1、第8章 MATLAB 的符號(hào)計(jì)算功能 MATLAB R2007基礎(chǔ)教程 清華大學(xué)出版社教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容7/19/20221教學(xué)目標(biāo)掌握基本符號(hào)運(yùn)算掌握符號(hào)函數(shù)圖形繪制掌握符號(hào)微積分的運(yùn)算掌握符號(hào)線性代數(shù)掌握符號(hào)方程的求解方法掌握符號(hào)積分變換了解 Maple 函數(shù)的調(diào)用方法了解符號(hào)函數(shù)計(jì)算器的使用 7/19/20222教學(xué)重點(diǎn)符號(hào)函數(shù)圖形繪制符號(hào)微積分的運(yùn)算符號(hào)線性代數(shù)符號(hào)方程的求解方法符號(hào)積分變換7/19/20223教學(xué)內(nèi)容符號(hào)運(yùn)算簡(jiǎn)介 符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)與替換 符號(hào)函數(shù)圖形繪制 符號(hào)微積分 符號(hào)線性代數(shù) 符號(hào)方程的求解 符號(hào)積分變換 MAPLE 函數(shù)的調(diào)用 符號(hào)函數(shù)計(jì)算器 7/19/2

2、0224符號(hào)運(yùn)算簡(jiǎn)介 符號(hào)對(duì)象 符號(hào)變量、表達(dá)式的生成 findsym 函數(shù)和 subs 函數(shù) 符號(hào)和數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化 任意精度的計(jì)算 創(chuàng)建符號(hào)方程 7/19/20225符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象是符號(hào)工具箱中定義的另一種數(shù)據(jù)類型。符號(hào)對(duì)象是符號(hào)的字符串表示。在符號(hào)工具箱中符號(hào)對(duì)象用于表示符號(hào)變量、表達(dá)式和方程。下例說(shuō)明了符號(hào)對(duì)象和普通的數(shù)據(jù)對(duì)象之間的差別。例 7-1 符號(hào)對(duì)象和普通數(shù)據(jù)對(duì)象之間的差別在命令窗口中輸入如下命令 sqrt(2)ans = 1.4142 x=sqrt(sym(2)x =2(1/2) 返回?cái)?shù)值結(jié)果返回符號(hào)結(jié)果7/19/20226由上例可以看出，當(dāng)采用符號(hào)運(yùn)算時(shí)，并不計(jì)算出表達(dá)式的

3、結(jié)果，而是給出符號(hào)表達(dá)。如果可以查看符號(hào) x 所表示的值，在窗口中輸入： double(x)ans = 1.4142另外，對(duì)符號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算與對(duì)數(shù)值進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算并不相同，看下面的例子例 7-2 符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值運(yùn)算之間的差別 sym(2)/sym(5)ans =2/57/19/20227兩個(gè)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果為分?jǐn)?shù)形式。繼續(xù)輸入： 2/5 + 1/3ans = 0.7333 sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)ans =11/15 double(sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)ans = 0.7333由上例看出，當(dāng)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，得到的結(jié)果為

4、double 型數(shù)據(jù)，采用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，輸出的結(jié)果為分?jǐn)?shù)形式。7/19/20228符號(hào)變量、表達(dá)式的生成 MATLAB 中有兩個(gè)函數(shù)用于符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式的生成，這兩個(gè)函數(shù)為 sym 和syms，分別用于生成一個(gè)或多個(gè)符號(hào)對(duì)象。1. sym 函數(shù)sym 函數(shù)可以用于生成單個(gè)的符號(hào)變量。在上面一節(jié)中已經(jīng)初步涉及了 sym 函數(shù)，本節(jié)將要詳細(xì)介紹該函數(shù)。該函數(shù)的調(diào)用格式為：S = sym(A)，如果參數(shù) A 為字符串，則返回的結(jié)果為一個(gè)符號(hào)變量或者一個(gè)符號(hào)數(shù)值；如果 A 是一個(gè)數(shù)字或矩陣，則返回結(jié)果為該參數(shù)的符號(hào)表示。x = sym(x)，該命令創(chuàng)建一個(gè)符號(hào)變量，該變量的內(nèi)容為 x，表達(dá)為 x

5、。x = sym(x,real)，指定符號(hào)變量 x 為實(shí)數(shù)。x = sym(x,unreal)，指定 x 為一個(gè)純粹的變量，而不具有其他屬性。S = sym(A,flag)，其中 參數(shù) flag 可以為 r, d, e, 或者 f 中的一個(gè)。該函數(shù)將數(shù)值標(biāo)量或者矩陣轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式，該函數(shù)的第二個(gè)參數(shù)用于指定浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化的方法，該函數(shù)各個(gè)取值的意義如表所示。參數(shù)說(shuō)明r有理數(shù)d十進(jìn)制數(shù)e估計(jì)誤差f浮點(diǎn)數(shù)，將數(shù)值表示為 1.F*2(e) 或者 -1.F*2(e) 的格式，其中 F 為13 位十六進(jìn)制數(shù)，e 為整數(shù)7/19/20229創(chuàng)建復(fù)數(shù)符號(hào)變量MATLAB 中一種特殊的符號(hào)表達(dá)式為復(fù)數(shù)，創(chuàng)建復(fù)數(shù)符

6、號(hào)變量可以有兩種方法：直接創(chuàng)建法間接創(chuàng)建法7/19/202210findsym 函數(shù)findsym 函數(shù)該函數(shù)用于確定一個(gè)表達(dá)式中的符號(hào)變量。在上面的例子中，表達(dá)式 f 中包含有四個(gè)符號(hào)變量，表達(dá)式 g 中包含有 1 個(gè)符號(hào)變量，其他變量為普通變量。findsym 函數(shù)通常由系統(tǒng)自動(dòng)調(diào)用，在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，系統(tǒng)調(diào)用該函數(shù)確定表達(dá)式中的符號(hào)變量，執(zhí)行相應(yīng)的操作。7/19/202211subs 函數(shù)subs 函數(shù)subs 函數(shù)可以將符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量用數(shù)值代替。在對(duì)多變量符號(hào)表達(dá)式使用 subs 函數(shù)時(shí)，如果不指定變量，則系統(tǒng)選擇默認(rèn)變量進(jìn)行計(jì)算。默認(rèn)變量的選擇規(guī)則為：對(duì)于只包含一個(gè)字符的變量

7、，選擇靠近 x 的變量作為默認(rèn)變量；如果有兩個(gè)變量和 x 之間的距離相同，則選擇字母表后面的的變量作為默認(rèn)變量。7/19/202212符號(hào)和數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化 在符號(hào)變量生成一節(jié)中已經(jīng)介紹了 sym 函數(shù)，該函數(shù)用于生成符號(hào)變量，也可以將數(shù)值轉(zhuǎn)化為符號(hào)變量。轉(zhuǎn)化的方式由參數(shù)“flag”確定。flag 的取值及具體意義在上面的一節(jié)中已經(jīng)敘述過(guò)。sym 的另一個(gè)重要作用為將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣。7/19/202213任意精度的計(jì)算 符號(hào)計(jì)算的一個(gè)非常顯著的特點(diǎn)是：在計(jì)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)舍入誤差，從而可以得到任意精度的數(shù)值解。如果希望計(jì)算結(jié)果精確，可以用符號(hào)計(jì)算來(lái)獲得足夠高的計(jì)算精度。符號(hào)計(jì)算相對(duì)于數(shù)值

8、計(jì)算而言，需要更多的計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間。MATLAB 工具箱中有三種不同類型的算術(shù)運(yùn)算：數(shù)值型：MATLAB 的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算；有理數(shù)類型：Maple 的精確符號(hào)運(yùn)算；VPA 類型：Maple 的任意精度算術(shù)運(yùn)算。7/19/202214在三種運(yùn)算中，浮點(diǎn)運(yùn)算速度最快，所需的內(nèi)存空間小，但是結(jié)果精確度最低。雙精度數(shù)據(jù)的輸出位數(shù)由 format 命令控制，但是在內(nèi)部運(yùn)算時(shí)采用的是計(jì)算機(jī)硬件所提供的八位浮點(diǎn)運(yùn)算。而且，在浮點(diǎn)運(yùn)算的每一步，都存在一個(gè)舍入誤差，如上面的運(yùn)算中存在三步舍入誤差：計(jì)算 1/3 的舍入誤差，計(jì)算 1/2+1/3 的舍入誤差，和將最后結(jié)果轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制輸出時(shí)的舍入誤差。符號(hào)運(yùn)算中的有

9、理數(shù)運(yùn)算，其時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都是最大的，但是，只要時(shí)間和空間允許，能夠得到任意精度的結(jié)果?？勺兙鹊倪\(yùn)算運(yùn)算速度和精確度均位于上面兩種運(yùn)算之間。其具體精度由參數(shù)指定，參數(shù)越大，精確度越高，運(yùn)行越慢。 7/19/202215創(chuàng)建符號(hào)方程（1/2） 1創(chuàng)建抽象方程MATLAB 中可以創(chuàng)建抽象方程，即只有方程符號(hào)，沒有具體表達(dá)式的方程。若要?jiǎng)?chuàng)建方程，并計(jì)算其一階微分的方法如下： f=sym(f(x); syms x h; df = (subs(f,x,x+h)-f)/hdf = (f(x+h)-f(x)/h抽象方程在積分變換中有著很多的應(yīng)用。7/19/202216創(chuàng)建符號(hào)方程（2/2）2創(chuàng)建符

10、號(hào)方程創(chuàng)建符號(hào)方程的方法有兩種：利用符號(hào)表達(dá)式創(chuàng)建先創(chuàng)建符號(hào)變量，通過(guò)符號(hào)變量的運(yùn)算生成符號(hào)函數(shù)直接生成符號(hào)表達(dá)式創(chuàng)建 M 文件利用 M 文件創(chuàng)建的函數(shù)，可以接受任何符號(hào)變量作為輸入，作為生成函數(shù)的自變量7/19/202217符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)與替換 符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn) 符號(hào)表達(dá)式的替換 7/19/202218符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)MATLAB中下列函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)collectexpandhornerfactorsimplifysimple7/19/202219collect該函數(shù)用于合并同類項(xiàng)，具體調(diào)用格式為：R = collect(S)，合并同類項(xiàng)。其中 S 可以是數(shù)組，數(shù)組的每個(gè)元素

11、為符號(hào)表達(dá)式。該命令將 S 中的每個(gè)元素進(jìn)行合并同類項(xiàng)。R = collect(S,v)，對(duì)指定的變量 v 進(jìn)行合并，如果不指定，則默認(rèn)為對(duì) x 進(jìn)行合并，或者由 findsym 函數(shù)返回的結(jié)果進(jìn)行合并。7/19/202220expandexpand 函數(shù)用于符號(hào)表達(dá)式的展開。其操作對(duì)象可以是多種類型，如多項(xiàng)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。用戶可以利用 expand 函數(shù)對(duì)任意的符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行展開。7/19/202221hornerhorner 函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為嵌套格式。嵌套格式在多項(xiàng)式求值中可以降低計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度。該函數(shù)的調(diào)用格式為：R = horner(P)，其中 P 為由符號(hào)表達(dá)式組成的矩陣

12、，該命令將 P 中的所有元素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的嵌套形式。7/19/202222factor 和 simplifyfactor 函數(shù)實(shí)現(xiàn)因式分解功能，如果輸入的參數(shù)為正整數(shù)，則返回此數(shù)的素?cái)?shù)因數(shù)。simplify 函數(shù)實(shí)現(xiàn)表達(dá)式的化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)所選用的方法為 Maple 中的化簡(jiǎn)方法。7/19/202223simple該函數(shù)同樣實(shí)現(xiàn)表達(dá)式的化簡(jiǎn)，并且該函數(shù)可以自動(dòng)選擇化簡(jiǎn)所選擇的方法，最后返回表達(dá)式的最簡(jiǎn)單的形式。函數(shù)的化簡(jiǎn)方法包括：simplify、combine(trig)、radsimp、convert(exp)、collect、factor、expand 等。該函數(shù)的調(diào)用格式為：r = simpl

13、e(S)，該命令嘗試多種化簡(jiǎn)方法，顯示全部化簡(jiǎn)結(jié)果，并且返回最簡(jiǎn)單的結(jié)果；如果 S 為矩陣，則返回使矩陣最簡(jiǎn)單的結(jié)果，但是對(duì)于每個(gè)元素而言，則并不一定是最簡(jiǎn)單的。r,how = simple(S)，該命令在返回化簡(jiǎn)結(jié)果的同時(shí)返回化簡(jiǎn)所使用的方法。7/19/202224符號(hào)表達(dá)式的替換 MATLAB 中，可以通過(guò)符號(hào)替換使表達(dá)式的形式簡(jiǎn)化。符號(hào)工具箱中提供了兩個(gè)函數(shù)用于表達(dá)式的替換：subexpr 和 subs。1subexpr該函數(shù)自動(dòng)將表達(dá)式中重復(fù)出現(xiàn)的字符串用變量替換，該函數(shù)的調(diào)用格式為：Y,SIGMA = subexpr(X,SIGMA)，指定用符號(hào)變量 SIGMA 來(lái)代替符號(hào)表達(dá)式（可

14、以是矩陣）中重復(fù)出現(xiàn)的字符串。替換后的結(jié)果由 Y 返回，被替換的字符串由 SIGMA 返回；Y,SIGMA = subexpr(X,SIGMA)，該命令與上面的命令不同之處在于第二個(gè)參數(shù)為字符串，該命令用來(lái)替換表達(dá)式中重復(fù)出現(xiàn)的字符串。7/19/202225subs 函數(shù)2subs函數(shù) subs 可以用指定符號(hào)替換表達(dá)式中的某一特定符號(hào)。該函數(shù)在第一節(jié)中已經(jīng)有簡(jiǎn)單介紹，本節(jié)介紹該函數(shù)的更多功能。該函數(shù)的調(diào)用格式為：R = subs(S)，對(duì)于 S 中出現(xiàn)的全部符號(hào)變量，如果在調(diào)用函數(shù)或工作區(qū)間中存在相應(yīng)值，則將值代入，如果沒有相應(yīng)值，則對(duì)應(yīng)的變量保持不變；R = subs(S, new)，用新

15、的符號(hào)變量替換 S 中的默認(rèn)變量，即有 findsym 函數(shù)返回的變量；R = subs(S,old,new)，用新的符號(hào)變量替換 S 中的變量，被替換的變量由 old 指定，如果 new 是數(shù)字形式的符號(hào)，則數(shù)值代替原來(lái)的符號(hào)計(jì)算表達(dá)式的值，所得結(jié)果仍是字符串形式，如果 new 是矩陣，則將 S 中的所有 old 替換為 new，并將 S 中的常數(shù)項(xiàng)擴(kuò)充為與 new 維數(shù)相同的常數(shù)矩陣。7/19/202226符號(hào)函數(shù)圖形繪制 符號(hào)函數(shù)曲線的繪制 符號(hào)函數(shù)曲面網(wǎng)格圖及表面圖的繪制 等值線的繪制 7/19/202227符號(hào)函數(shù)曲線的繪制MATLAB 中，ezplot 函數(shù)和 ezplot3 函數(shù)

16、分別實(shí)現(xiàn)符號(hào)函數(shù)二維和三維曲線的繪制。ezplot 函數(shù)可以繪制顯函數(shù)的圖形，可以繪制隱函數(shù)的圖形，也可以繪制參數(shù)方程的圖形。對(duì)于顯函數(shù)，其調(diào)用格式有：ezplot(f)，繪制函數(shù) f 在區(qū)間 內(nèi)的圖形。ezplot(f,min,max)，繪制函數(shù) f 在指定區(qū)間 min,max 內(nèi)的圖形。該函數(shù)打開標(biāo)簽為 Figure No. 1 的圖形窗口，并顯示圖像。如果已經(jīng)存在圖形窗口，在該函數(shù)在標(biāo)簽數(shù)最大的窗口中顯示圖形。ezplot(f,xmin xmax,fign)，在指定的窗口 fign 中繪制函數(shù)的圖像。7/19/202228對(duì)于隱函數(shù)，ezplot 函數(shù)的調(diào)用格式有：ezplot(f)，繪

17、制函數(shù)在區(qū)間，的圖形；ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)，繪制函數(shù)在 xmin x xmax、ymin y ymax 的圖形；ezplot(f,min,max)，繪制函數(shù)在 min x max、min y max 的圖形。對(duì)于參數(shù)方程，ezplot 函數(shù)的調(diào)用格式有：ezplot(x,y)，繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t) 在的曲線；ezplot(x,y,tmin,tmax)，繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t) 在的曲線；7/19/202229ezplot3 函數(shù)ezplot3 函數(shù)用于繪制三維參數(shù)曲線。該函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot3(

18、x,y,z)，在默認(rèn)區(qū)間內(nèi)繪制參數(shù)方程 x = x(t)，y = y(t)，z = z(t) 的圖像；ezplot3(x,y,z,tmin,tmax)，在區(qū)間 tmin t tmax 內(nèi)繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t)、z = z(t) 的圖像；ezplot3(.,animate)，生成空間曲線的動(dòng)態(tài)軌跡。7/19/202230符號(hào)函數(shù)曲面網(wǎng)格圖及表面圖的繪制 MATLAB 中，函數(shù) ezmesh、ezmeshc、ezsurf及ezsurfc 實(shí)現(xiàn)三維曲面的繪制。1ezmesh、ezsurfezmesh、ezsurf 函數(shù)分別用于繪制三維網(wǎng)格圖和三維表面圖。這兩個(gè)函數(shù)的用法相同

19、，下面以函數(shù) ezmesh 函數(shù)為例介紹三維曲面的繪制。該函數(shù)的調(diào)用格式為：ezmesh(f)，繪制函數(shù) f(x,y) 的圖像；ezmesh(f,domain)，在指定區(qū)域繪制函數(shù) f(x,y) 的圖像；ezmesh(x,y,z)，在默認(rèn)區(qū)域繪制三維參數(shù)方程的圖像；ezmesh(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax) or ezmesh(x,y,z,min,max)，在指定區(qū)域繪制三維參數(shù)方程的圖像。7/19/202231ezmeshc、ezsurfc 函數(shù)2ezmeshc、ezsurfc這兩個(gè)函數(shù)用于在在繪制三維曲面的同時(shí)繪制等值線。下面以 ezmeshc 函數(shù)為例介紹這兩個(gè)函

20、數(shù)的用法。ezmeshc(f)，繪制二元函數(shù)在默認(rèn)區(qū)域，的圖形。ezmeshc(f,domain)，繪制函數(shù)在指定區(qū)域的圖形，繪圖區(qū)域由 domain 指定，其中 domain 為 41 數(shù)組或者 21 數(shù)組，如 xmin, xmax, ymin, ymax 表示 min x max,，min y max，min, max 表示 min x max,，min y H=hilb(3)H = 1.000 0.500 0.33333333333333 0.500 0.33333333333333 0.250 0.33333333333333 0.250 0.200該矩陣為雙精度類型（double），

21、下面將其轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣。7/19/202243 H = sym(H)H = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5對(duì)該矩陣進(jìn)行求逆、求行列式等操作： inv(H)ans = 9, -36, 30 -36, 192, -180 30, -180, 180 det(H)ans =1/21607/19/202244利用左除符號(hào)“”求解線性系統(tǒng)： b = 1 1 1; x = Hbx = 3 -24 30上述運(yùn)算得到的結(jié)果均為精確解，如果對(duì)相同的運(yùn)算采用數(shù)值解，則得到的解會(huì)存在誤差，見下面的代碼： digits(16) V = vpa(H)7/19/202245

22、V = 1., .50000, .3333333333333333 .50000, .3333333333333333, .25000 .3333333333333333, .25000, .20000 inv(V)ans = 9.0179, -36.080, 30.067 -36.080, 192.42, -180.40 30.067, -180.40, 180.38 det(V)ans =.462962962962953e-3 Vbans = 3.0041 -24.021 30.0197/19/202246上面的 Hilbert 矩陣為非奇異矩陣，下面查看對(duì)奇異矩陣的操作。首先，改變矩陣

23、H 的第一個(gè)元素，使其成為奇異矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算，見下面的代碼： H(1,1)=8/9; det(H)ans =0 inv(H)? Error using = sym.invError, (in inverse) singular matrix7/19/202247矩陣的特征值分解 在 MATLAB 中，矩陣的特征值和特征向量由函數(shù) eig 計(jì)算。該函數(shù)的主要用法為：E = eig(A)，計(jì)算符號(hào)矩陣 A 的符號(hào)特征值，返回結(jié)果為一個(gè)向量，向量的元素為矩陣 A 的特征值；V,E = eig(A)，計(jì)算符號(hào)矩陣 A 的符號(hào)特征值和符號(hào)特征向量，返回結(jié)果為兩個(gè)矩陣：V 和 E，V 是矩陣 A

24、的特征向量組成的矩陣，E 為 A 的特征值組成的對(duì)角矩陣，得到的結(jié)果滿足。7/19/202248Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型 當(dāng)利用相似變換將矩陣對(duì)角化時(shí)會(huì)產(chǎn)生 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)于給定的矩陣 ，如果存在非奇異矩陣 ，使得矩陣 最接近對(duì)角形，則矩陣稱為的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型。MATLAB 中函數(shù) jordan 用于計(jì)算矩陣的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型。該函數(shù)的調(diào)用格式如下：J = jordan(A)，計(jì)算矩陣的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型；V,J = jordan(A)，返回矩陣的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型，同時(shí)返回相應(yīng)的變換矩陣。7/19/202249奇異值分解 奇異值分解是矩陣分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，在理

25、論分析和實(shí)踐計(jì)算中都有著廣泛的應(yīng)用。在 MATLAB 中，完全的奇異值分解只對(duì)可變精度的矩陣可行。進(jìn)行奇異值分解的函數(shù)為 svd，該函數(shù)的調(diào)用格式為：sigma = svd(A)，計(jì)算矩陣的奇異值；sigma = svd(vpa(A)，采用可變精度計(jì)算矩陣的奇異值；U,S,V = svd(A)，矩陣奇異值分解，返回矩陣的奇異向量矩陣和奇異值所構(gòu)成的對(duì)角矩陣。U,S,V = svd(vpa(A)，采用可變精度計(jì)算對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解。7/19/202250符號(hào)方程的求解 代數(shù)方程的求解 求解代數(shù)方程組 微分方程的求解 微分方程組的求解 復(fù)合方程 反方程 7/19/202251代數(shù)方程的求解代數(shù)方

26、程包括線性方程、非線性方程和超越方程等。在 MATLAB 中函數(shù) solve 用于求解代數(shù)方程和方程組，其調(diào)用格式如下：g = solve(eq)，求解方程 eq 的解，對(duì)默認(rèn)自變量求解，輸入的參數(shù) eq 可以是符號(hào)表達(dá)式或字符串；g = solve(eq,var)，求解方程 eq 的解，對(duì)指定自變量求解；在上面的語(yǔ)句中，如果輸入的表達(dá)式中不包含等號(hào)，則 MATLAB 求解其等于 0 時(shí)的解。例如 g=solve(sym(x2-1) 的結(jié)果與 g=solve(sym(x2-1=0) 相同。對(duì)于單個(gè)方程的情況，返回結(jié)果為一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，或是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式組成的數(shù)組，對(duì)于方程組的情況，返回結(jié)果為一

27、個(gè)結(jié)構(gòu)體，結(jié)構(gòu)體的元素為每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，各個(gè)變量按照字母順序排列。7/19/202252求解代數(shù)方程組 代數(shù)方程組同樣由函數(shù) solve 函數(shù)進(jìn)行，其格式為：g = solve(eq1,eq2,.,eqn)，求由方程 eq1、eq2、eqn 等組成的系統(tǒng)，自變量為默認(rèn)自變量；g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn)，求由方程eq1、eq2、eqn 等組成的系統(tǒng)，自變量為指定的自變量：var1、var2、varn。7/19/202253微分方程的求解 MATLAB 中微分方程的求解通過(guò)函數(shù) dsolve 進(jìn)行，該函數(shù)用于求解常微分方程。7/19/2

28、02254dsolve函數(shù)該函數(shù)的具體調(diào)用格式為r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v) r = dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)其中 eq1、eq2 等表示待求解的方程，默認(rèn)的自變量為 。方程中用 D 表示微分，如 Dy 表示 ；如果在 D 后面帶有數(shù)字，則表示多階導(dǎo)數(shù)，如 D2y 表示 。cond1、cond2 等表示初始值，通常表示為 y(a) = b 或者 Dy(a) = b。如果不指定初始值，或者初始值方程的個(gè)數(shù)少于因變量的個(gè)數(shù)，則最后得到的結(jié)果中會(huì)包含常數(shù)項(xiàng)，表示為 C1、C2 等。dsolve 函數(shù)最多接受

29、12 個(gè)輸入?yún)?shù)。7/19/202255微分方程組的求解 求解微分方程組通過(guò) dsolve 進(jìn)行，格式為：r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v)。該語(yǔ)句求解由參數(shù) eq1、eq2 等指定的方程組成的系統(tǒng)，初值條件為 cond1、cond2 等，v 為自變量。7/19/202256復(fù)合方程 復(fù)合方程通過(guò)函數(shù) compose 進(jìn)行，該函數(shù)的調(diào)用格式為：compose(f,g)，返回函數(shù) f(g(y)，其中 f = f(x)，g = g(y)，x 是 f 的默認(rèn)自變量，y 是 g 的默認(rèn)自變量；compose(f,g,z)，返回函數(shù) f(g(z)，自變量為 z

30、；compose(f,g,x,z)，返回函數(shù) f(g(z)，指定 f 的自變量為 x；compose(f,g,x,y,z)，返回函數(shù) f(g(z)，f 和 g 的自變量分別指定為 x 和 y。7/19/202257反方程 反方程通過(guò)函數(shù) finverse 求得，該函數(shù)的調(diào)用格式為：g = finverse(f)，在函數(shù) f 的反函數(shù)存在的情況下，返回函數(shù) f 的反函數(shù)，自變量為默認(rèn)自變量；g = finverse(f,v)，在函數(shù) f 的反函數(shù)存在的情況下，返回函數(shù) f 的反函數(shù)，自變量為 v。7/19/202258符號(hào)積分變換 符號(hào)傅立葉變換 符號(hào)拉普拉斯變換 符號(hào) Z 變換 7/19/20

31、2259傅立葉變換傅立葉變換由函數(shù) fourier 實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：F = fourier(f)，實(shí)現(xiàn)函數(shù) f 的傅立葉變換，如果 f 的默認(rèn)自變量為 x，則返回 f 的傅立葉變換結(jié)果，默認(rèn)自變量為 w；如果 f 的默認(rèn)自變量為 w，則返回結(jié)果的默認(rèn)自變量為 t；F = fourier(f,v)，返回結(jié)果為 v 的函數(shù)；F = fourier(f,u,v)，f 的自變量為 u，返回結(jié)果為 v 的函數(shù)。7/19/202260傅立葉逆變換傅立葉逆變換由函數(shù) ifourier 實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：f = ifourier(F)，實(shí)現(xiàn)函數(shù) F 的傅立葉逆變換，如果 F 的默認(rèn)自變量為

32、w，則返回結(jié)果 f 的默認(rèn)自變量為 x，如果 F 的自變量為 x ，則返回結(jié)果 f 的自變量為 t；f = ifourier(F,u)，實(shí)現(xiàn)函數(shù) F 的傅立葉逆變換，返回結(jié)果 f 為 u 的函數(shù)；f = ifourier(F,v,u)，實(shí)現(xiàn)函數(shù) F 的傅立葉逆變換，F(xiàn) 的自變量為 v，返回結(jié)果 f 為 u 的函數(shù)。7/19/202261符號(hào)拉普拉斯變換 laplace 函數(shù)實(shí)現(xiàn)符號(hào)函數(shù)的拉普拉斯變換。該函數(shù)的調(diào)用格式為：laplace(F)，實(shí)現(xiàn)函數(shù) F 的拉普拉斯變換，如果 F 的默認(rèn)自變量為 t，返回結(jié)果的默認(rèn)自變量為 s；如果 F 的默認(rèn)自變量為 s，則返回結(jié)果為 t 的函數(shù)；lapla

33、ce(F,t)，返回函數(shù)的自變量為 t；laplace(F,w,z)，指定 F 的自變量為 w，返回結(jié)果為 z 的函數(shù)；7/19/202262拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換由函數(shù) ilaplace 實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：F = ilaplace(L)，實(shí)現(xiàn)函數(shù) L 的拉普拉斯逆變換，如果 L 的自變量為 s，則返回結(jié)果為 t 的函數(shù)，如果 L 的自變量為 t，則返回結(jié)果為 x 的函數(shù)；F = ilaplace(L,y)，返回結(jié)果為 y 的函數(shù)；F = ilaplace(L,y,x)，指定 L 的自變量為 y，返回結(jié)果為 x 的函數(shù)。7/19/202263符號(hào) Z 變換 Z 變換由函數(shù) ztr

34、ans 完成，該函數(shù)的用法為：F = ztrans(f)，如果 f 的默認(rèn)自變量為 n，則返回結(jié)果為 z 的函數(shù)，如果 f 為函數(shù) z 的函數(shù)，則返回結(jié)果為 w 的函數(shù)；F = ztrans(f,w)，返回結(jié)果為 w 的函數(shù)；F = ztrans(f,k,w)，f 的自變量為 k，返回結(jié)果為 w 的函數(shù)。7/19/202264Z 逆變換Z 逆變換由函數(shù) iztrans 完成，其調(diào)用格式為：f = iztrans(F)，若 F 的默認(rèn)自變量為 z，則返回結(jié)果為 n 的函數(shù)，如果 F 是 n 的函數(shù)，則返回結(jié)果為 k 的函數(shù)；f = iztrans(F,k)，指定返回結(jié)果為 k 的函數(shù)；f = iztrans(F,w,k)，指定 F 的自變量為 w ，返回結(jié)果為 k 的函數(shù)。7/19/202265MAPLE 函數(shù)的調(diào)用 maple 函數(shù)的使用 mfun 函數(shù)的使用 7/19/202266maple 函數(shù)的使用maple 是符號(hào)工具箱中的一個(gè)通用命令，使用它可以實(shí)現(xiàn)對(duì) MAPLE 中大部分函數(shù)的調(diào)用。其使用格式為：r = maple(statement)，其中 statement 為符合 MAPLE 語(yǔ)法的可執(zhí)行語(yǔ)句的字符串，該命令將 statement 傳遞給 MAPLE，該命令的輸出結(jié)