1、第一章- PAGE 8 -第一章 函數(shù)(hnsh)與極限章主要內(nèi)容(nirng)小結(jié)一、函數(shù)(hnsh)1、函數(shù)的概念定義：設(shè)，函數(shù)為特殊的映射：，其中，為定義域，為值域，圖形C： （一般為平面曲線），決定函數(shù)的因素是定義域與對應(yīng)法則。2、函數(shù)的特性：單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。3、設(shè)函數(shù)為單射，反函數(shù)為其逆映射 。 4、復(fù)合函數(shù)：給定函數(shù)鏈，則復(fù)合函數(shù)為 。5、初等函數(shù)：常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合而成的能用一個式子表示的函數(shù)。 極限1、極限定義的等價(jià)形式（以為例）（即為無窮?。?，有。2、極限存在準(zhǔn)則及極限的運(yùn)算法則極限存在準(zhǔn)則：（1）夾逼準(zhǔn)則（用于證明一些不能直接求出的數(shù)列

2、與函數(shù)的極限，關(guān)鍵是將函數(shù)放縮，使放大與縮小后的函數(shù)極限值相同，進(jìn)而夾在中間的函數(shù)的極限值也是同一個值）；（2）單調(diào)有界數(shù)列必有極限（可用于判定數(shù)列極限的存在性，但求不出極限值）。極限的運(yùn)算法則：（略）3、無窮大與無窮小無窮大與無窮小的定義與關(guān)系，無窮小的性質(zhì)，無窮小的階的比較（高階、低階、同階、等價(jià)）。常用等價(jià)無窮?。寒?dāng)時(shí)，有下列等價(jià)替換：4、兩個(lin )重要極限：；或。5、求極限的基本(jbn)方法：利用定義(dngy)求極限；利用運(yùn)算法則求極限；利用極限存在準(zhǔn)則求極限；利用重要極限求極限；利用等價(jià)無窮小的替換定理求極限；利用連續(xù)函數(shù)求極限。在求極限時(shí)，需將初等運(yùn)算（有理化、三角恒等變

3、形等）與上述方法交叉使用。6、判斷極限不存在的方法：無界函數(shù)；左右極限不相等；取兩個子數(shù)列其極限值不相等；取一個子數(shù)列極限值不存在。三、連續(xù)與間斷1、函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式：，使當(dāng)時(shí)，有判定函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性可選用上述一種形式。2、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)要求滿足：有定義；存在；上述三條若有一條不滿足，則點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)。根據(jù)不滿足的情況可將間斷點(diǎn)分類如下：函數(shù)間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)可能會出現(xiàn)在分段函數(shù)的分段點(diǎn)上、函數(shù)無意義的邊界點(diǎn)上。對分段點(diǎn)，若以大于、等于、小于來分段，則需討論左右極限與函數(shù)值及其關(guān)系；若以等于、不等于來分段，只需討論極限值與函數(shù)值及其關(guān)系。3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界定理、最值定理、介值

4、定理、零點(diǎn)定理。這里的性質(zhì)一定要滿足閉區(qū)間與連續(xù)函數(shù)兩個條件。本部分的重點(diǎn)是介值定理與零點(diǎn)定理，會做圍繞介值定理與零點(diǎn)定理的證明題。舉例例1 設(shè)函數(shù) ，求解：本問題是關(guān)于分段函數(shù)的復(fù)合，要求熟悉分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)。 例2 設(shè)，其中，求。解：本例是求函數(shù)值的問題，一般有配方法與換元法，此處采用的是換元法。 令 ，則，代入原方程(fngchng)得，即， 令，則，代入上式得，即 ，聯(lián)立畫線三式(sn sh)得：。例3 求下列(xili)極限（1）； （2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）（2000年考研題）（8）； （9）。解：本部分求極限用到三角函數(shù)的運(yùn)算公式、變量代換、分式有理化

5、、代數(shù)式的化簡等初等運(yùn)算，并利用極限的運(yùn)算法則、極限存在準(zhǔn)則、重要極限及無窮小的等價(jià)替換等方法。（1）所以。（2）。（3）。（4）。（5）（6）因?yàn)?yn wi)所以(suy)又，故。（7）解：，所以(suy)原式=1。（8）解：對極限，令則，由夾逼準(zhǔn)則得（9）解：=。例4 確定常數(shù)，使。解：原式，即，故，即， 例5 當(dāng)時(shí)，是的幾階無窮??？解：設(shè)其為的階無窮小，則因?yàn)?yn wi)，即。例6 設(shè)，證明(zhngmng)數(shù)列的極限(jxin)存在，并求此極限（2002年考研題）。證明：本類型的題需證明數(shù)列單調(diào)有界，先證明有界性，有，且設(shè)，則，故數(shù)列有上界且恒正，下證的單調(diào)性，可用差值法或比值法，

6、差值法：，數(shù)列單增，比值法：，數(shù)列單增，綜上數(shù)列單調(diào)遞增有上界，必有極限，設(shè)，則，解得,（舍去），故。例7 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，則 ， 。解：，故，即。例8 求的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。解：，所以為第一類可去間斷點(diǎn)，所以為第二類無窮間斷點(diǎn)，所以(suy)為第一類跳躍(tioyu)間斷點(diǎn)。例9 設(shè)函數(shù)(hnsh)有無窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)，試確定常數(shù)及。解：因?yàn)闉闊o窮間斷點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榭扇ラg斷點(diǎn)，所以極限存在，。例10 討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。解：此類題目需先求函數(shù)的表達(dá)式，為第一類跳躍間斷點(diǎn)，函數(shù)除外處處連續(xù)。例11 設(shè)，求。解：當(dāng)時(shí)，而，故，由等價(jià)替換定理有當(dāng)時(shí)，。例12 證明方程

7、至少有一個不超過的正根。證明：令，則在上連續(xù)，且，由知，若，則由得，故是方程的根；若，則由零點(diǎn)定理，至少存在(cnzi)一點(diǎn)，使，故是方程(fngchng)的根；縱上可知(k zh)，方程至少有一個不超過的正根。例13 設(shè)定義在區(qū)間上，且對任意實(shí)數(shù)有，若在連續(xù)，證明對任意都連續(xù)。證明：。例14 若在內(nèi)連續(xù)，存在，則必在內(nèi)有界。證明：令，則給定，當(dāng)時(shí)，有，又，由有界性定理，對有，令，則對有。例15 設(shè)在上連續(xù)，且，證明在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。證明：令，則在上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即。內(nèi)容總結(jié)（1）第一章 函數(shù)與極限章主要內(nèi)容小結(jié)一、函數(shù)1、函數(shù)的概念定義：設(shè)，函數(shù)為特殊的映射：，其中，為定義域，為值域，圖形C： （一般為平面曲線），決定函數(shù)的因