1、期中考試復習期中考試安排時間：2012年4月5日(下周四) 上午 8:00 9:50地點：仙教2-207 (學號在 11018001 11018135 之間) 仙教2-404 (其他學號)形式：閉卷考試，共計5大題（Chap 1 Chap 6 每章一題）注意事項： 1. 自帶 演算紙 和 一本全新作業(yè)本2. 嚴格遵守考試紀律3. 考試成績占課程總成績的40% (在期末 最終核算，學生、學校相互平衡)4. 考試內(nèi)容包括定積分補充例題，梅林反演公式1第十二條 課程考試成績原則上采取百分制，部分課程經(jīng)批準后方可采取等級分制。必修課程的成績必須包含平時成績、期中成績、期末成績和總評成績，選修課程可僅有

2、總評成 績。教師評定成績時應參照平時作業(yè)、實驗和其它環(huán)節(jié)的情況，并注重學生創(chuàng)新能力表現(xiàn)綜合評定成績。課程考試優(yōu)秀率一般不超過20%。南京大學全日制本科生學分制管理辦法南字發(fā)【2010】21號2、等級分制分為優(yōu)、良、中、及格和不及格。五級評分制記分與百分制記分的換算標準為：優(yōu)100-90，良89-80，中 79-70，及格 69-60，不及格59及59以下。 南京大學本科教學成績管理規(guī)定（試行）南字發(fā)【2010】110號南京大學有關(guān)考試成績的規(guī)定2復變函數(shù)教學大綱的基本要求第一章 復變函數(shù) 基本要求： 1. 理解解析函數(shù)的定義。 2掌握C-R條件與解析函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第二章 復變函數(shù)的積分基

3、本要求： 1.掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及關(guān) 鍵步驟。 2掌握(234)式及(235)式。3第三章 冪級數(shù)展開基本要求： 1. 掌握利用基本公式和有關(guān)冪級數(shù)的公式，把圓域 內(nèi)的解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)的方法。 2. 掌握利用基本公式和有關(guān)冪級數(shù)的公式，把環(huán)域 內(nèi)的解析函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法。 3. 了解孤立奇點的分類。第四章 留數(shù)定理基本要求： 1. 了解留數(shù)的意義。 2. 熟練掌握求留數(shù)的方法。 3. 熟練掌握利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分的方法。4第五章 傅里葉變換基本要求： 1. 掌握周期函數(shù)、有限區(qū)間上的函數(shù)展為傅里葉級數(shù)的方 法，非周期函數(shù)展為傅里葉積分的方法。 2. 掌握傅

4、里葉變換的基本性質(zhì)。 3. 理解 函數(shù)的意義，掌握 函數(shù)的傅里葉變換。第六章 拉普拉斯變換 基本要求： 1. 掌握拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。 2. 掌握拉普拉斯逆變換（反演）的基本方法。以上所列的基本要求為復變函數(shù)論的核心所在，也是期中考試的重點內(nèi)容。 基本要求 + 高等數(shù)學的相關(guān)技能 = 課程的好成績 5第一章 復變函數(shù) 1.1、復數(shù)與復數(shù)運算x: 實部， y: 虛部， i：虛數(shù)單位 i2= -1復數(shù)不能比較大小, 但可判斷是否相等6復數(shù)的幾何意義：一個復數(shù)可用平面上的點表示xyo11Z(x,y)極坐標表示指數(shù)表示復數(shù)的模復數(shù)的輻角7輻角是不定的，需引入輻角主值的概念：無限遠點：整個復平面與一

5、個復球面相對應。復平面的無限遠處對應于復球面的北極 無限遠點復數(shù)的基本運算：加、減、乘、除 （與高中一致）指數(shù)表達式在乘除運算上的優(yōu)勢共軛復數(shù)的概念：幾何意義81.2、復變函數(shù)意義：定義在復平面上的映射，將一個復數(shù)映射到另一個復數(shù)，或?qū)⒁粋€復平面上的點映射到另一個點。zwE常用的復變函數(shù)有多項式函數(shù)、分式有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。許多實變中的公式在復變中均可照常使用可理解為實軸上的公式經(jīng)解析延拓后在整個復平面適用91.3、導數(shù)定義式：導數(shù)存在的前提條件：上式極限值與z0的方式無關(guān)。假定函數(shù)可導，由z= x 0, z= iy 0 可推出：上式稱為柯西黎曼條件（函數(shù)可導的必要條件）2110還

6、可證明：函數(shù)可導的充要條件為 C-R條件 + 偏導數(shù)連續(xù)極坐標下的柯西黎曼條件：與直角坐標比較，相當于11定義：若函數(shù)在點z及其鄰域上處處可導，則函數(shù)在點z解析。解析與可導的區(qū)別：1.4、解析函數(shù)解析一定可導，可導不一定解析。利用C-R條件可證，解析函數(shù)的實部虛部滿足二維拉氏方程。12由于C-R解析函數(shù)的實部與虛部緊密關(guān)聯(lián)，知道了其中的一個，也就知道了另一個，從而知道整個解析函數(shù)。3. 不定積分法2. 湊全微分顯式法1.曲線積分法 xydv = Ady + Bdx = dC(x,y)通過觀察得到與曲線積分法類似，通過C-R條件將分段積分時的積分參數(shù)予以進一步確定。13本節(jié)為1.4節(jié)解析函數(shù)的一

7、個應用。1.5、平面標量場等勢線（標量線）電場線（矢量線）考察的重點在于，如何利用C-R關(guān)系從一種線出發(fā)求得另一種線。注意： 給定 ，并不意味著而是 其中 g 待定。14一個函數(shù)對應著多個函數(shù)值，如根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。1.6、多值函數(shù)支點的概念：繞某個點轉(zhuǎn)一圈，函數(shù)值不復原。割線的概念：從支點出發(fā)延申至無窮遠處的一條線。 在割線上下沿，函數(shù)不連續(xù)。黎曼面的概念：在割線處續(xù)接上若干個復平面，使得在續(xù)接 后的多個復平面上函數(shù)值變得連續(xù)。多值函數(shù)的注意點：1. 主要是用在求實變函數(shù)積分上。2. 在構(gòu)造圍道時，一定要將支點排除在圍道之外。15第二章 復變函數(shù) 2.1、復變函數(shù)的積分A xyo Bz0z

8、nlz1zk-1zkk1定義: 在復平面分段光滑曲線l 上的連續(xù)函數(shù) f(z)的分段求和在段數(shù)為無窮時的極限：復變積分的本質(zhì)為復數(shù)求和16幾個重要性質(zhì)1. 常數(shù)因子可以移到積分號之外2. 函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號4. 全路徑上的積分等于各分段上的積分之和5. 6. 其中M 是|f(z)|在l上的最大值，L 是l 的全長172.2、柯西定理（一）單連通域情形Cauchy 定理 ：如果函數(shù) f(z) 在閉單連通區(qū)域 中單值且解析， 則沿 中任何一個分段光滑的閉合曲線 c (也可以是 的邊界l), 函數(shù)的積分為零。oxylco18（二）復連通域情形Cauchy 定理 ：

9、如果函數(shù) f(z) 在閉復連通區(qū)域 中單值且解析， 則l 為外邊界線， li為內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向。 xy l1l2l3lBo區(qū)域邊界線的正向 - 當觀察者沿著這個方向前進時，區(qū)域總是在觀察者的左邊。19（三）柯西定理的重要推論在閉單連通區(qū)域或復連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)，其路積分值只依賴于起點和終點，而與積分路徑無關(guān)。ADBCBC在不跳孔的情況下可任意改變積分路徑。非閉合路徑積分閉合路徑積分202.3、不定積分根據(jù) Cauchy 定理，若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B上解析， 則沿B上任一分段光滑曲線 l 的積分 只與起點和終點有關(guān)，而與路徑無關(guān)。因此如果固定起點 z0 而變化終點 z,

10、 這個不定積分便定義了一個單值函數(shù) F(z):性質(zhì)：(2) F(z) 在區(qū)域B上是解析的(1) 即 F(z) 是f(z) 的一個原函數(shù)21重要例子：l l l不包含l 包含222.4、柯西公式解析函數(shù)在點z的值與函數(shù)在點z鄰域圍道上的積分緊密相關(guān)。對復連通區(qū)域,上式仍成立，只要將l 理解成所有境界線，且均取正向。l 23Cauchy 積分公式的重要擴展 (任意次可導!)解析函數(shù)不但一次可導，而且任意次可導！注：本章為第三章之基礎(chǔ)，期中考試中無直接關(guān)聯(lián)的試題。24第三章 冪級數(shù)展開 3.1、復數(shù)項級數(shù)1. 定義:復數(shù)項級數(shù)為無窮多個復數(shù)的和。2. 收斂性: 柯西收斂判據(jù)： 0, N() , 當

11、n, n+p N 253. 絕對收斂:為部分和。其中若 收斂則稱級數(shù) 絕對收斂。 級數(shù)絕對收斂 - 級數(shù)收斂 絕對收斂級數(shù)改變先后次序，其和不變。 絕對收斂級數(shù)可寫為若干級數(shù)之和。 兩個絕對收斂級數(shù)逐項相乘，其和收斂，為兩級數(shù)和之積.264. 函數(shù)項級數(shù) (復數(shù)項級數(shù)的拓展)定義：其中每一項均是一單值解析函數(shù)。柯西收斂判據(jù) ： z B, 0, N(,z) 0, 當 n, n+p N, 一致收斂 ： 上式中N一般隨z不同而不同。但若N與z無關(guān)，便稱函數(shù)項級數(shù)在B內(nèi)一致收斂。一致收斂的 M 判別法 ：梁書 P. 34 27一致收斂級數(shù)的性質(zhì)： 極限與求和可交換逐項求積分逐項求導數(shù)283.2、冪級數(shù)

12、一、定義上式叫作以z0為中心的冪級數(shù)。二、冪級數(shù)斂散性1、阿貝爾定理（補充）若冪級數(shù) 在 處收斂，則在閉合圓 內(nèi)，冪級數(shù)絕對且一致收斂。29阿貝爾定理結(jié)論：在展開中心z0為附近，必然存在一個冪級數(shù)的收斂圓，圓的半徑R 稱為收斂半徑。三、收斂半徑的判定比值判別法根式判別法303.3 解析函數(shù)的泰勒（Taylor）級數(shù)展開：一、定理：設(shè) f(z) 在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi) 解析，則對圓內(nèi) 的任意 z 點, f(z) 可展為冪級數(shù)， 為圓CR 內(nèi)包含z且與CR 同心的圓。此定理只是證明了泰勒展開的正確性，在實際中我們往往利用高數(shù)知識進行求解。313.4 解析延拓：意義：通過冪級數(shù)展開的方法，

13、可以將復變函數(shù)的定義域進行擴大。本節(jié)并無任何實際意義。唯一性：可以證明，解析延拓的結(jié)果是唯一的。oxy323.5、解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展開一、雙邊冪級數(shù)收斂環(huán)的概念：定義：正冪部分在 時收斂。負冪部分在 時收斂。若 內(nèi)絕對并一且級數(shù)在 致收斂， 稱為級數(shù)的收斂環(huán)。33二、羅朗展開定理 其中C 是位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向的一閉合曲線。設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任一點z, f(z)可展為冪級數(shù)正冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的正則部分負冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的主部34幾種常用展開方法：三、將環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法與步驟(1) 找出 f (z

14、)的奇點；(2) 以展開中心z0為圓心，按奇點為界將區(qū)域分割為 若干環(huán)（每個環(huán)內(nèi)部無奇點）；(3) 分區(qū)展開 f (z)。1. 直接計算洛朗級數(shù) 最基本但也最不常用3. 利用兩個絕對收斂級數(shù)的乘積。2. 將有理式分解為部分分式，再按 展開。4. 利用逐項求導或逐項積分。353.6、孤立奇點的分類 一、孤立奇點的定義: 若函數(shù) f(z) 在某點 z0 不可導，而在 z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 外處處可導，便稱 z0 為 f(z) 的孤立奇點。二、孤立奇點的分類:正冪部分：解析部分，負冪部分：主要部分1、若展式不含負冪項： z0為f(z)的可去奇點2、若展式含有限個負冪項： z0 為f(z)的極點

15、3、若展式含無限個負冪項： z0 為f(z)的本性奇點36三、函數(shù)在孤立奇點鄰域的特性1、可去奇點：函數(shù)值有限2、極點： 函數(shù)值發(fā)散為無窮大3、本性奇點：函數(shù)值無定義，可為無窮大或任意有限值四、無窮遠點的奇點特性引入自變量代換 z=1/t，則將z = 變換到了t = 0點。設(shè)則 在無窮遠點處的奇點特性由 在零點處的奇點特性所決定。37第四章 留數(shù)定理4.1 留數(shù)定理立奇點 外解析，在閉區(qū)域 上除 一、留數(shù)定理: 設(shè) 在回路 l 所圍區(qū)域 B 上除有限個孤外連續(xù)，則 留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積函數(shù)在回路所圍區(qū)域上各奇點的留數(shù)之和。知道了留數(shù)就知道了積分結(jié)果!在zj處羅朗展式中-1次方項的系數(shù)。

16、注意在處留數(shù)定義有所不同。38二、計算留數(shù)的公式：1、一階極點留數(shù)的計算：設(shè) 是 f(z) 的一階極點因此= 非零有限值特殊情形：若則392、m (m2)階極點留數(shù)的計算：設(shè) z0 是 f(z) 的 m 階極點上式提供了一個求留數(shù)的簡單通用方法，但要運用上式，需提前知道極點階數(shù)m?？捎孟铝蟹椒ㄅ卸ǎ? 非零有限值則有403、奇點留數(shù)計算公式總結(jié)：奇點 b 的類型m 階極點本性奇點一階極點可去奇點普遍公式414.2 應用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分一、求實變定積分的基本思路把需求解的定積分與復變函數(shù)的圍道積分聯(lián)系起來，再利用復變函數(shù)的知識以便得到定積分的解。將實變函數(shù)的積分路徑與復平面上的一段路徑

17、C等同起來。abxxyzazbC42若對應的復變路徑C不構(gòu)成閉合圍道，則補上一段路徑 C使得C+C構(gòu)成一閉合圍道。abxxyCzazbC利用留數(shù)定理求出在C+C上的積分，再利用其它方法求 出在C上的積分(一般為零)，相減后得到問題的答案。434. 常見的類型類型一：其中：(1) R(cosx, sin x) 是 sinx, cosx 的有理式；(2) 積分區(qū)間是 0, 2； (3) 在區(qū)間0, 2內(nèi)，R 無奇點。4402xxyoz平面1解法：令 z=eix, 則積分路徑變成單位圓的圍道積分。因為原積分變成45類型二：其中：(1) 積分區(qū)間是 (-, + );(2) 復變函數(shù) f(z) 在實軸上

18、無奇點，在上半平面除有限 個奇點（b1, b2bn) 外解析；(3) 當 z 在上半平面和實軸上時，一致地 |zf(z)|0；(4) 如果 f(x) 是有理分式， 則分母在實軸無零點，且分母的次數(shù)高于分子次數(shù)至少二次。46-R+RxyCR bkoR解法：補充圍道如圖, 作線積分由留數(shù)定理：當 R, 左邊的第一個積分即未待求項，而第二個積分可證明當 f(z)滿足條件(3)時為零。47類型三：其中: （1）積分區(qū)間 ；(2) 偶函數(shù) F(z) 和奇函數(shù) G(z)在實軸上無奇點，在上半平面除有限個奇點（b1, b2bn) 外解析；(3) 當 z 在上半平面和實軸上 時，F(xiàn)(z), G(z)一致地 0

19、；(4) m0；48解法：注意到-R+RxyCRoR對上式積分路徑補上半圓CR 并利用約旦引理留數(shù)定理可得49類型四：實軸上有單極點的積分 其中：(1) 函數(shù) f(z) 在實軸上有單極點 a，上半平面除有限 個奇點（b1, b2bn) 外解析；(2) 當 z 在上半平面和實軸上時，或一致地 |zf(z)|0；50考慮只有一個單極點a的情況，由于a的存在，對積分路徑做如下變換：CRC-RRO-RRO則有解法：51由約旦引理由洛朗展開因此積分結(jié)果為524.3 計算定積分的補充例題 無萬能公式主要是利用函數(shù)多值性進行解題在構(gòu)造圍道時，應將支點排除在外。53第五章 傅立葉變換5.1 傅立葉級數(shù)一、若函數(shù) f(x)以2l為重復周期，則可展開為54二、狄里希利定理 (2) 在每個周期只有有限個極值點，則級數(shù)（5.1.3）收斂，且當函數(shù) f(x) 滿足條件：(1) 處處連續(xù)，或在每個周期中只有有限個第一類間斷點；則有55三、有限區(qū)間上函數(shù)的Fourier展開在本課程第二部分數(shù)學物理方程中，經(jīng)常需要求解只在某一有限區(qū)間a,b上有定義的函數(shù)f(x)。此類函數(shù)一般受