1、專題13 正方形與45角的基本圖一、單選題 1如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：AG+EC=GE；的周長(zhǎng)是一個(gè)定值；連結(jié)FC，的面積等于在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）A1B2C3D4【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AD=DF，A=GFD=90，于是根據(jù)“HL”判定，再由，從而判斷，由對(duì)折可得： 由，可得：從而可判斷， 設(shè) 則利用三角形的周長(zhǎng)公式可判斷，如圖，連接 證明是直角三角形，從而可判斷，從而可得本題的結(jié)論【詳解】解：由正方形與折疊可知，DF=DC=DA，DFE=C=90，

2、 DFG=A=90， ， 故正確；由對(duì)折可得： ， 故正確；設(shè) 則 所以：的周長(zhǎng)是一個(gè)定值，故正確，如圖，連接 由對(duì)折可得： 故正確綜上：都正確故選【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵2如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)在同一直線上，且，給出下列結(jié)論：，的面積，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和平角的定義可求COD；根據(jù)正方形的性質(zhì)可求OE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可求AE的長(zhǎng)；作DHAB于H，作FGCO交CO的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)含45的直角三角形的性質(zhì)可求FG，根據(jù)勾股定理可求CF，BD，

3、即可求解；根據(jù)三角形面積公式即可求解【詳解】解：AOC=90，DOE=45，COD=180-AOC-DOE=45，故正確；EF=，OE=2AO=AB=3，AE=AO+OE=2+3=5，故正確；作DHAB于H，作FGCO交CO的延長(zhǎng)線于G，則FG=1，CF=，BH=3-1=2，DH=3+1=4，BD=，故錯(cuò)誤；COF的面積SCOF=31=，故錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，含45的直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，平角的定義，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵3如圖，在正方形有中，是上的動(dòng)點(diǎn)，（不與、重合），連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過

4、點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，那么些的值為（ ）A1BCD2【答案】B【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明DAEENH，得AE=HN，AD=EN，再說明BNH是等腰直角三角形，可得結(jié)論【詳解】如圖，在線段AD上截取AM，使AM=AE，AD=AB，DM=BE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，ADEFDE，DA=DF=DC，DFE=A=90，1=2，DFG=90，在RtDFG和RtDCG中，RtDFGRtDCG（HL），3=4，ADC=90，1+2+3+4=90，22+23=90，2+3=45，即EDG=45，EHDE，DEH=90，DEH是等腰直角三角形，AED+BEH=AED+1=90，DE=EH

5、，1=BEH，在DME和EBH中，DMEEBH（SAS），EM=BH，RtAEM中，A=90，AM=AE， ，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等4如圖，在正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則以下結(jié)論：，正確的個(gè)數(shù)有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】C【分析】利用正方形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明再證明判斷，利用全等三角形的性質(zhì)與勾股定理先求解正方形的邊長(zhǎng)，再分別求解，判斷，再利用勾股定理計(jì)算，判斷，通過計(jì)算，判斷【詳解】

6、解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，DAF=BAG 四邊形ABCD為正方形， BAD=90 又EAF=45， BAE+DAF=45 BAG+BAE=45 GAE=FAE 在GAE和FAE中， 故正確， 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則 由勾股定理得： 解得：（舍去） 故錯(cuò)誤， 故正確， 故正確綜上：正確，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵二、解答題5已知：四邊形為正方形，是等腰，（1）如圖：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，若邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接，試證明：（2）如圖，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，若邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接試寫出此時(shí)三線段、

7、的數(shù)量關(guān)系并加以證明若，求：正方形的邊長(zhǎng)以及中邊上的高【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；【分析】（1）延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG，根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=AB，D=ABG，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；（2）EF=BE-DF，理由是：在BC上取BG=DF，連接AG，證ABGADF，F(xiàn)AEEAG即可；過F作FHAE于H，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是x，則BC=CD=x，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在RtFCE中，由勾股定理得出方程（x+4）2=（x+2）2+62，求出x后再求出FH即可【詳解】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG，四邊形ABCD是正

8、方形，D=ABC=DAB=ABG=90，AD=AB，在ADF和ABG中，ADFABG（SAS），AG=AF，DAF=BAG，EAF=45，EAG=EAB+BAG=EAB+DAF=45，EAF=EAG，AE=AE，EAFEAG，EF=EG=EB+BG=EB+DF（2）三線段、的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下:如圖2，在上取一點(diǎn)，使連接，同(1)可證，AG=AF，DAF=BAG，是等腰直角三角形，在和中，如圖2，過F作FHAE于H，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是x，則BC=CD=x，CE=6，DF=BG=2，EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，在RtFCE中，由勾股定理得：EF2=FC

9、2+CE2，（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，AG=AF=，F(xiàn)AM=45，F(xiàn)H=AF=，即AEF中AE邊上的高為【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題6如圖，點(diǎn)、分別在邊、上，過點(diǎn)作，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上（1）與全等嗎？為什么？（2）若，求的長(zhǎng)【答案】（1）GABFAD，理由見解析；（2）EF=5【分析】（1）由題意可得ABG=D=90，進(jìn)一步即可根據(jù)ASA證得GABFAD；（2）由（1）的結(jié)論可得AG=AF，GB=DF，易得BAE+DAF=

10、45，進(jìn)而可推出GAE=EAF，然后利用SAS即可證明GAEFAE，可得GE=EF，進(jìn)一步即可求出結(jié)果【詳解】解：（1），點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，ABG=D=90，在GAB和FAD中，AB=AD，ABG=D，GABFAD（ASA）；（2）GABFAD，AG=AF，GB=DF，BAE+DAF=45，BAE+GAB=45，即GAE=45，GAE=EAF，在GAE和FAE中，AG=AF，GAE=EAF，AE=AE，GAEFAE（SAS），GE=EF，GE=GB+BE=DF+BE=2+3=5，EF=5【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵7如圖，

11、在矩形中，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)（1）求證：四邊形是正方形；（2）若，求證：；（3）在（2）的條件下，已知，求的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）首先證明是矩形，然后找到一組鄰邊相等即可證明四邊形是正方形；（2）主要證明，從而得出，由（1）知，四邊形是正方形，等量代換即可證明；（3）已知，可知，又因?yàn)?，求出AD的長(zhǎng)度，DF=AD-AF，根據(jù)等式關(guān)系求出DF的長(zhǎng)，最后證明為等腰直角三角形，OD=DF即可求解【詳解】（1）在矩形中，四邊形是矩形，又AE平分，為等腰直角三角形，=，四邊形是正方形（鄰邊相等的矩形為正方形）；（2），又，AD=AE，（AAS），由（

12、1）知，四邊形是正方形，；（3）在正方形中，由（2）知：， AD=AE=，DF=AD-AF=-1，又，為等腰直角三角形，OD=DF=2-【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與正方形的判定與性質(zhì)、證明三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵8正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且EDF45，將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到DCM（1）求證：EFCF+AE；（2）當(dāng)AE2時(shí)，求EF的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）5，詳見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DEDM，EDM為直角，可得出EDF+MDF90，由EDF45，得到MDF為45，可得出EDFMDF，再由DFDF，

13、利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EFCF+AE；（2）由（1）的全等得到AECM2，正方形的邊長(zhǎng)為6，用ABAE求出EB的長(zhǎng)，再由BC+CM求出BM的長(zhǎng)，設(shè)EFMFx，可得出BFBMFMBMEF8x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長(zhǎng)【詳解】（1）證明：DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到DCM，F(xiàn)CMFCD+DCM180，AECM，F(xiàn)、C、M三點(diǎn)共線，DEDM，EDM90，EDF+FDM90，EDF45，F(xiàn)DMEDF45，在DEF和DMF中，DEFDMF（SAS），EFMF，EFCF+AE；（2）解：設(shè)E

14、FMFx，AECM2，且BC6，BMBC+CM6+28，BFBMMFBMEF8x，EBABAE624，在RtEBF中，由勾股定理得，即，解得：x5，則EF5【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)半角旋轉(zhuǎn)得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得線段的長(zhǎng)9已知A（m，n），且滿足|m2|+（n2）2=0，過A作ABy軸，垂足為B（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)（2）如圖1，分別以AB，AO為邊作等邊ABC和AOD，試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由（3）如圖2，過A作AEx軸，垂足為E，點(diǎn)F、G分別為線段OE、AE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），滿足FBG=4

15、5，設(shè)OF=a，AG=b，F(xiàn)G=c，試探究ab的值是否為定值？如果是求此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）A（2，2）；（2）AC=CD，ACCD.證明見解析；（3）0.【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得m、n的值；（2）連接OC，由AB=BO知BAO=BOA=45，由ABC，OAD為等邊三角形知BAC=OAD=AOD=60、OA=OD，繼而由BAC-OAC=OAD-OAC得DAC=BAO=45，根據(jù)OB=CB=2、OBC=30知BOC=75，AOC=BAO-BOA=30，DOC=AOC=30，證OACODC得AC=CD，再根據(jù)CAD=CDA=45知ACD=90，從而得ACCD；（3）在

16、x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M，使得OM=AG=b，連接BG，先證BAGBOM得OBM=ABG、BM=BG，結(jié)合FBG=45知ABG+OBF=45，從而得OBM+OBF=45，MBF=GBF，再證MBFGBF得MF=FG，即a+b=c，代入原式可得答案【詳解】（1）由題得m=2，n=2，A（2，2）；（2）如圖1，連結(jié)OC，由（1）得AB=BO=2，ABO為等腰直角三角形，BAO=BOA=45，ABC，OAD為等邊三角形，BAC=OAD=AOD=60，OA=ODBAC-OAC=OAD-OAC即DAC=BAO=45在OBC中，OB=CB=2，OBC=30，BOC=75，AOC=BAO-BOA=30，DOC=A

17、OC=30，在OAC和ODC中，OACODC，AC=CD，CAD=CDA=45，ACD=90，ACCD；（3）如圖，在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M，使得OM=AG=b，連接BG，在BAG和BOM中，BAGBOMOBM=ABG，BM=BG又FBG=45ABG+OBF=45OBM+OBF=45MBF=GBF在MBF和GBF中，MBFGBFMF=FGa+b=c代入原式=010已知，如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD的延長(zhǎng)線上，且BE=DF，連接EF（1）求E的度數(shù)；（2）將AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足045時(shí)，設(shè)EF與射線AB交于點(diǎn)G，與AC交于點(diǎn)H，如圖所示，試判斷線段F

18、H、HG、GE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）若將AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接DF、BE，并延長(zhǎng)EB交直線DF于點(diǎn)P，連接PC，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；線段PC的取值范圍為【答案】（1）E=45；（2）FH2+GE2=HG2，理由見解析；（3）6，0PC6【分析】（1）先證明AE=AF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先證明AGHAGK，得GH=GK，由AFHAEK，得AEK=AFH=45，F(xiàn)H=EK，利用勾股定理得：KG2=EG2+EK2，根據(jù)相等關(guān)系線段等量代換可得結(jié)論：FH2+GE2=HG2；（3）如圖3，先證明FPE=FAE=90，根據(jù)90的圓周角所對(duì)的弦

19、是直徑可得：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是：以BD為直徑的圓，如圖4，可得PC的取值范圍【詳解】（1）四邊形ABCD是正方形，AD=AB，DAB=90，BE=DF，AD+DF=AB+BE，即AF=AE，又FAE=90，E=F=45；（2）FH2+GE2=HG2，理由是：如圖2，過A作AKAC，截取AK=AH，連接GK、EK，CAB=45，CAB=KAB=45，在AGH和AGK中，AGHAGK（SAS），GH=GK，由旋轉(zhuǎn)得：FAE=90，AF=AE，HAK=90，F(xiàn)AH=KAE，在AFH和AEK中，AFHAEK（SAS），AEK=AFH=45，F(xiàn)H=EK，AEH=45，KEG=45+45=90，RtGKE中

20、，KG2=EG2+EK2，即：FH2+GE2=HG2；（3）解：如圖3，BAD=90，F(xiàn)AE=90，AF=AE，DAF=BAE，在DAF和BAE中，DAFBAE（SAS），DFA=BEA，PNF=ANE，F(xiàn)PE=FAE=90，將AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，總存在直線EB與直線DF垂直，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是：以BD為直徑的圓，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=；如圖4，當(dāng)P與C重合時(shí)，PC最小，PC=0，當(dāng)P與A重合時(shí)，PC最大為，線段PC的取值范圍是：0PC故答案為：，0PC【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的概念

21、，通過作輔助線構(gòu)建全等三角形得出邊相等和角相等，因此本題輔助線的作法是關(guān)鍵；故在幾何證明中，恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線可以把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，使問題得以解決11（1）如圖1所示，已知正方形中，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且求證：；（2）如圖2所示，在正方形中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，如果，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論證明： 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明CBECDF，從而得出CE=CF；（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，根據(jù)（1）知BCE=DCF，即可證明ECF=BCD=90，根據(jù)GCE=45，得GCF=GCE=45，利用全等三角形的判定方法

22、得出ECGFCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD【詳解】解：（1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF，CE=CF；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45，CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG，GE=GF，GE=DF+GD=BE+GD【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定方法正確證明三角形全等是關(guān)鍵12（1）如圖，在正方形

23、ABCD 中，F(xiàn)AG=45，請(qǐng)直接寫出 DG，BF 與FG 的數(shù)量關(guān)系，不需要證明（2）如圖，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，E，F(xiàn) 分別是 BC 上兩點(diǎn)，EAF=45，寫出 BE，CF，EF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明若將（2）中的AEF 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，上述結(jié)論是否仍然成立？ 若不成立，直接寫出新的結(jié)論 ，無需證明（3）如圖，AEF 中EAF=45，AGEF 于 G，且GF=2，GE=3，則 = 【答案】（1）FG=BF+DG；（2）EF2=BE2+FC2，理由見解析；仍然成立；（3）15【分析】（1）把AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ABP，可使AD與AB重合，再證

24、明AFGAFP進(jìn)而得到PF=FG，即可得FG=BF+DG；（2）根據(jù)AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AGB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知ACFABG得到BG=FC，AG=AF，C=ABG，F(xiàn)AC=GAB，根據(jù)RtABC中的AB=AC得到GBE=90，所以GB2+BE2=GE2，證AGEAFE，利用EF=EG得到EF2=BE2+FC2；將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是G，同上的方法證得GC2+CF2=FG2，再設(shè)法利用SAS證得AFGAFE即可求解；（3）將AEG沿AE對(duì)折成AEB，將AFG沿AF對(duì)折成AFD，延長(zhǎng)BE、DF相交于C，構(gòu)成正方形ABCD，在RtEFC中，利用勾股定

25、理求得正方形的邊長(zhǎng)，即可求得AG的長(zhǎng)，從而求得答案【詳解】（1）四邊形ABCD為正方形，AB=AD，ADC=ABC=90，把AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ABP，使AD與AB重合，BAP=DAG，AP= AG，BAD=90，F(xiàn)AG=45，BAF+DAG=45，PAF=FAG=45，ADC=ABC=90，F(xiàn)BP=180，點(diǎn)F、B、P共線，在AFG和AFP中，AFGAFP（SAS），PF=FG，即：FG=BF+DG；（2）FC2+BE2=EF2，證明如下：AB=AC，BAC=90，C=ABC=45，將AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AGB，ACFABG，BG=FC，AG=AF，C=ABG=45，F(xiàn)AC

26、=GAB，GBE=ABG +ABC =90，GB2+BE2=GE2，又EAF=45，BAE+FAC=45，GAB+BAE=45，即GAE=45，在AGE和AFE中，AGEAFE（SAS），GE=EF，F(xiàn)C2+BE2=EF2；仍然成立，理由如下：如圖，將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，ACGABE，CG=BE，AG=AE，ACG=ABE=45，BAE=CAG，GCB=ACB +ACG =90，即GCF=90，GC2+CF2=FG2，BAE+EAC=BAC=90，CAG+EAC=90，又EAF=45，GAF=90-EAF=45，GAF=EAF=45，在AFG和AFE中

27、，AFGAFE（SAS），GF=EF，F(xiàn)C2+BE2=EF2；（3）將AEG沿AE對(duì)折成AEB，將AFG沿AF對(duì)折成AFD，延長(zhǎng)BE、DF相交于C，AEGAEB，AFGAFD，AB=AG=AD，BE=EG=3，DF=FG=2，EAG=EAB，F(xiàn)AG=FAD，B=D=90，EAF=45，EAB+FAD=EAG+FAG=EAF=45，BAD=90，四邊形ABCD為正方形，設(shè)AG =，則AB=BC=CD=，在RtEFC中，EF=3+2=5，EC=BC-BE=，F(xiàn)C=CD-DF=，故，解得：（舍去），AG=6，故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與

28、性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中13正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，求的度數(shù)【答案】45【分析】延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使得，連接AG在正方形ABCD中，在和中，又，在和中，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解決此題的關(guān)鍵14如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，連接EF，這種模

29、型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路例如圖中ADF與ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90的關(guān)系這可以證明結(jié)論“EFBEDF”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過程（1）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG ，連接AG；（2）證明：EFBEDF【答案】（1）DF；（2）見解析【分析】（1）由于ADF與ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從而得到輔助線的做法；（2）先證明ADFABG，得到AG=AF，GAB=DAF，結(jié)合EAF45，易知GAE=45，再證明AGEAFE即可得到EFGE=BE+GB=BEDF【詳解】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從

30、而得到輔助線的做法：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG；（2）四邊形ABCD為正方形，AB=AD，ADF=ABE=ABG=90，在ADF和ABG中ADFABG（SAS），AF=AG，DAF=GAB，EAF=45，DAF+EAB=45，GAB+EAB=45，GAE=EAF =45，在AGE和AFE中0ADFABG（SAS），GE=EF，EFGE=BE+GB=BEDF【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)方法提示構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型15已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直線BG，DE交于點(diǎn)H（1）如圖1，當(dāng)B

31、，C，E共線時(shí)，求證：BHDE（2）如圖2，把正方形CEFG繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（090），M，N分別為BG，DE的中點(diǎn)，探究HM，HN，CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（3）如圖3，PDG45，DHPG于H，PH2，HG4直接寫出DH的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）MH2+HN22CM2，理由見解析；（3）3+【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BCCD，CGCE，BCGDCE90，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CBGCDE，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BCCD，CGCE，BCDGCE90，由全等三角形的性質(zhì)得到CBGCDE，BGDE，求得MHN90，得到BMDN，根據(jù)全等

32、三角形的性質(zhì)得到CMCN，BCMDCN，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ADDHCD，ACDHP90，ADPHDP，GDHGDC，APPH2，CGHG4，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到B90，設(shè)DHADABBCx，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論【詳解】解：（1）證明：在正方形ABCD和正方形CEFG中，BCCD，CGCE，BCGDCE90，BCGDCE（SAS），CBGCDE，CDE+DEC90，HBE+BEH90，BHE90，BHDE；（2）解：MH2+HN22CM2，理由：在正方形ABCD和正方形CEFG中，BCCD，CGCE，BCDGCE90，BCGDCE，BCGDCE（SAS）

33、，CBGCDE，BGDE，DPHCPM，DHPBCP90，MHN90，M，N分別為BG，DE的中點(diǎn)，BMBG，DNDE，BMDN，BCCD，BCMDCN（SAS），CMCN，BCMDCN，MCNBCP90，MH2+HN2CM2+CN22CM2；（3）解：DHPG，DHPDHG90，把PDH沿著PD翻折得到APD，把GDH沿著DG翻折得到DGC，ADDHCD，ACDHP90，ADPHDP，GDHGDC，APPH2，CGHG4，PDG45，ADC90，延長(zhǎng)AP，CG交于B，則四邊形ABCD是正方形，B90，設(shè)DHADABBCx，PBx2，BGx4，PG2PB2+BG2，62（x2）2+（x4）2，

34、解得：x（負(fù)值舍去），DH【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，綜合性較強(qiáng)，熟知正方形性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造正方形是解題關(guān)鍵對(duì)于此類分步驟的綜合題，每一步解題都為后續(xù)解題提供了解題條件或解題思路，要深刻領(lǐng)會(huì)并善于運(yùn)用這一點(diǎn)進(jìn)行解題16已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上（1）若BEDF，求證：BAEDAF；聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)O，過點(diǎn)F作FMAE，交AC的延長(zhǎng)線于M，聯(lián)結(jié)EM，求證：四邊形AEMF是菱形（2）聯(lián)結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)P、Q若EAF45，AB1，設(shè)，求 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系及定義城【答案】（1）見解析；見解析；（2）()【分析】（1）證明ABEADF（SAS），即可

35、推出BAE=DAF證明FOMEOA（ASA），推出AE=FM，由FMAE，可得四邊形AEMF是平行四邊形，再根據(jù)AE=AF可得結(jié)論（2）如圖2中，將ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABT，連接PT證明APQAPT（SAS），推出PQ=PT，由題意BD=，推出PQ=PT=，在RtTBP中，根據(jù)，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題【詳解】（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是正方形，B=D=90，AB=AD，BE=DF，ABEADF（SAS），BAE=DAF；證明：四邊形ABCD是正方形，BAC=DAC=45，BAE=DAF，EAO=FAO，BAEDAF，AE=AF，ACEF，OE=OF，F(xiàn)MAE，OFM=OE

36、A， FOM=EOA，F(xiàn)OMEOA（ASA），AE=FM，F(xiàn)MAE，四邊形AEMF是平行四邊形，AE=AF，四邊形AEMF是菱形；（2）解：如圖2中，將ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABT，連接PTADQABT，AQ=AT，ADQ=ABT=45，DAQ=BAT，ABD=45，TBP=90，EAF=45，BAD=90，DAQ+BAP=BAT+BAP=45，PAT=PAQ=45，PA=PA，AT=AQ，APQAPT（SAS），PQ=PT，AB=AD=1，BAD=90，BD=，PQ=PT=，在RtTBP中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，()【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定

37、，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型17如圖，過線段AB的端點(diǎn)B作射線BGAB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使EAPBAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）（1）求證：；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）試探究AE+EF+AF與2AB是否相等，并說明理由【答案】（1）見解析；（2）CFAB，見解析；（3）AE+EF+AF2AB，見解析【分析】（1）四邊形APCD正方形，則DP平分APC，PCPA

38、，APDCPD45，即可求解；（2）AEPCEP，則EAPECP，而EAPBAP，則BAPFCP，令CF與線段AP交于點(diǎn)M，則FCP+CMP90，則AMF+PAB90即可求解；（3）證明PCNAPB（AAS），則CNPBBF，PNAB，即可求解【詳解】解：（1）證明：四邊形APCD正方形，DP平分APC，PCPA，APDCPD45，PEPE，AEPCEP（SAS）；（2）CFAB，理由如下：AEPCEP，EAPECP，EAPBAP，BAPFCP，令CF與線段AP交于點(diǎn)M，F(xiàn)CP+CMP90，AMFCMP，AMF+PAB90，AFM90，CFAB；（3）過點(diǎn)C作CNPBCFAB，BGAB，F(xiàn)CB

39、N，CPNPCFEAPPAB，又APCP，PCNAPB（AAS），CNPBBF，PNAB，AEPCEP，AECE，AE+EF+AFCE+EF+AFBN+AFPN+PB+AFAB+CN+AFAB+BF+AF2AB，即AE+EF+AF2AB【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等量代換等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定方法及其性質(zhì)三、填空題18如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N為邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），下列三個(gè)結(jié)論：當(dāng)MNMC時(shí)，則；2；MNC的周長(zhǎng)不變；AMNAMB60其中正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【分析】先用勾股定理求得MCNC，則易得

40、ABMADN（SAS），再結(jié)合MAN45，可得答案；將ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得ADE，證明EANMAN（SAS），再利用四邊形內(nèi)角和及鄰補(bǔ)角關(guān)系，可證得結(jié)論；由EANMAN，可得MNBMDN，從而將MNC的三邊相加即可得答案；將ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得ABF，證明MAFMAN（SAS），再全等三角形的性質(zhì)，可證得結(jié)論【詳解】正方形ABCD中，C90MN2MC2NC2當(dāng)MNMC時(shí)，MN22MC2MC2NC2MCNCBMDN易證ABMADN（SAS）BAMDANMAN45BAM22.5，故正確；如圖，將ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得ADE，則EANEAMMAN904545則在EAN和MAN中

41、，AEAM，EANMAN，ANAN，EANMAN（SAS）AMNAEDAEDEAMENMAMN3602AMN90（180MNC）3602AMNMNC90故正確；EANMANMNENDEDNBMDNMNC的周長(zhǎng)為：MCNCMN（MCBM）（NCDN）DCBCDC和BC均為正方形ABCD的邊長(zhǎng)，故MNC的周長(zhǎng)不變；將ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得ABF，則FAMFANMAN904545則在FAM和MAN中，AFAN，F(xiàn)AMMAN，AMAM，MAFMAN（SAS），AMBAMN，故錯(cuò)誤；綜上都正確，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，本題具有一定的綜合性19如

42、圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，將正方形邊AB沿AE折疊到AF，延長(zhǎng)EF交DC于G，連接AG，則EAG_度【答案】45【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可以證明ADGAFG，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DAG=FAG，由折疊可得BAE=FAE，進(jìn)而可得EAG的度數(shù)【詳解】解：四邊形ABCD是正方形，ABAD，ABEBADADG90，由翻折可知：ABAF，ABEAFEAFG90，BAEEAF，AFGADG90，AGAG，ADAF，RtAGDRtAGF（HL），GAFGAD，EAGEAF+GAF（BAF+DAF）45故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

43、折疊，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)20如圖，已知在中，在內(nèi)作第一個(gè)內(nèi)接正方形，則第1個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)_；然后取的中點(diǎn)，連接、，在內(nèi)作第二個(gè)內(nèi)接正方形；再取線段的中點(diǎn)，在內(nèi)作第三個(gè)內(nèi)接正方形依次進(jìn)行下去，則第2020個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為_【答案】2 【分析】先利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DE的長(zhǎng)即可確定第1個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)；運(yùn)用銳角三角函數(shù)的關(guān)系得，即可得出正方形邊長(zhǎng)的變化規(guī)律，然后運(yùn)用規(guī)律即可解答【詳解】解：在RtABC中，B=C=45，BC=在ABC內(nèi)作第一個(gè)內(nèi)接正方形DEFG：EF=EC=DG=BD.DE=BC=2連接PD、PE

44、，在PDE內(nèi)作第二個(gè)內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點(diǎn)Q，在OQHI內(nèi)作第三個(gè)內(nèi)接正方形依次進(jìn)行下去點(diǎn)P是GF的中，DH=EI。則第n個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為：則第2020個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理以及數(shù)字變化規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意確定正方形邊長(zhǎng)的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵21如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH_【答案】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理可以求得DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到DBF的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到BH的長(zhǎng)【詳解】解：延

45、長(zhǎng)DC交FE于點(diǎn)M，連接BD、BF，正方形ABCD，BEFG的邊長(zhǎng)分別為2，3，DM5，MF1，DMF90，DF，BD、BF分別是正方形ABCD，BEFG的對(duì)角線，DBC=GBF=90，DBF90，DBF是直角三角形， 點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，BHDF，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答22如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD，Q為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M，過M作MNAQ交BC于點(diǎn)N，作NPBD于點(diǎn)P，連接NQ，下列結(jié)論：AMMN；MPBD；BNDQNQ；為定值一定成立的是_【答案】【分析】如圖1

46、，連接AC、AN，AC交BD于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得A，B，N，M四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得ANMNAM45，于是可判斷；由余角的性質(zhì)可得HAMPMN，從而可利用AAS證明RtAHMRtMPN，可得MPAH，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可判斷；如圖2，將ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ABR，使AD和AB重合，連接AN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和SAS可推得RANQAN，進(jìn)而可得RN=QN，進(jìn)一步即可判斷；如圖3，作MSAB于S，MWBC于W，由題意易得四邊形SMWB是正方形，進(jìn)一步即可推出AMSNMW，可得ASNW，進(jìn)而得ABBN2BW，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷，于是可得答案【詳解】解：如圖1，連接AC、AN，AC交BD于點(diǎn)H，四邊形ABCD是正方形，ACBD，AC=BD，AH=CH，DBCABD45，AMNABC90，A，B，N，M四點(diǎn)共圓，NAMDBC45，ANMABD45，ANMNAM45，AMMN，故正確；MAH+AMH=90，PMN+AMH=90，HAMPMN，AHMMPN=90，AMMN， RtAHMRt