1、投資學 第13章投資分析4：Black-Scholes 期權(quán)定價模型.概 述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎模型根本假設(shè)8個無風險利率知，且為一個常數(shù)，不隨時間變化。標的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán).無買賣費用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自在借貸資金，且二者利率相等，均為無風險利率股票買賣無限細分，投資者可以購買恣意數(shù)量的標的股票對賣空沒有任何限制標的資產(chǎn)為股票，其價錢S的變化為幾何布朗運動.B-S模型證明思緒ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價公式.13.1 維納過程根

2、據(jù)有效市場實際，股價、利率和匯率具有隨機游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對于隨機變量w是Wiener process，必需具有兩個條件：在某一小段時間t內(nèi)，它的變動w與時段滿足t.13.12. 在兩個不重疊的時段t和s, wt和ws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立！13.2有效市場.滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當時段的長度放大到T時從如今的0時辰到未來的T時辰隨機變量wt的滿足.證明：.在延續(xù)時間下，由13.1和13.2得到13.313.4所以， 概率分布的性質(zhì)以上

3、得到的隨機過程，稱為維納過程。.13.2 ITO定理普通維納過程(Generalized Wiener process)可表示為13.5顯然，普通維納過程的性質(zhì)為.普通維納過程仍缺乏以代表隨機變量復雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當假設(shè)把變量xt的漂移率a和方差率b當作變量x和時間t的函數(shù)，擴展后得到的即為ITO過程.B-S 期權(quán)定價模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運動來代表股價的動搖省略下標t，變換后得到幾何布朗運動方程13.6證券的預期報答與其價錢無關(guān)。.ITO定理：假設(shè)某隨機變量x的變動過程可由ITO過程表示為省略下標t令f(x,t)為隨機變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可

4、以代表以標的資產(chǎn)x的衍生證券的價錢，那么f(x,t)的價錢變動過程可以表示為13.7.證明：將13.7離散化由13.1知利用泰勒展開，忽略高階段項，f(x,t)可以展開為13.8.在延續(xù)時間下，即因此，13.8可以改寫為13.9從而.即x2不呈現(xiàn)隨機動搖！13.10.由13.10可得13.11由13.11得到13.12. 由于x2不呈現(xiàn)隨機動搖，所以，其期望值就收斂為真實值，即當t0時，由13.9可得.13.3 B-S微分方程假設(shè)標的資產(chǎn)價錢變動過程滿足這里S為標的資產(chǎn)當前的價錢，令f(s,t)代表衍生證券的價錢，那么f(x,t)的價錢變動過程可由ITO引理近似為.假設(shè)某投資者以份的標的資產(chǎn)多

5、頭和1個單位的衍生證券空頭來構(gòu)造一個組合，且滿足那么該組合的收益為.下面將證明該組合為無風險組合，在t時間區(qū)間內(nèi)收益為.留意到此時不含有隨機項w，這意味著該組合是無風險的，設(shè)無風險收益率為r，且由于t較小不采用延續(xù)復利，那么整理得到.B-S微分方程的意義衍生證券的價錢f，只與當前的市價S，時間t，證券價錢動搖率和無風險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，可以采用風險中性定價，即一切證券的預期收益率都等于無風險利率r。只需標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微分方程求出價錢f。.假設(shè)股票價錢服從幾何布朗運動設(shè)當前時辰為

6、t，那么T時辰股票價錢滿足對數(shù)正態(tài)分布，即13.4 幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布.令那么這樣由伊藤引理得到即.由13.1.那么稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以.13.5 B-S買權(quán)定價公式 對于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)買權(quán)的在定價日t的定價公式為.1設(shè)當前時辰為t，到期時辰T，假設(shè)股票價錢服從幾何布朗運動，假設(shè)曾經(jīng)當前時辰t的股票價錢為St,那么T時辰的股票價錢的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導13.13.13.14由13.13和13.14得到13.15根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風險中性條件下，那么資產(chǎn)的期望報答為無風險報答，那么這闡明：在風險中性的世界中，任何可買賣的金融

7、資產(chǎn)的報答率均為無風險利率。.2在風險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為13.16.由于ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其pdf為13.17第1項第2項將由(13.16)得到.3化簡13.17中的第1、2項，先化簡第1項13.18當前時辰價錢，不是變量.13.19. 將13.19與13.18內(nèi)的第2個指數(shù)項合并，即13.20.將13.20代入13.18下面，將利用變量代換來簡化13.21，無妨令13.21.y的積分下限為y的積分上限為.將dy與y代入13.21，即有這樣就完成了第1項的證明。13.22.下面證明B-S公式中的第2項，首先進展變量代換，令.那么z的積分下限z

8、的積分上限.將z和dz代入13.23.那么由13.22和13.23得到其中.pr0dN(d)例如:當d1.96時,N(d)913.5%.B-S買權(quán)公式的意義N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。 .其次， 是復制買賣戰(zhàn)略中股票的數(shù)量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么是復制買賣戰(zhàn)略中負債的價值。假設(shè)兩個N(d)均為1，看漲期權(quán)價值為St-Xe-rT，那么沒有不確定性。假設(shè)確實執(zhí)行了，我們就

9、獲得了以St為現(xiàn)價的股票的一切權(quán)，而承當了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價值關(guān)于標的資產(chǎn)的價錢及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)，具有如下性質(zhì).FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: C

10、allsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = ln(100/95) + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + (050.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664， N (0.18) =0 .5714Call Option Example.Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Cal

11、l Option Value.13.6 看跌期權(quán)的定價利用金融工程的原理來對待期權(quán)平價關(guān)系思索如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價錢與看漲期權(quán)一樣的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn).組合A到期時辰T的收益組合B到期時辰T的收益兩個組合具有一樣的價錢，且由于歐式期權(quán)不能提早執(zhí)行，那么在t時辰兩個組合價值相等，否那么就有套利，即此為看漲看跌期權(quán)平價公式。.從幾何圖性上看，二者對影響期權(quán)的關(guān)鍵目的都進展了負向變換，是關(guān)于縱向?qū)ΨQ的。.標的資產(chǎn)價錢期權(quán)價值.13.7 有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價當標的證券知收益的現(xiàn)值為I時，我們只需用StI替代B-S公式中的St當標的證券的收益為按延續(xù)復利計算的固定收益率q單位為年時，我們只需將.對于歐式期貨期權(quán)，其定價公式為其中：F為到期日期貨的價錢，即付出X，得到一個價值為F的期貨.根據(jù)泰勒公式對期權(quán)價錢進展二階展開，忽略高階項DeltaThetaVegaRhoG