1、 第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 一、函數(shù)的連續(xù)性 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 三、函數(shù)的間斷點(diǎn) 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)精選ppt 一、函數(shù)的連續(xù)性 如同體溫的升降、血液的流動(dòng)、機(jī)體的成長(zhǎng)等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的。函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映。 連續(xù)變化的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)0 xy精選ppt 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 附近有定義,把 附近的點(diǎn) 記為 ,則稱 為自變量由 變到 的增量 ( increment )。為函數(shù)在點(diǎn) 的增量.精選ppt 定義1-14 設(shè)函數(shù) y=f (x) 在點(diǎn) x0 及其某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量 x= x- x0 趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的

2、函數(shù)的增量 y= f ( x0+ x ) - f ( x0 )也趨向于零，即 則稱函數(shù) y=f (x) 在點(diǎn) x0 處是連續(xù)的(continuous)，稱x0是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)(continuous point)。注意故定義中1-14極限式等價(jià)于精選ppt 定義1-15 設(shè)函數(shù) y=f (x) 在點(diǎn) x0 及其某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù) f (x) 當(dāng) xx0 時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn) x0 處的函數(shù)值 f ( x0 ) ，即 則稱函數(shù) y=f (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)。 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a x b 內(nèi)有定義，如果左極限 存在且等于f (b)，即則稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn) b 處左連

3、續(xù)。 精選ppt 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a x b 內(nèi)有定義，如果右極限 存在且等于f (a)，即則稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn) a 處右連續(xù)。顯然即：精選ppt 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 若函數(shù)在開區(qū)間（a , b）內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間（a , b）內(nèi)連續(xù)。 如果函數(shù)在開區(qū)間（a , b）內(nèi)連續(xù)，且在端點(diǎn) a 處右連續(xù)，在端點(diǎn) b 處左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間 a , b上連續(xù)。 連續(xù)函數(shù)( continuousfunction )的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。精選ppt 例1-32 討論函數(shù) 在 x=0 處的連續(xù)性。 解 顯然 f (x) 在 x=0 處有定義，且 f (0)=0

4、 （無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮?。?，從而 ，所以 f (x) 在 x=0 處連續(xù)。 精選ppt二、初等函數(shù)的連續(xù)性例1-33證明精選ppt 定理1-6 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。 定理1-7 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。 求初等函數(shù)當(dāng) xx0 時(shí)的極限：如果 x0 是初等函數(shù) f (x) 定義域內(nèi)的點(diǎn)，則 例如 有理整函數(shù)（即多項(xiàng)式函數(shù)）（其中 都是常數(shù)）是初等函數(shù)，其定義域?yàn)闊o窮區(qū)間（，+），則對(duì)任意的 x0 ，有精選ppt 例如 有理分式函數(shù)其中 P (x) , Q (x) 都是多項(xiàng)式，只要 x0 使得分母 Q ( x0 ) 0 , x0 就是初等函數(shù) F (x) 定義

5、域內(nèi)的點(diǎn)，就可以把 x0 直接代入分母及分子計(jì)算 例1-34 求 解 精選ppt 例1-35 求 解 在 x=0 處沒有定義，不能把 0 直接代入計(jì)算。先用有理化的方法把分式改寫成從而精選ppt 定理1-8 設(shè)函數(shù) u=g (x) 當(dāng) xx0 時(shí)的極限存在且等于a ，即 。而函數(shù) y = f (u) 在點(diǎn) u=a 處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) y = f g (x) 當(dāng) xx0 時(shí)的極限存在且等于f (a)，即 證明 定理?xiàng)l件中的函數(shù) y = f (u) 在點(diǎn) u=a 處連續(xù)，從而有再考慮到 ，于是有 或所以 精選ppt 在滿足定理 1-8 條件的情形下，求復(fù)合函數(shù) f g (x) 的極限時(shí)： （1）

6、函數(shù) f 符號(hào)與極限號(hào) lim 可以交換次序； （2）如果作代換 u=g (x)，那么求就化為計(jì)算 ，這里 例1-36 求 解 x=0 不是定義域內(nèi)的點(diǎn)。精選ppt 三、函數(shù)的間斷點(diǎn) 如果函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處不連續(xù)，則稱點(diǎn) x0 為函數(shù) y=f (x) 的間斷點(diǎn)(discontinuous point)。即滿足下列三個(gè)條件之一的點(diǎn) x0 為函數(shù) f (x)間斷點(diǎn)精選ppt 例1-37 函數(shù)在 在 x=1 處沒有定義, 因此 x=1 為函數(shù) 的間斷點(diǎn)。但即 x1 時(shí)函數(shù)的極限存在，稱 x=1 為函數(shù) 的可去間斷點(diǎn)。xy12o精選ppt 例1-38 函數(shù)在 x=0 處有定義，f (0)

7、=0。 左極限與右極限都存在，但不相等，故極限 不存在，所以 x=0 是 f (x) 的間斷點(diǎn)。因?yàn)楹瘮?shù) y=f (x)的圖形在 x=0 處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，故稱是函數(shù) f (x) 的跳躍型間斷點(diǎn)。xyoy =x+1y =x+11-1精選ppt 例1-39 在 x=0 處有定義：f (0)=1。而 ，即 x0 時(shí)函數(shù)的極限不存在但不等于x=0 處的函數(shù)值 f (0)。所以 x=0 是函數(shù) f (x) 的間斷點(diǎn)。也稱為可去間斷點(diǎn)。xyoy =x 例1-40 正切函數(shù) y=tan x 在 x=/2 處沒有定義，所以點(diǎn) x=/2 是正切函數(shù)的間斷點(diǎn)。因?yàn)?，故稱 x=/2 為正切函數(shù) tan x 的無窮

8、型間斷點(diǎn)。 精選ppt 例1-41 函數(shù) 在 x=0 時(shí)沒有定義，所以 x=0為函數(shù)的間斷點(diǎn)。當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù)值在 -1 與 +1 之間來回變動(dòng)。所以點(diǎn) x=0 叫做函數(shù) 的振蕩型間斷點(diǎn)。 1-1-0.50.5yx精選ppt 間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。 左、右極限不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)； 左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)。 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。 不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，都稱為第二類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型。第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型。間斷點(diǎn)精選ppt可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx精選ppt 四、閉區(qū)

9、間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理1-9 （最大值和最小值定理） 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。 推論1-5 （有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。ab精選ppt 定理1-10 （介值定理）設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a , b上連續(xù)，且在這區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 f (a)=A , f (b)=B , AB 。則對(duì)于 A 與 B 之間的任意一個(gè)數(shù) C ，在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 f ()= C 。 幾何意義：連續(xù)曲線 y=f (x) 與水平直線 y= C 至少相交于一點(diǎn)。oyxa123bACBy =f (x)精選ppt 零點(diǎn)定理：如果 f (a

10、) 與 f (b) 異號(hào) ( f (a) f (b) 0 , f (1)= -2 0 , 由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 f ( )=0 ，即 f ( )= 3 - 4 2 + 1=0 。 所以方程 x3 - 4x2 + 1=0 在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。 精選ppt 例1-43 設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)，且 f (a) b 。證明在開區(qū)間（a , b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 f ( )= 。 證明 構(gòu)造函數(shù) F (x)= f (x) - x ，則 F (x) 在 a , b 上連續(xù)。 又因?yàn)镕 (a)= f (a) a 0 , 由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得F ( )= f ( ) = 0 ，即 f ( ) = 。精選ppt內(nèi)容小結(jié)：左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式精選ppt基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)精選ppt在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.