1、平新喬微觀經(jīng)濟學十八講第11講廣延型博弈與反向歸納策略1考慮圖11-1所示的房地產(chǎn)開發(fā)博弈的廣延型表述（1）寫出這個博弈的策略式表述。（2）求出純策略納什均衡。（3）求出子博弈完美納什均衡。圖11-1房地產(chǎn)開發(fā)商之間的博弈解：（1）開發(fā)商A的策略為：開發(fā)，不開發(fā)。開發(fā)商B的策略為：無論A怎樣選擇，B都會選擇開發(fā)；用（開發(fā)，開發(fā)）表示。當A選擇開發(fā)時，B選擇開發(fā)；當A選擇不開發(fā)時，B選擇不開發(fā)；用（開發(fā)，不開發(fā)）表示。當A選擇開發(fā)時，B選擇不開發(fā)；當A選擇不開發(fā)時，B選擇開發(fā)；用（不開發(fā)，開發(fā)）表示。無論A怎樣選擇，B都會選擇不開發(fā)；用（不開發(fā)，不開發(fā)）表示。房地產(chǎn)開發(fā)博弈的策略式表述如表11-

2、1所示：表11-1房地產(chǎn)開發(fā)商之間的博弈開發(fā)商B卄發(fā)，汗發(fā)開發(fā)，不開發(fā)不開發(fā)，開發(fā)不開發(fā)，不開發(fā)開發(fā)商A開發(fā)-3,-3_3,-3,00不開發(fā)0,0,00,10,0（2）對于任意的參與人，給定對手的策略，在他的最優(yōu)策略對應的支付下面畫一條橫線。對均衡的策略組合而言，相應的數(shù)字欄中有兩條下劃線，所以本題共有三個純策略納什均衡（如表11-1所示），它們分別為：殳不開發(fā)，（開發(fā)，開發(fā)）;殳開發(fā)，（不開發(fā)，開發(fā)）;殳開發(fā)，（不開發(fā)，不開發(fā)）。（3）利用反向歸納法可知，子博弈完美的納什均衡為開發(fā)，（不開發(fā)，開發(fā)）2你是一個相同產(chǎn)品的雙寡頭廠商之一，你和你的競爭者生產(chǎn)的邊際成本都是零。而市場的需求函數(shù)是：P

3、=30-Q（1）假設你們只有一次博弈，而且必須同時宣布產(chǎn)量，你會選擇生產(chǎn)多少？你期望的利潤為多少？為什么？（2）若你必須先宣布你的產(chǎn)量，你會生產(chǎn)多少？你認為你的競爭者會生產(chǎn)多少？你預計你的利潤是多少？先宣布是一種優(yōu)勢還是劣勢？為了得到先宣布或后宣布的選擇權(quán)，你愿意付出多少？（3）現(xiàn)在假設你正和同一個對手進行十次系列博弈中的第一次，每次都同時宣布產(chǎn)量。你想要十次利潤的總和（不考慮貼現(xiàn)）最大化，在第一次你將生產(chǎn)多少？你期望第十次生產(chǎn)多少？第九次呢？為什么？解：（1）由于只有一次博弈，所以這里的產(chǎn)量為古諾解。由已知可得廠商1的利潤函數(shù)為：兀=pQC=Q(30QQ)=Q2+(30Q)Q11111212

4、1利潤最大化的一階條件為缶7+30-Q=0,可得廠商1的反應函數(shù)為:1同理得到廠商2的反應函數(shù)為:Q=150.5Q12Q=150.5Q聯(lián)立、兩式，解得Q=10,1從而市場價格和廠商各自的利潤為:（2）這是21Q=10。.2p=10；兀=100，兀=100。12個斯塔克博格模型。在這個模型中，市場的領(lǐng)導者會根據(jù)競爭對手的反應函數(shù)（由第（1）問可知）來確定自己的最優(yōu)產(chǎn)量，此時廠商1的利潤函數(shù)為：Q=0.502+15Q111=f30Q嚴（12丿解得Q=15。1利潤最大化的一階條件為：竺1=15-Q=0，6Q1=56.25。1從而可得：Q=7.5;p=7.5;兀=112.5;兀212由以上的計算可知，

5、先宣布產(chǎn)量是一種優(yōu)勢，為了得到先宣布產(chǎn)量的選擇權(quán)，領(lǐng)導者愿意付出的代價應不大于兩種情況下的利潤差，即112.5100=12.5。（3）當兩企業(yè)進行有限次的博弈時，按照古諾模型確定的產(chǎn)量是各自的最優(yōu)選擇，所以在每次博弈中，兩個企業(yè)的產(chǎn)量都為10。這是因為兩企業(yè)為了實現(xiàn)利潤最大的最優(yōu)選擇原本應是按照聯(lián)合定價的卡特爾模型行事，但在第十次生產(chǎn)時，雙方都知道這是最后一次博弈，為實現(xiàn)自身的利潤最大，都會選擇背叛，即實行先宣布產(chǎn)量的戰(zhàn)略，從而使得市場的最后均衡為古諾均衡，而第九次博弈時，既然雙方都知道在第十次博弈時，對方一定會背叛自己，那就沒有理由在第九次博弈中合作，而市場的最終結(jié)果還是古諾均衡。依次類推，

6、可知古諾產(chǎn)量是每一次博弈的均衡解。3考慮下列三個廣延型博弈（如圖11-2），哪一個博弈有多重反向歸納策略？答：（1）有多重反向歸納策略。分析如下：這個動態(tài)博弈的子博弈完美的納什均衡為：（L,L）,lJ:（R,R）,rJ;（L,R）,rJ（相應的均衡路徑如圖11-3中L:RR-R;L所示）。圖11-3博弈的均衡路徑（2）只有單重的反向歸納策略。分析如下：當1選擇L后，2有兩種選擇：（L,R）,對應的支付為（0,4）,（5,1）。此時2肯定會選擇L使自己得到數(shù)量為4的支付，從而1只能得到數(shù)量為零的支付。這對于1來說是不合意的，不如選擇T得到的支付多。同理，如果1選擇R，2也有兩種選擇：（L，R），

7、對應的支付為（1,2）,（3,1）。2肯定會選擇L，使得自己得到數(shù)量為2的支付，此時1只能得到數(shù)量為1的支付，這還是比1選擇T的支付少。所以均衡的結(jié)果為1選擇T，然后博弈就此結(jié)束。如圖11-4所示：圖11-4利用反向歸納法得到均衡的結(jié)果（3）有多重的反向歸納策略。分析如下：如果2選擇L，那么1肯定會選擇L，因為這樣可以使他比選擇R獲得更多的支付，此時2得到數(shù)量為1的支付；同樣的原因，當2選擇R時，1肯定會選擇R，這樣，2得到的支付仍然為1；可見2選擇L和R對他是沒有區(qū)別的，并且得到的支付都比他選擇T所得到的支付（2選擇T只能得到數(shù)量為0的支付）多，所以均衡的結(jié)果是2選擇L或R。如圖11-5所示

8、。圖11-5利用反向歸納法得到均衡的結(jié)果4請將圖11-6所示的廣延型博弈轉(zhuǎn)化為策略型博弈，并求納什均衡。解：策略型博弈的支付矩陣如表11-2所示。（1）純策略納什均衡為：（L,l）和（R,r）。（2）混合策略就是一個概率分布，表明參與人實行每個純策略的概率。比如在本題中,設參與人1實行L和R的概率分別為p和1-p，那么此人的混合策略就是b（p,1-p），類似1的參與人2的混合策略就是b（q,1-q）。下面求解混合策略均衡，設游戲者1、2選L、l的2概率分別為p、q，則均衡時，游戲者1選擇L和R可以獲得相同的期望收益，即：q=3（1-q）解得q=-。同理可得p=1。所以（bQ）為此博弈的混合策略

9、納什均衡，其中4412ri3r31b=，b=。1144丿2144丿5兩家電視臺競爭周末黃金時段晚8點到10點的收視率，可選擇把較好的節(jié)目放在前面還是后面。它們決策的不同組合導致收視率如表11-3所示（每個數(shù)字欄中，前一個數(shù)字表示電視臺2的收益，后一個數(shù)字表示電視臺1的收益）。表11-3電視臺競爭收視率的博弈1）如果兩家是同時決策，有納什均衡嗎？2）如果雙方采用規(guī)避風險的策略，均衡的結(jié)果是什么？3）如果電視臺1先選擇，結(jié)果有什么？若電視臺2先選擇呢？4）如果兩家談判合作，電視臺1許諾將好節(jié)目放在前面，這許諾可信嗎？結(jié)果可能是什么？解：（1）如果兩家同時決策，存在納什均衡，均衡策略組合為：電視臺1

10、選擇在后面播放，電視臺2選擇在前面播放，即（后面，前面）。（2）風險回避的策略也就是最大最小策略。當電視臺2選擇前面時，它獲得的最小收益為min（18,23）=18。當電視臺2選擇后面時，它獲得的最小收益為min（4,16）=4。那么電視臺2的最大最小策略就是maxmin（18,23）,min（4,16）=18,即電視臺2會選擇前面；同理可以知道電視臺1也會選擇前面。所以均衡策略為：前面，前面），其收益為（18,18）。（3）如果電視臺1先選擇，那么利用反向歸納法，可知電視臺1和2的選擇分別為:（后面，前面）。如圖11-7所示。圖11-7電視臺1先決策的動態(tài)博弈如果電視臺2先選擇，結(jié)果同1先選

11、擇的情況，如圖11-8所示。圖11-8電視臺2先決策的動態(tài)博弈（4）電視臺1將好節(jié)目放在前面的許諾不可信。這是因為對電視臺2而言，“前”是其占優(yōu)策略，所以在電視臺1確定電視臺2會選擇“前面”時，電視臺1只會選擇“后面”來最大化它的收益。6兩個廠商（A與B）考慮健康雪茄的競爭品牌。廠商報酬如表11-4所示（A的利潤首先給定）。表11-4生產(chǎn)雪茄的廠商之間的博弈1）這個對策有納什均衡嗎？ENTREANT（2）這個對策對于廠商A或者廠商B有先動優(yōu)勢嗎？（3）廠商B發(fā)現(xiàn)欺騙廠商A,能把它趕出市場嗎？答：（1）該博弈存在納什均衡，均衡的策略組合為：（生產(chǎn)，不生產(chǎn)），（不生產(chǎn)，生產(chǎn)）。當廠商B選擇生產(chǎn)時,

12、廠商A的最優(yōu)策略為不生產(chǎn),當廠商B選擇不生產(chǎn)時,廠商A的最優(yōu)策略是選擇生產(chǎn)；當廠商A選擇生產(chǎn)時，廠商B的最優(yōu)策略為不生產(chǎn)，當廠商A選擇不生產(chǎn)時,廠商B的最優(yōu)策略為生產(chǎn),因此最終存在兩個納什均衡（生產(chǎn),不生產(chǎn)）,（不生產(chǎn),生產(chǎn)），對應的支付為（5，4），（4，5）。（2）如果廠商A先行動（如圖11-9所示），根據(jù)反向歸納法，這個動態(tài)博弈的均衡為（生產(chǎn)，不生產(chǎn)）；如果廠商B先行動（如圖11-10所示），根據(jù)反向歸納法，這個動態(tài)博弈的均衡為（不生產(chǎn)，生產(chǎn)）?？梢娒總€廠商選擇先行動都比選擇后行動可以獲得更高的收益,所以廠商A和廠商B都有先動優(yōu)勢。=廠商B先行動的博弈的反向歸納圖11-10（3）廠商B不

13、能把廠商A趕出市場，這是因為無論廠商B實行什么策略，廠商A總是可以獲得正的利潤。7WET公司壟斷了震動充水床墊的生產(chǎn)。這種床墊的生產(chǎn)是相對缺乏彈性的當價格為每床1000美元時，銷售25000床；當價格為每床600美元，銷售30000床。生產(chǎn)充水床墊的惟一成本是最初的建廠成本。WET公司已經(jīng)投資建設生產(chǎn)能力達到25000床的工廠，滯留成本與定價決策無關(guān)。（1）假設進入這個行業(yè)能夠保證得到一半市場，但是要投資10000000美元建廠。構(gòu)造WET公司（p=1000或者p=600）和潛在進入者（進入或者不進入）博弈的支付矩陣。這個對策有納什均衡嗎？（2）假設WET公司投資5000000美元將現(xiàn)有工廠的

14、生產(chǎn)能力擴大到生產(chǎn)40000床充水床墊。阻止競爭對手的進入是有利可圖的策略嗎？解:（1）由于WET公司是在位者，所以在本題的博弈中WET公司是先行者，當它把產(chǎn)品價格定為1000美元時：如果此時WET壟斷市場，那么兀=1000 x25000=25000000（美元）。WET如果競爭對手進入市場，那么可得：兀=1000 x12500=12500000（美元）WET兀=1000 x1250010000000=2500000（美元）當WET公司把產(chǎn)品價格定為600美元時：如果此時WET壟斷市場，那么兀=600 x25000=15000000（美元）。WET如果競爭對手進入市場，那么可得：兀=600 x

15、15000=9000000（美元）WET兀=600 x1500010000000=-1000000（美元）ENTREANT博弈的擴展型表述如圖11-11所示（支付的單位是百萬）。圖11-11博弈的擴展型表述博弈的策略表達式如表11-5所示（支付的單位是百萬）。表11-5動態(tài)博弈的策略式表述（單位：百萬）ENTRANT進人，進人進人，不進人不進人，進人不進人,不進入WET100012.5,2.512.5,2.525,025,06009,-115,09,-115,0納什均衡為1000,（進入，進入）、600,（進入，不進入），子博弈完美的納什均衡為600，（進入，不進入）。（2）WET投資新建廠的

16、策略是無利可圖的。理由如下：WET公司擴大產(chǎn)能以后，當它把產(chǎn)品價格定為1000美元時：如果此時WET公司壟斷市場，那么可得兀=1000 x250005000000=20000000（美元）。WET如果競爭對手進入市場，那么可得：兀=1000 x125005000000=7500000（美元）WET兀=1000 x1250010000000=2500000（美元）ENTREANT當WET公司把產(chǎn)品價格定為600美元時：如果此時WET公司壟斷市場，那么兀=600 x300005000000=13000000（美元）。WET如果競爭對手進入市場，那么：兀=600 x150005000000=4000

17、000（美元）WET兀=600 x1500010000000=1000000（美元）ENTREANT博弈的擴展型表述如圖11-12所示（支付的單位是百萬）：子博弈完美的納什均衡為600，（進入，不進入），此時WET公司的利潤為13000000，比擴大產(chǎn)能之前低。WET1000/600entreant/、共NTREANT進酉進入進/進入/(7.5,2.5)(20,0)(4,-1)(13,0)參與人2選擇L，如圖11-14所示。1lol圖11-14利用反向歸納法解廣延型博弈在圖11-13的廣延型博弈中，由于第一步和最后一步都是參與者1先行動，因此可從最后一步即第三步開始考慮，在第三步，對于參與者1

18、來說L是最優(yōu)策略，此時支付組合為（3,0），由于參與者2知道在第三步中參與者1會選擇L，此時自己得到的支付為0,因此在第二步時，參與者2會選擇L結(jié)束博弈，此時參與者2得到支付1，參與者1只得到支付1。參與者1如果知道參與者2在第二步選擇L，則為了使自己支付最大化，參與者1會在第一步直接選擇L結(jié)束博弈，此時參與者1得到支付2,參與者2得到0。所以，這個廣延型博弈的均衡為（2,0），即由參與者1選擇L來直接結(jié)束博弈過程。9討論本講中的“蜈蚣博弈”（見圖11-15），若三方都采取“向前看”的態(tài)度，有沒有“妥協(xié)”并使三方都獲利的可能？這對討論中國的“債轉(zhuǎn)股”問題有什么啟發(fā)？(3.0.0)CwAj/BxfCwu103(3,2,2)(233)(555)*(3,2t9)(4,2,4)(2,3.1)圖11-15蜈蚣型廣延博弈答：（1）在理論上有一種可能，如圖11-16所示：CiiAB嚴uI：(3.0,0)（V-）BAAzXu圖11-16三方都采取“向前看”的態(tài)度時的均衡若在圖11-16中的蜈蚣型廣延博弈中，若A、B、C三人都向前看且具有妥協(xié)