1、 恒等式1 對于正整數(shù)n和k,有 (1.23)證明： 當(dāng)kn時(shí)， =0當(dāng)1kn時(shí)，有 1.5組合恒等式(1.24)證明：(由式(1.23)(由式(1.14)對于正整數(shù)n，有恒等式2恒等式3 對于正整數(shù)n,有 (1.25) 證明：由式(1.13)知有將上式兩邊對x微分得在上式中，令x=-1有即恒等式3: 由此可見，可以用對二項(xiàng)式公式微分來導(dǎo)出組合恒等式。對于正整數(shù)n，有證明：將 的兩邊對x微分得將上式兩端同乘以x后再對x微分得 令上式中的x=1得恒等式4恒等式4(1.26) 證明：只需在式(1.26)中令x=-1，即得式(1.27)。對于正整數(shù)n，有 恒等式5（1.27）對于正整數(shù)n，有證明：由

2、式(1.13)有對上式兩端從0到1積分得上式即得恒等式6恒等式6對于正整數(shù)n,m和p,pminm,n有證明：由于又由式(1.13)知因此有恒等式7比較等式兩邊的系數(shù)得恒等式7恒等式7還可以用組合分析的方法論證：恒等式7也稱Vandermonde恒等式。用類似的方法證明，有恒等式8對于正整數(shù)m,n,有 事實(shí)上，這個(gè)恒等式是式(1.29)的推論，只需在式(1.29)中，令p=m即得式(1.30)。又在式(1.30)中，令m=n，又有恒等式9對于任何正整數(shù)n,有(1.30) 對于非負(fù)整數(shù)p,q,n有 對于非負(fù)整數(shù)n和k，有可使用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式11恒等式12 (1.32) 對于所有實(shí)數(shù)和非負(fù)整數(shù)

3、k，有 證明：首先注意，這個(gè)恒等式與前面的恒等式有一個(gè)很不同的地方，這就是 和 是廣義的二項(xiàng)式系數(shù)。由于對實(shí)數(shù)，在1.4節(jié)已經(jīng)定義了廣義二項(xiàng)式系數(shù)的意義，因此Pascal公式對于是實(shí)數(shù)和整數(shù)k也是成立的。于是反復(fù)使用Pascal公式就可以得到(1.34)恒等式13(1.34) 還有許多其他的有用恒等式，這可以在H.W.Gonld著的組合恒等式一書中找到。通過上面的一些恒等式的證明，我們可以發(fā)現(xiàn)，證明恒等式常用的方法有1數(shù)學(xué)歸納法。2利用二項(xiàng)式系數(shù)公式，特別是Pascal公式。3比較級數(shù)展開式中的系數(shù)(包括二項(xiàng)式定理和以后要講的母函數(shù)法)。4積分微分法。5組合分析法。還有其他的一些常用方法，如有限差分法，級數(shù)變換法，多項(xiàng)式的有限