1、6.2.3組合第1課時組合與組合數(shù)學習目標1.理解組合的定義，正確認識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題導語小明五一到石城旅游，要從4處景點A，B，C，D中選擇2處，上午選1處，下午選1處，有多少種不同的旅游方案？如果僅從4處景點A，B，C，D中選擇2處，又有多少種不同的旅游方案呢？一、組合概念的理解知識梳理組合：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合注意點：(1)組合中取出的元素沒有順序；(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同例1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)a，b，c，d四支足球隊之

2、間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？(3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題(3)3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題(4)3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題反思感悟排列、組合辨析切入點(1)組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m(mn)個不同的元素即可(2)只要兩個組合中的元素完全相同，不管

3、順序如何，這兩個組合就是相同的組合(3)判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關，與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題跟蹤訓練1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生解(1)因為一種火車票與起點、終點順序有關，如甲乙和乙甲的車票是不同的，所以它是排列問題(2)由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題(3)從7本不同的書中，取出5本給某個學生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題二、利用組合數(shù)公式化簡、求

4、值與證明問題組合數(shù)Ceq oal(3,4)與排列數(shù)Aeq oal(3,4)有什么關系？你能求出Ceq oal(3,4)嗎？提示求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)Aeq oal(3,4)，可以分如下兩步：考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有Ceq oal(3,4)個；對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有Aeq oal(3,3)種方法由分步乘法計數(shù)原理得，Aeq oal(3,4)Ceq oal(3,4)Aeq oal(3,3)，所以Ceq oal(3,4)eq f(Aoal(3,4),Aoal(3,3).知識梳理(1)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個

5、數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq oal(m,n)表示(2)組合數(shù)公式：Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)或Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)(n，mN*，且mn)(3)規(guī)定：Ceq oal(0,n)1.注意點：(1)mn，m，nN*；(2)Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)常用于計算；(3)Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)常用于證明角度1利用組合數(shù)化簡、求值例2求值：(1)3Ceq oa

6、l(3,8)2Ceq oal(2,5)；(2)Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n).解(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)3eq f(876,321)2eq f(54,21)148.(2)eq blcrc (avs4alco1(38n3n，,3n21n，)9.5n10.5.nN*，n10，Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n)Ceq oal(28,30)Ceq oal(30,31)eq f(30！,28！2！)eq f(31！,30！)466.角度2利用組合數(shù)證明例3證明：Ceq oal(m,n)eq f(n,nm)Ceq o

7、al(m,n1).證明右邊eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1)eq f(n,nm)eq f(n1！,m！n1m！)eq f(n！,m！nm！)Ceq oal(m,n)左邊所以原式成立反思感悟(1)兩個組合數(shù)公式在使用中的用途有所區(qū)別(2)在解有關組合數(shù)的方程或不等式時，必須注意隱含條件，即Ceq oal(m,n)中的n為正整數(shù)，m為自然數(shù)，且nm.因此求出方程或不等式的解后，要進行檢驗，將不符合的解舍去跟蹤訓練2(1)計算：Ceq oal(4,10)Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)；(2)證明：mCeq oal(m,n)nCeq oal(m1,n1).(1)解原式Ce

8、q oal(4,10)Aeq oal(3,7)eq f(10987,4321)7652102100.(2)證明mCeq oal(m,n)meq f(n！,m！nm！)eq f(nn1！,m1！nm！)neq f(n1！,m1！nm！)nCeq oal(m1,n1).三、簡單的組合問題例4一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人問：(1)這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？(2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？解(1)由于上場學員沒有角色差異，所以可以形

9、成的學員上場方案種數(shù)為Ceq oal(11,17)12376.(2)教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學員中選出11人組成上場小組，共有Ceq oal(11,17)種選法；第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有Ceq oal(1,11)種選法所以教練員做這件事情的方式種數(shù)為Ceq oal(11,17)Ceq oal(1,11)136136.反思感悟解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出的元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關其次要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類與分步時，一定要注意有無

10、重復和遺漏跟蹤訓練3一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球(1)從口袋內取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq oal(3,8)eq f(Aoal(3,8),Aoal(3,3)eq f(876,321)56.(2)從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是Ceq oal(2,7)eq f(Aoal(2,7),Aoal(2,2)eq f(76,21)21.(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7

11、個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq oal(3,7)eq f(Aoal(3,7),Aoal(3,3)eq f(765,321)35.1知識清單：(1)組合與組合數(shù)的定義(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(3)組合數(shù)的計算與證明2方法歸納：公式法3常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”1以下四個命題，屬于組合問題的是()A從3個不同的小球中，取出2個排成一列B老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌C在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地答案C解析從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題2從5名同學中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是()A10B5C4D1答案B解析組合問題，可從對立面考慮，選出一人不參加會議即可，故有5種方法3把三張游園票分給10個人中的3人，分法有()AAeq oal(3,1