1、微課三最值、范圍問題題型分類突破題型一最值問題x 所以AABC面積S= 2 AB| d2 y2【例1】(2021長沙一模)已知橢圓r鏟+b2=1(ab0)的左、右焦點分別為Fl,F2.短軸的兩個頂點與Fi, F2構(gòu)成面積為2的正方形，(1)求F的方程；如圖所示，過右焦點F2的直線交橢圓r于a, b兩點，連接AO并延長，交r 于點C,求4ABC面積的最大值.解(1)因為橢圓C的短軸的兩個頂點與F1, F2構(gòu)成面積為2的正方形,所以b = c, SF = a2 = 2,貝U a=2, b=c= 1,一，一 一、一.X2 C故橢圓r的方程為,+y2=1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線 AB的方

2、程為y=k(x1), y= k (x-1),聯(lián)立 x22消去 y 整理得(1 + 2k2)x2 4k2x+ 2k22=0,萬+y2=1,設(shè) A(x1，y1)，B(x2, y2),則 x1 + x24k21 + 2k2,x1x22k2 2 1+2k2,=1 + k2點O到直線kxyk= 0的距離d =|k|11 + k2，所以 AB| = 41 + k2 j (x1 + x2)24XiX24k2 22k22_ 2也(1 + k2)+ 2k2 -4X 1 + 2k2=1 + 2k2因為O是線段AC的中點，所以點C到直線AB的距離為2d = 月9,W + k21 2亞(1 + k(1)右p=16，求

3、拋物線C2的焦點坐標；(2)若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值._,11解(1)由p=16，得拋物線C2的焦點坐標是32 0 .(2)由題意可設(shè)直線 l: x=my+ t(mw 0, t*0),點 A(x0, y0). , 一、一一，一x2將直線i的方程代入橢圓C1：缶+黃=1,得(m2 + 2)y2 + 2mty+12 2= 0,所以點M的縱坐標yM = 普;.將直線l的方程代入拋物線C2： y2 = 2px,彳3y2 2pmy 2Pt=0,)2|k| 行 /k2 (1 + k2)=2XiT2k2xk=2J2yj-(i + 2k2)2=2$ 廠4 (2k2+1) 20)

4、,點A是橢圓C1與拋物線C2的交點，過點A的直線l交橢圓C1于點B,交 拋物線C2于點M(B, M不同于A).2p (辭+2)所以 y0yM = 1 2pt,解得 y0 = TOC o 1-5 h z .tt 2p (m2 + 2) 2 因止匕xom2.t x0o 12 2 -2 4由2+y0=1,得y=4 m+m +2m+m 160, 當(dāng)且僅當(dāng)m= t=Wf時,p取到最大值嚶.題型二范圍問題x2 y23【例2】已知橢圓C:苒+京=1(ab0)的離心率e=勺，直線x+3y1 = 0被以橢圓C的短軸為直徑的圓截得的弦長為 V3.求橢圓C的方程；過點M(4, 0)的直線l交橢圓于A, B兩個不同的

5、點，且 仁|MA| MB|,求入 的取值范圍.1解(1)原點到直線x+/3y1 = 0的距離為1 TOC o 1-5 h z 123 2由題得 2+:2- =b2(b0),解得 b=1._ 2 c2b2 3又 e?=a2= 1 a2 = 4，得 a=2.一 .一 一、一 .x2C所以橢圓c的方程為4+黃=1.當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l: y=0為x軸，仁|MA| MB| = 12.當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l: x= my+ 4,點A(x1, y1)，B(x?, y2),x= my+ 4,聯(lián)立 x29 消去 x 得(m2+4)y2 + 8my+ 12 = 0.l+y2：1，由 A= 64

6、m2-48(m2+4)0,得 m212,12所以 y1y2=mG.七 |MA| MB| =m2+1|y1| /m2+1|y2|212 (m2+1)彳 3=(m +1)y1y2|=m2+4=12 1-m2+4 .c33由 m12,行 n16,39所以 39220)的焦距為2, 左、右焦點分別為F1, F2,過點F1的直線1(不與x軸重合)交橢圓于A, B兩點.5若點A恰好為橢圓的上頂點，且|AB| = F1B|,求橢圓E的標準萬程；若點A關(guān)于點F2的對稱點為點C,且點C恰好在橢圓上，求點B的橫坐標的 取值范圍.解(1)由題意得,Fi(-1, 0), A(0, b),設(shè) B(x。，y。)，由 AB

7、| = 5|FiB|可得酢1 = 3巾 于是得(1, -b) = |(xo+1, y。), TOC o 1-5 h z 335 1=5x0+2，xo= 一 ,所以 3 得 2b 2y0，y03b. 254b2因為點B在橢圓上，所以需+券=1, 得 a2=5,所以 b2=51 = 4,一 _, x2 y2故橢圓E的標準萬程為g+:=1.(2)由題意及橢圓的對稱性，得 AC為橢圓的通徑.不妨設(shè)點 A(1, y1)(y10),點 B(xb, yB),t, , t , 、x2y2i 1將點A的坐標代入會+*1,得?十y2b2,/曰b2=i,行 yi=三， a于是直線i的斜率為b2a-0b21- ( D

8、= 2a，b2直線l的方程為y=五;(x+1).2ab2y=2a(x+ 1 ，聯(lián)立方程，得 2 2消去y，整理得xy2 /M+b2： （2020新局考海南卷）已知橢圓C: a2 + b2=1（ab0）過點M（2, 3）,點A為其 ，一， 一 一1左頂點,且AM的斜率為2.求C的方程；點N為橢圓上任意一點，求 AMN的面積的最大值.解（1）由題意可知直線AM的方程為，(a2 + 3)x2+2(a2-1)x-3a2-1 = 0,由根與系數(shù)的關(guān)系，得1 XB =3a2+ 1a2+3 工曰一3a2+1于th, xB- a2+3 .33t+18設(shè) a2=t(t1),則 xb= - t= - 3+tz,t

9、十3t十38 則f在(1, +8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t1時，xb= 3+不的取值范圍為(一3, t3-1),即點B的橫坐標的取值范圍是(一3, -1).核心素養(yǎng)/“設(shè)而不求，整體代換”解圓錐曲線問題數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運 算程序，求得運算結(jié)果等.【典例】(2020湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考)已知拋物線C: y2=2px(p0),點F為拋 物線C的焦點，點A(1, m)(m0)在拋物線C上，且|FA| = 2,過點F作斜率為1k-k 0包成立，2k2 4由根與系數(shù)的關(guān)系得x1 + x2

10、 = r一, xx2=1, TOC o 1-5 h z 1因為 AF，x 軸，則 SaAPQ= 2X |AF| x |x1 x2|4k2+ 1一|x1 x2| - N (x + x2)24x1x211k2+k4.一 .1.1因為2&kw 2,令 t = k2;1所以 Saapq= 4Jt2Tt 4t4 ,所以 5 Sapqb0)過點 M(2, 3),49八可得詛+ b2=1,解得=12.x2y2所以c的方程為誣+右=1.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為x 2y=m(mw 4).如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N,此時4AMN的面積取得最大值.x2 y2聯(lián)立直

11、線方程x2y=m與橢圓方程詞+為=1, 可得 3(m+2y)2 + 4y2 = 48,化簡可得 16y2+12my+ 3m2 48=0,所以 A= 144m2 4X 16(3m2 48) = 0,即 m2=64,解得 m= g與AM距離比較遠的直線方程為x- 2y = 8,點N與直線AM的距離即兩平行線之間的距離,8 + 412也初;5由兩點之間距離公式可得 AM| = U (2+4) 2+32 = 3 所以4AMN的面積的最大值為1X 375x12=18.252. (2020惠州三調(diào))已知橢圓,+看=1(ab0)過點P 1, 3 ,且左焦點與拋物線y2 = 4x的焦點重合.(1)求橢圓的標準

12、方程;(2)若直線l: y= kx+m(kw0)與橢圓交于不同的兩點 M, N,線段MN的中點記為, 一 1,，A,且線段MN的垂直平分線過定點G O, 0 ,求k的取值范圍.解(1)二.拋物線y2= 4x的焦點坐標為(一1, 0),橢圓的左、右焦點坐標分別為F1(-1, 0), F2(1, 0),3又橢圓過點p 1 , 2 ,由橢圓的定義知，2a= |PF1|十|PF2|=4,. .a=2,又 c= 1, . b = jJ3,、子l r x2 y2橢圓的標準方程為7+4=1.43(2)設(shè) M(x1, y1), N(x2, y2), A(x, y), x1 y1x2 y2則4+3=1, 4+3 = 1,兩式相減得x1-x2_y2 y2yi