1、2.2.4均值不等式及其應用1.了解均值不等式的代數和幾何背景,掌握均值不等式的適用條件.2.能用均值不等式求最值.3.能夠用均值不等式證明不等式.4.能用均值不等式解決一些實際問題中的最值問題.均值不等式1.給定兩個正數a,b,數稱為a,b的算術平均值;數稱為a,b的幾何平均值.2.兩個不等式不等式內容等號成立的條件注意重要不等式a2+b22ab當且僅當a=b時取“=”a,b可以是任意實數均值不等式當且僅當a=b時取“=”a,b只能是正實數3.均值不等式與最值(1)已知x,y均為正實數,如果積xy是定值p,那么當x=y時,和x+y有最小值,最小值為2.(2)已知x,y均為正實數,如果和x+y

2、是定值S,那么當x=y時,積xy有最大值,最大值為.上述命題可歸納為口訣:積定和最小,和定積最大.運用以上結論求最值要注意下列三個條件:一正:要求各數均為正數;二定:要求和或積為定值;三相等:要保證具備等號成立的條件.判斷正誤,正確的畫“”,錯誤的畫“”.1.不等式a2+b22ab與有相同的適用范圍.()不等式a2+b22ab對任意實數a,b都成立,而只有當a,b都是正實數(特殊時可取0)時成立.2.已知m0,n0,且mn=81,則m+n的最小值為18.()因為m0,n0,所以m+n2=2=18,當且僅當m=n=9時取等號,故m+n的最小值為18.3.a+的最小值為2.()當a0時,a+2=2

3、;當a0,b0,則4.()某房地產開發(fā)公司計劃在某樓區(qū)內建造一個長方形公園ABCD,公園由形狀為長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000 m2,人行道的寬分別為4 m和10 m(如圖所示).如何理解均值不等式成立的三個條件問題1.設休閑區(qū)的長和寬的比=x(x1),求公園ABCD所占面積y關于x的函數關系式.提示:y=80+4 160(x1).2.要使公園所占面積最小,則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設計?提示:利用均值不等式求解.利用均值不等式求最值時的注意事項1.各項均為正,都是負數時它們的相反數為正.2.尋求定值,求和

4、式最小值時應使積為定值,求積式最大值時應使和為定值.3.考慮等號成立的條件是否具備,等號不成立時可用圖像找出最大(小)值.函數y=x+(a0)的大致圖像如圖:拔高問題3.若x0,如何求函數y=x+的最大值?提示:當x0,-x+2=4,x+-4,當且僅當-x=-,即x=-2(x=2舍去)時取等號.故所求函數的最大值為-4.4.已知x2,如何求x+的最小值?提示:x2,x-20,x+=x-2+22+2=6,當且僅當x-2=,即x=4(x=0舍去)時,等號成立.x+的最小值為6.5.若x3,如何求函數y=x+的最小值?提示:若x0,則y=x+2=4,當且僅當x=2時取得最小值4,函數圖像如圖所示.由

5、圖像知,若x3,則當x=3時,y取得最小值.破疑典例1.()已知x3,求y=+x的最大值.思路點撥:x-30,利用均值不等式求y=+x的最大值.解析x3,x-30,y=+x=+x-3+3=-+3-2+3=-1,當且僅當=3-x,即x=1時,取等號,y的最大值為-1.易錯警示解題時要注意不等號的方向,如由a+b2,得-(a+b)-2,防止不等號方向錯誤導致解題錯誤.2.()已知x-1,求函數y=的最小值.思路點撥:將x+1看成整體,將函數化為整式+分式的形式,即構造能利用均值不等式的形式,檢驗三個條件是否成立,再求最小值.解析x-1,x+10,y=x+1+52+5=9,當且僅當x+1=,即x=1

6、(x=-3舍去)時,等號成立.當x=1時,函數y=(x-1)取得最小值9.3.()若x1,求函數y=x+的最小值.思路點撥:思路一:將變形為,然后把x+看作一個整體進行求解.思路二:當涉及分數時,通分是最容易想到的常規(guī)方法,通分后x+=,利用均值不等式即可求解.解析解法一:y=x+=x+,令u=x+,則u2,所以y=u+8,當且僅當u=,即u=4時,此時x=2+,等號成立.解法二:y=x+=+2=8,當且僅當=,即x=2+時,等號成立.4.()已知ab0,求a2+的最小值.思路點撥:分析目標式的特點,對目標式進行適當變形,然后利用均值不等式求最小值.解析解法一:由于a2+中有兩個字母,并注意到

7、b+(a-b)=a,則b(a-b)=,這樣就消去了字母b,因此a2+a2+4,當且僅當b=a-b,a2=,即a=,b=時,等號成立.故a2+的最小值為4.解法二:注意到b+(a-b)=a,則b+(a-b)2=a2,則a2+=b+(a-b)2+4b(a-b)+4,當且僅當b=a-b,4b(a-b)=,即a=,b=時,等號成立.故a2+的最小值為4.已知x0,y0,且+=1.問題1.怎樣求x+y的最小值?提示:消元法或利用均值不等式求解.2.若將已知條件改為xy0,且+=1,怎樣求x+y的最小值?提示:先消元,再利用均值不等式求解.利用均值不等式解決條件求值問題求含有條件的最大(小)值的基本方法1

8、.代入消去一個變量,化為求只含一個變量的代數式的最大(小)值問題,解題時要注意將消去變量的取值范圍轉化到保留的變量中.2.分析條件與結論的關系,利用關系解題,這種方法運算量小但技巧性強,平時要多總結.例如:常數代換:這種方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均為正數),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均為正數),求x+y的最小值”兩種類型.破疑典例1.()已知a0,b0,若不等式+恒成立,則m的最大值為()A.9B.12C.18D.24思路點撥:先將不等式變形,再利用均值不等式求解.B因為a0,b0,不等式+恒成立,所以m.因為(a+3b)=6+6+2=12,當且僅當a=3

9、b時取等號,所以m的最大值為12.故選B.2.()(1)已知a,b,x,y均為正數,且+=1,求x+y的最小值;(2)已知x0,y0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.思路點撥:問題(1)既可以采用常數代換的方法,也可以進行變量代換,再利用均值不等式求解;問題(2)既可以利用均值不等式求解,也可以采用變量代換的方法求解.解析(1)解法一:x+y=(x+y)=a+b+a+b+2,當且僅當即時,等號成立,故x+y的最小值為a+b+2.解法二:由+=1得x=,x+y=+y=+y=a+y=+(y-b)+a+b.x0,y0,a0,由0得y-b0,x+y2+a+b,當且僅當即時,等號成立,故x+y的最小值為a+b+2.(2)解法一:由x+2y+xy=30,可得y=(0 x0,x+2y2=2,2+xyx+2y+xy=30,解此不等式得