1、. .PAGE14 / NUMPAGES14立體幾何中的向量方法1.（2012年高考（理）設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1,和,且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面,則的取值圍是（）ABCD解析 以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B、OC、OA所在直線為x、y、z軸, 則,A,2. （2012年高考（理）如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,則直線與直線夾角的余弦值為（）ABCD解析:不妨設(shè),直線與直線夾角為銳角,所以余弦值為,選A.3.（2012年高考（理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設(shè)E為棱上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長(zhǎng).命題意圖本小題主要考

2、查空間兩條直線的位置關(guān)系,二面角、異面直線所成的角,直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.方法一:（1）以為正半軸方向，建立空間直角左邊系則（2），設(shè)平面的法向量則 取是平面的法向量得：二面角的正弦值為（3）設(shè)；則， 即方法二:(1)證明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以.(2)解:如圖,作于點(diǎn),連接,由,可得平面.因此,從而為二面角的平面角.在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值為.4.（2012年高考（新課標(biāo)理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),(1)證明:(2)求二面角的大小.第一問省略第二問：如

3、圖建系:A(0,0,0),P(0,0,),M(,0),N(,0, 0),C(,3,0).設(shè)Q(x,y,z),則.,.由,得:. 即:.對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為.則. .同理對(duì)于平面AMN得其法向量為.記所求二面角AMNQ的平面角大小為,則.所求二面角AMNQ的平面角的余弦值為. 5.（2011年）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，OAB，,，都是正三角形。（）證明直線；（II）求棱錐FOBED的體積。本題考查空間直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.（I）（綜合法）證明：設(shè)G是線

4、段DA與EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn). 由于OAB與ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，設(shè)是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有又由于G和都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.（向量法）過點(diǎn)F作，交AD于點(diǎn)Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由條件知?jiǎng)t有所以即得BCEF.（II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故 所以過點(diǎn)F作FQAD，交AD于點(diǎn)Q，由平面ABED平

5、面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以6.（2011年） 如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).證明：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，

6、平面PDC的法向量因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=7. （2011年） 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設(shè)AB=AP（i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長(zhǎng)；（ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由。分析： 本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象根據(jù)能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分14分。解法一：（I

7、）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，設(shè)G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡(jiǎn)得（3）由于方

8、程（3）沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線段AD上

9、存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設(shè)，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。8.（2011年） 如圖5在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)（1）證明：AD 平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值法一：（1）證明：取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。（2），為二面角PADB的平面角，在在法二：（1）取AD中點(diǎn)為G，因?yàn)橛譃榈冗吶切?，?/p>