1、量子力學(xué)初步設(shè)描述微觀粒子運(yùn)動的波函數(shù)為5(r,t),則乎乎*表示；+G,t)須滿足的條件是其歸一化條件是將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時增大D倍，則粒子在空間的分布概率將.(填入：增大D2倍、增大2D倍、增大D 倍或不變)粒子在一維無限深方勢阱中運(yùn)動(勢阱寬度為)，其波函數(shù)為(x)= ：2sin3x(0 x h可得光子的x坐標(biāo)的不確定量至少為粒子做一維運(yùn)動，其波函數(shù)為x0 x 0，粒子出現(xiàn)的概率最大的位置為x =.量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)是指這種效應(yīng)是微觀粒子的表現(xiàn).一維無限深方勢阱中，已知勢阱寬度為a，應(yīng)用測不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)勢阱中質(zhì)量為m的粒子的零點(diǎn)能量為.按照普朗克能量子假說，頻率為v的諧振子的能量

2、只能為；而從量子力學(xué)得出，諧振子的能量只能為.頻率為V的一維線性諧振子的量子力學(xué) 解，其能量由下式給 出： ，其中最低的量子態(tài)能量為，稱為“零點(diǎn) 能”.根據(jù)量子力學(xué)，粒子能透入勢能大于其總能量的勢壘，當(dāng)勢壘加寬時， 貫穿系數(shù)；當(dāng)勢壘變高時，貫穿系數(shù). （填入：變大、變小或不變）寫出以下算符表達(dá)式：p = ; H = ； x 八L =.y與p的對易關(guān)系院,p 等于.xx試求出一維無限深方勢阱中粒子運(yùn)動的波函數(shù)（ Q= A sin 嗎（n = 1,2,3，） na的歸一化形式.式中為勢阱寬度.利用不確定關(guān)系式XAp h，估算在直徑為d = 10-14 m的核內(nèi)的質(zhì)子最小動能的數(shù)量級.（質(zhì)子的質(zhì)量

3、m =1.67x10-27 kg，普朗克常量 h=6.63x10-34 Js）已知粒子處于寬度為的一維無限深方勢阱中運(yùn)動的波函數(shù)為+ （ ）= 1 sin n, n = 1,2,3，n a a a試計(jì)算n =1時，在 1=a/4 一 2=3a/4區(qū)間找到粒子的概率.一維無限深方勢阱中的粒子，其波函數(shù)在邊界處為零，這種定態(tài)物質(zhì)波 相當(dāng)于兩段固定的弦中的駐波，因而勢阱的寬度a必須等于德布羅意波半波 長的整數(shù)倍。試?yán)眠@一條件求出能量量子化公式n 8ma2一彈簧振子，振子質(zhì)量m = 10-3kg，彈簧的勁度系數(shù)km =10 Nm-1.設(shè)它作簡諧振動的能量等于kT（k為玻爾茲曼常量），T=300 K.

4、試按量子力學(xué)結(jié)果計(jì)算此振子的量子數(shù)小 并說明在此情況下振子的能量實(shí)際上可以看作是 連續(xù)變化的.(k=1.38x10-23 J.K-i，h =6.63x10-34Js)一粒子被限制在相距為l的兩個不可穿透的壁之間，如圖所示.描寫粒子1狀態(tài)的波函數(shù)為*=cx(l - x),其中c為待定常量.求在011區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒 3子的概率.威爾遜云室是一個充滿過飽和蒸汽的容器。射入的高速電子使氣體分子 或原子電離成離子。以離子為中心過飽和蒸汽凝結(jié)成小液滴，在強(qiáng)光照射下， 可看到一條白亮的帶狀痕跡，即粒子的軌跡。徑跡的線度是10-4cm,云室中 的電子動能等于108 eV。討論威爾遜云室中的電子是否可以看成經(jīng)典粒

5、子？粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動，其波函數(shù)為(x)=、f2 sin 吧x,(0 x a)n a a I a )(x)= 0,(x a )試計(jì)算動量和動能的平均值.22.諧振子的歸一化的波函數(shù)為V(x)= , Uu (x) + Uu (x) + cu (x)。其中， 3 02 2、/3、/u (x)是歸一化的諧振子的定態(tài)波函數(shù)。求：c和能量的可能取值，以及平均 n能量E。23.氫原子的直徑約10-10 m,求原子中電子速度的不確定量。按照經(jīng)典力學(xué)，認(rèn)為電子圍繞原子核做圓周運(yùn)動，它的速度是多少？結(jié)果說明什么問題？答案1.粒子在t時刻在（羽y, z）處出現(xiàn)的概率密度單值、有限、連續(xù)川 , 12dx d

6、y dz = 12.不變3.a/6, a/2, 5 a /64.1.06x10-24 (或 6.63x10-24 或 0.53x10-24 或 3.32x10-24)參考解:11根據(jù)AyAp h(或AyAp h或AyAp h或AyAp h)，可得以上答yyy 2y 25.250 cm6.1九7.微觀粒子能量E小于勢壘U0時，粒子有一定的幾率貫穿勢壘的現(xiàn)象波動性8.h 22 ma 29.nhv( n =1, 2,)(n=0,1, 2,)10.(n=0, 1, 2,)1% h211.變小變小12. -ih d.xh2-V2 + U 2m13.訪.解：所謂歸一化就是讓找到粒子的概率在可能找到的所有區(qū)

7、域內(nèi)進(jìn)行積分，并使之等于100%,即f+*G G L = i一g這里，我們的問題是要f A2sin2x dx 1a0口口I , , / _ P 1_, T即a渲/（無j義,ma/ a 1所以A = y 2/ a于是，得到歸一化的波函數(shù) (x)= h得Ap h / Ax = h / dAp最小值為h /d時，px的最小值（數(shù)量級）也為h/d，應(yīng)用動能與動量的經(jīng)典關(guān)系EK = p 2/(2 m)k -3 121 0 J即E . = p2/ (2 m = h / (m d ).解：找到粒子的概率為3442 .兀x sin2 dxaaa/4=-(-+1) 1 + - = 0.818 兀22 兀17.解

8、：據(jù)已知條件 a = n九/2又據(jù)德布羅意公式 九-h/mu得mu = h /11無限深勢阱中粒子的能量為E = 1 mu 22由、式解得2 mE = h 2/九 2以代入得2mE =生nn 4a2所以h2n 28ma218.解：按量子力學(xué)中的線性諧振子能級公式可得kT 1n = h2兀kTh：k /mm m1x 3.92 x 10112相鄰能級間隔 h = 1.055 x 10一 32J此能量間隔與振子能量kT比較，h 11X -=kT n 3.92 x 1011實(shí)在太小了，因此振子的能量可以看作是連續(xù)改變的. 解：由波函數(shù)的性質(zhì)得即J c2 x2( 1- x)2 d=x 10由此解得c2

9、= 3 0 /l5 c J丁01/ l/1設(shè)在03/區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)該粒子的概率為尸，則l/3P = J,1(317p |2dx = J 30 x2( 1 -x)2/15dx = 81 0.解：Ax x 10-4 cm，卜=108 eV電子的平均動量為:p=x 1.8 x 10-23 kg. m/sAP =x 10-28 kg. m/s p2Ax可見，在威爾遜云室中，電子坐標(biāo)和動量的取值基本上可以認(rèn)為是確定的，可以使用軌道的概念.解：動量算符為p二一%色xd.x故，動量的平均值為=fv *(x)p V (x)dx = fv * (x)S)T力本卜(x)dxn.2%a .(河x =T J Sin a

10、I aSsinSx(等)dxf sincosdx = 0動能算符為p 2 _力 2 S 2x-=-2 m2 m Sx 2故，T = fv * (x)Tv (x)dx = fv * (x)nnV (x)dx 二 Xn2 ma 222.解：由歸一化條件得:2 一 斤+ |c|2 = 1 解得：c = 6-根據(jù)諧振子波函數(shù)的表達(dá)式，可知能量E的可能值為：E0、E2、E3(1、一 因?yàn)椋?E = n+ h n V 2 J1 ,5,7,所以:E hv ； E hv ； E hvE .1 hv + 20 22 23 2則:23.解：由不確定關(guān)系A(chǔ)pAx mAvAx 方/2估計(jì)，有=0.6 x 106 m/s力 _1.05 X 10-342 m Ax _ 2 x 9.1 x 10-31 x 10-