1、第八節(jié)平面向量【考點(diǎn)整合及典例分析】1.向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）.【例1】已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量

2、平行. 向量（）與向量共線的充要條件為存在唯一實(shí)數(shù)使提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是.【例2】下列命題：（1）若，則.（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.（3）若，則是平行四邊形.（4）若是平行四邊形，則.（5）若，則.（6）若，則.其中正確的是_2.向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（

3、2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示.如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算幾何運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算加法利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；設(shè)，則：向量的加法運(yùn)算： .減法用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.設(shè)，則：向量的減法運(yùn)算： .數(shù)乘實(shí)數(shù)與

4、向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0.數(shù)量積（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直.（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量. 向量的模：.兩點(diǎn)間的距離：若，則.（1）交換律：，；（2）結(jié)合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以

5、一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？考點(diǎn)1、向量的線性運(yùn)算【例3】化簡(jiǎn)：_；_；_【例4】若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_ 變式1、若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_ 變式2、若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_ _考點(diǎn)2、向量共線定理的應(yīng)用【例5】已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上【例6】已知，則 變式3、設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_ 考點(diǎn)3、夾角問題【例7】已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_ 【例8】ABC中，則_變式

6、4、已知，與的夾角為，則等于_ 變式5、已知，則等于 【例9】已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為 【例10】已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）.（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值 （3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.【例11】已知，且，則向量在向量上的投影為 （4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積.（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的

7、計(jì)算公式：；.【例12】已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_ 變式6、已知，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍?！纠?3】已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_ 變式7、已知與之間有關(guān)系式其中，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小考點(diǎn)4.平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2.【例14】若，則_ _（用表示） 【例15】下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 ( ) A. B. C. D. 變式8、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為 考點(diǎn)5.向量平行(共線)的充要條件：0.【例16】

8、若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同 【例17】已知，且，則x_ 變式9、設(shè)，則k_ _時(shí)，A,B,C共線考點(diǎn)6.向量垂直的充要條件： .特別地.【例18】已知，若，則 變式10、已知向量，且，則的坐標(biāo)是_8.向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為.【例19】若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則，特別地