差數(shù)列n（6）數(shù)列 an為等差數(shù)列 ,每隔 k(k_N )項(xiàng)取出一項(xiàng)( am ,am k , am 2k ,am 3k , )仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列a 是等差數(shù)列， d為公差， S奇 是奇數(shù)項(xiàng)的和， S偶 是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和， Sn 是n前 n項(xiàng)的和1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n時(shí)，n a a1 2n 1S奇 a a a a na1 3 5 2 1 2n nn a a2 2nS偶 a a a a n

8、a2 4 6 2 2 1n nS偶 S奇 na 1 na n a 1 a =ndn n n nS na a奇n nS na a偶 n 1 n 12、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n 1時(shí)，則S2n 1 S S (2n 1) a S (n 1)a S n 1奇 偶 n+1 奇 n+1 奇S S a S na S n奇 偶 偶 偶n+1 n+1（其中 an+1 是項(xiàng)數(shù)為2n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)） （8）等差數(shù)列 S m n a 的前 n項(xiàng)和 Sm n，前 m項(xiàng)和 Sn m ，則前 m+n項(xiàng)和n m n(9) 求S 的最值n法一：因等差數(shù)列前 n項(xiàng)和是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意

9、數(shù)列的特殊性_n N 。法二：（ 1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前 n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) 0， 0，a1 d 由anan100可得S 達(dá)到 最大值時(shí)的 n值n（2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng) 0， 0，a1 d 由anan100可得S 達(dá)到 最小值時(shí)的 n值n或求a 中正負(fù)分界項(xiàng)n法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故 n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時(shí)，S 取最大值（或最小值） 。若 Sp = S q則其對稱軸q則其對稱軸n為np q2（三）等比數(shù)列1.等比數(shù)列的定義 ：anan1_q q 0

10、 n 2,且n N ， q稱為 公比2.通項(xiàng)公式：an n na a1q q A B a1 q 0, A B 0nq， 首項(xiàng)： a1；公比： q推廣：n ma a q ， 從而得n man m nqam或qn manam3.等比中項(xiàng)2（1）如果 a, A, b 成等比數(shù)列， 那么 A叫做 a 與b 的等差中項(xiàng) 即： A ab 或 A ab注意： 同號的 兩個(gè)數(shù) 才有 等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng) 有兩個(gè) （兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列a 是等比數(shù)列n2a a an n 1 n 14.等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 公式：(1) 當(dāng) q 1 時(shí)， Sn n a1(2) 當(dāng) q 1時(shí)，Snna

11、 q a1 a qn1 q 1 q5.等比數(shù)列的判定方法a（1）用定義：對任意的 n,都有 1na 1 qa 或 q( q為常數(shù)， a 0) an 為等比數(shù)n n nan列（2） 等比中項(xiàng)：2a a a （ an 1an 1 0） an 為等比數(shù)列n n 1 n 1n（3） 通項(xiàng)公式： a A B A B 0 an 為等比數(shù)列nn n（4） 前 n 項(xiàng)和公式： S A A B 或S A'B A' A, B, A', B '為常數(shù) an 為n n等比數(shù)列6.等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若anan1_q q 0 n 2,且n N 或an 1 qan an 為

12、等比數(shù)列7.等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當(dāng)q 1時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式an n na a1q q A B A B 0nq是關(guān)于 n 的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比 q前 n 項(xiàng)和n na q a1 a1q a1 a1n n nS q A A B A'B A'，系數(shù)和n1 q 1 q 1 q 1 q常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比 q(2) 對任何 m,n_N ,在等比數(shù)列 an 中,有n ma a q ,特別的,當(dāng) m=1 時(shí),便得到n m等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 .因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t_N ),則a

13、n am as at .特別的 ,當(dāng) n+m=2k 時(shí),得a a an m k2注：a a a a a a1 n 2 n 1 3 n 2k(4) 列 an ,bn 為等比數(shù)列 ,則數(shù)列 anak n, k an ,a , k an bn nbn(k 為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列 .(5) 數(shù)列 an 為等比數(shù)列 ,每隔 k(k_N )項(xiàng)取出一項(xiàng) ( am ,am k , am 2k ,am 3k , )仍為等比數(shù)列(6) 如果 an 是各項(xiàng)均為正數(shù)的 等比數(shù)列 ,則數(shù)列l(wèi)og a an 是等差數(shù)列(7) 若an 為等比數(shù)列 ,則數(shù)列 Sn ，S2n Sn ，S3n S2n, ，成等比數(shù)列(8) 若 an 為 等 比 數(shù) 列 , 則 數(shù) 列 a1 a2 an , an 1 an 2 a2n ,a a a 成等比數(shù)列2n 1 2n 2 3n