1、第七篇檢測(cè)試題(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖與直觀圖1、2、3、16表面積與體積9、18、19點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系4、6平行與垂直11、17、18、21空間向量及其運(yùn)算8、13空間向量在立體幾何中的應(yīng)用10、12、14、15、20、21綜合應(yīng)用5、7、22一、選擇題(每小題5分,共60分)1.一個(gè)簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則下列圖形:長方形;正方形;圓;橢圓.不可能是其俯視圖的有(B)(A)(B)(C)(D)解析:根據(jù)畫三視圖的規(guī)則“長對(duì)正,高平齊,寬相等”可知,該幾何體的俯視圖不可能是圓和正方形.故選B.2.如圖所示為正方體

2、木塊堆成的幾何體的三視圖,則組成此幾何體的正方體木塊共有(B)(A)3塊(B)4塊(C)5塊(D)6塊解析:由三視圖畫出幾何體直觀圖,如圖所示,只有4個(gè)正方體木塊,故選B.3.如圖所示為一平面圖形的直觀圖,則此平面圖形可能是(C) 解析:由直觀圖知平面圖形可能為C.故選C.4.給出下面四個(gè)命題:“直線a直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”;“直線l平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)平面”;“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”;“平面平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”.其中正確命題的序號(hào)是(D)(A)(B)(C)(D)解析:當(dāng)a平行于b所在平

3、面時(shí),a、b可能異面,故不正確;當(dāng)a、b不相交時(shí),可能ab,故不正確;由此可排除選項(xiàng)A、B、C,故選D.5. (2013樂山市高三第三次調(diào)研)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,F為線段BC1的中點(diǎn),E為直線A1C1上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的為(C)(A)存在點(diǎn)E使EFBD1(B)不存在點(diǎn)E使EF平面AB1C1D(C)三棱錐B1ACE的體積為定值(D)EF與AD1所成的角不可能等于90解析:由異面直線的判斷定理知EF和BD1為異面直線,故選項(xiàng)A錯(cuò);當(dāng)EFA1B時(shí),滿足EF平面AB1C1D,故選項(xiàng)B錯(cuò);SACE為定值,而B1到面ACE的距離也為定值,故三棱錐B1ACE的體積為定值,故

4、選項(xiàng)C正確;當(dāng)E與A1重合時(shí),EF與AD1所成的角等于90,故選項(xiàng)D錯(cuò).故選C.6.(2012蚌埠質(zhì)檢)設(shè)m、n是平面內(nèi)的兩條不同直線,l1、l2是平面內(nèi)的兩條相交直線,則的一個(gè)充分而不必要條件是(B)(A)m且l1(B)ml1且nl2(C)m且n(D)m且nl2解析:對(duì)于選項(xiàng)A,、也可能相交,此時(shí),l1、m都平行于交線;對(duì)于選項(xiàng)B,由于l1與l2是相交直線,而且由l1m可得l1,同理可得l2,故可得,充分性成立,而由不一定能得到l1m,它們也可以異面,故必要性不成立,故選項(xiàng)B符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,由于m、n不一定相交,故是必要不充分條件;對(duì)于選項(xiàng)D,由nl2可轉(zhuǎn)化為n,同選項(xiàng)C,故不符合題意

5、,故選B.7.(2012安徽知名省級(jí)示范高中聯(lián)考)在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,過對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于點(diǎn)E,交CC1于點(diǎn)F,得四邊形BFD1E,給出下列結(jié)論:四邊形BFD1E有可能為梯形;四邊形BFD1E有可能為菱形;四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形;平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D;四邊形BFD1E面積的最小值為62.其中正確的是(B)(A)(B)(C)(D)解析:如圖所示,由兩平面平行性質(zhì)定理知D1EBF,D1FBE,故過BD1的平面與正方體各面相交所成四邊形一定為平行四邊形,錯(cuò);當(dāng)E、F分別為AA1、C1C中點(diǎn)時(shí)四邊形為菱形,并且此

6、時(shí)平面BFD1E平面BB1D1D,故、正確; 又四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影與四邊形ABCD重合,則正確,對(duì)于,過E作EHBD1于H,由于AA1平面BB1D1D,則棱AA1上任一點(diǎn)到平面BB1D1D距離相等,當(dāng)四邊形BFD1E為菱形時(shí),EH恰好為E到平面BB1D1D的距離,其余的EH都大于E到平面BB1D1D的距離,而S四邊形BFD1E=BD1EH,所以當(dāng)EH=22時(shí),S四邊形BFD1E最小,此時(shí)面積為62,故正確,故選B.8.(2012金華月考)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a、b、c共面,則實(shí)數(shù)等于(D)(A)627(B)637(C)607

7、(D)657解析:由題意得c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),7=2t-,5=-t+4,=3t-2,t=337,=177,=657,故選D.9.(2013重慶高三月考)四棱錐PABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三視圖如圖所示,則四棱錐PABCD的表面積為(D)(A)(22+1)a2(B)2a2(C)(1+2)a2(D)(2+2)a2解析:由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示,PA平面ABCD,易得CDPD,CBPB,四棱錐PABCD的表面積S表=SABCD+SPAD+SPAB+SPCD+SPBC=a2+12a2+12a2+12a2a+12a2a=(2+2)a2.故選D

8、.10.長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為(B)(A)1010(B)3010(C)21510(D)31010解析:建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(1,0,0),E(0,2,1), B(1,2,0),C1(0,2,2).BC1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1),cos=BC1AE|BC1|AE|=3010.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為3010.故選B.11.三棱錐PABC的高為PH,若三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則H為ABC的(C)(A)內(nèi)心(B)外心(C)垂心(D)重心解析:三個(gè)側(cè)面兩兩垂直得AP平

9、面PBC,故BCPA.又PH平面ABC,BCAH,同理BHAC,CHAB,故H為ABC的垂心. 故選C.12.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為A1B1的中點(diǎn)且正方體的棱長為2,則異面直線D1E和BC1間的距離為(A)(A)263(B)265(C)23(D)12解析:以D1為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則D1E=(2,1,0),C1B=(2,0,2).設(shè)D1E和BC1公垂線的方向向量為n=(1,),則nD1E=0,nC1B=0,即2+=0,2+2=0,=-2,=-1.n=(1,-2,-1).又D1C1=(0,2,0),|D1C1n|n|=46=263,所以異面直線D1E和BC1

10、間的距離為263.故選A.二、填空題(每小題4分,共16分)13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件(c-a)(2b)=-2,則x=.解析:由題可知c-a=(0,0,1-x),所以(c-a)(2b)=(0,0,1-x)2(1,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:214.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面的法向量a=(x,y,z),則xyz=.解析:AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,aAB=0,aAC=0,易得x=23y,z=-43y,xyz=23yy-43y=23(-4).答案:23(

11、-4)15.(2012金華模擬)P是二面角AB棱上的一點(diǎn),分別在、平面上引射線PM、PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角AB的大小為.解析:不妨設(shè)PM=a,PN=b,如圖所示,作MEAB于E,NFAB于F,EPM=FPN=45,PE=22a,PF=22b,EMFN=(PM-PE)(PN-PF)=PMPN-PMPF-PEPN+PEPF=abcos 60-a22bcos 45-22abcos 45+22a22b=ab2-ab2-ab2+ab2=0,EMFN,二面角AB的大小為90.答案:9016.(2012海淀區(qū)高三第一學(xué)期期末)已知正三棱柱ABCABC的正視圖和側(cè)視圖如圖所示

12、. 設(shè)ABC、ABC的中心分別是O、O,現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO旋轉(zhuǎn),射線OA旋轉(zhuǎn)所成的角為x弧度(x可以取到任意一個(gè)實(shí)數(shù)),對(duì)應(yīng)的俯視圖的面積為S(x),則函數(shù)S(x)的最大值為.解析:正三棱柱ABCABC的直觀圖如圖所示.由正視圖知正三角形ABC的高為3,邊長為2.三棱柱三個(gè)側(cè)面為全等的矩形,其面積為42=8.三棱柱繞直線OO每旋轉(zhuǎn)60,三棱柱的某一側(cè)面處于水平位置,俯視圖為某一側(cè)面,此時(shí)S(x)取到最大值為8.答案:8三、解答題(共74分)17.(本小題滿分12分)(2012杭州模擬)如圖所示,梯形ABCD和正PAB所在平面互相垂直,其中ABDC,AD=CD=12AB,且O為AB的中點(diǎn).

13、(1)求證:BC平面POD;(2)求證:ACPD.證明:(1)因?yàn)镺為AB的中點(diǎn),所以BO=12AB,又ABCD,CD=12AB,所以CD=BO,CDBO,所以四邊形ODCB為平行四邊形,所以BCOD,又DO平面POD,BC平面POD,所以BC平面POD.(2)連接OC.因?yàn)镃D=BO=AO,CDAO,所以四邊形ADCO為平行四邊形,又AD=CD,所以四邊形ADCO為菱形,所以ACDO,因?yàn)镻AB為正三角形,O為AB的中點(diǎn),所以POAB,又因?yàn)槠矫鍭BCD平面PAB,平面ABCD平面PAB=AB,所以PO平面ABCD,而AC平面ABCD,所以POAC,又PODO=O,所以AC平面POD.又PD

14、平面POD,所以ACPD.18.(本小題滿分12分)(2013綿陽南山中學(xué)高三月考)在幾何體ABCDE中,BAC=2,DC平面ABC,EB平面ABC,AB=AC=BE=2,CD=1. (1)設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線l,求證:l平面BCDE;(2)設(shè)F是BC的中點(diǎn),求證:平面AFD平面AFE;(3)求幾何體ABCDE的體積.(1)證明:DC平面ACB,BE平面ABC,DCBE.BE平面ABE,DC平面ABE,DC平面ABE.平面ACD平面ABE=l,DC平面ACD,DCl.DC平面BCDE,l平面BCDE,l平面BCDE.(2)證明:過D點(diǎn)作DGBE,AC=AB=2,CF=FB,CA

15、B=90,AFBC,CF=FB=AF=12BC=2.DC平面ACB,DC平面BCDE,平面BCDE平面ABC,AF平面BCDE,DFAF,EFAF,EFD是二面角DAFE的平面角.DC=1,CF=2,DF=3.BF=2,BE=2,EF=6.DG=BC=22,EG=BE-DC=1,DE=3,DF2+EF2=DE2,DFE=90,平面AFD平面AFE.(3)解:VABCDE=1312(1+2)222=2.19.(本小題滿分12分)如圖所示,在體積為1的三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,ACAB,AC=AA1=1,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn). (1)求證:CA1C1P;(2)線段AB上是否

16、存在一點(diǎn)P,使四面體PAB1C1的體積為16?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明:由于易知四邊形ACC1A1為正方形,所以CA1AC1.由ACAB,AA1底面ABC知AB平面AA1C1C,所以CA1AB.又ABAC1=A,所以CA1平面C1AP,故CA1C1P.(2)解:由于VBAB1C1=VABCA1B1C1-VC1AA1B1-VBACC1=1-13-13=13,所以當(dāng)PAB1C1的體積為16時(shí),P為AB的中點(diǎn).20.(本小題滿分12分)(2013綿陽普明中學(xué)高三模擬)如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的2倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn). (1

17、)求證:ACSD;(2)若SD平面PAC,求二面角PACD的大小;(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,試說明理由.(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于O,由題意知SO平面ABCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OS分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為a,則高SO=62a.于是S0,0,62a,D-22a,0,0,C0,22a,0,OC=0,22a,0,SD=-22a,0,-62a,OCSD=0,故OCSD,從而ACSD.(2)解:由題設(shè)知,平面PAC的一個(gè)法向量為DS=22a,0,62a,平面DAC的

18、一個(gè)法向量為OS=0,0,62a,則cos=OSDS|OS|DS|=32,故所求二面角的大小為30.(3)解:在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE平面PAC.由(2)知DS是平面PAC的一個(gè)法向量,且DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a,設(shè)CE=tCS(0t1),BE=BC+CE=BC+tCS=-22a,22a(1-t),62at,而BEDS=0t=13,即當(dāng)SEEC=21時(shí),BE平面PAC.21.(本小題滿分12分)(2013成都外國語學(xué)校高三月考)如圖所示,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ACD=90,EAC=60,AB=AC=AE. (1)在直線BC上是否存

19、在一點(diǎn)P,使得DP平面EAB?請(qǐng)證明你的結(jié)論;(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.解:(1)線段BC的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P.證明如下:取AB的中點(diǎn)F,連接DP、PF、EF,則FPAC,FP=12AC,取AC的中點(diǎn)M,連接EM、EC,AE=AC且EAC=60,EAC是正三角形,EMAC.四邊形EMCD為矩形,ED=MC=12AC.又EDAC,EDFP且ED=FP,四邊形EFPD是平行四邊形.DPEF,而EF平面EAB,DP平面EAB,DP平面EAB.(2)法一過B作AC的平行線l,過C作l的垂線交l于G,連接DG,EDAC,EDl,l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱.平

20、面EAC平面ABC,DCAC,DC平面ABC,又l平面ABC,DCl,而CGDC=C,l平面DGC,lDG,DGC是所求二面角的平面角.設(shè)AB=AC=AE=2a,則CD=3a,GC=2a,GD=GC2+CD2=7a,cos =cosDGC=GCGD=277.法二BAC=90,平面EACD平面ABC,以點(diǎn)A為原點(diǎn),直線AB為x軸,直線AC為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則z軸在平面EACD內(nèi)(如圖所示).設(shè)AB=AC=AE=2a,由已知得B(2a,0,0),E(0,a,3a),D(0,2a,3a).EB=(2a,-a,-3a),ED=(0,a,0),設(shè)平面EBD的法向量為n=(x,y,z),則nEB且nED,nEB=0,nED=0,2ax-ay-3az=0,ay=0,解之得x=32