第十章-函數(shù)項級數(shù)10.4冪級數(shù)_第1頁
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1、10.4 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的收斂性1.Abel定理：證明：若不然，由知，矛盾！定理的意義：發(fā)散 絕對收斂 發(fā)散定理2.（冪級數(shù)收斂特性）2.收斂半徑與收斂區(qū)間定義：定理3：收斂半徑公式Cauchy-Hadamard 證明：由比值法例1.求下列冪級數(shù)的收斂域解：收斂區(qū)間為（-3,3）故收斂域為-3,3）另外：解：故收斂域為（-，+）解：故收斂區(qū)間為（2/3，4/3）故收斂域為2/3，4/3）（缺項）解法1：解法2：故收斂區(qū)間（-2,2）解法3：直接使用比值判別法故收斂區(qū)間為（-2,2）故收斂域為-2,2當冪級數(shù)為缺項情形 1. 用Cauchy-Hadamard公式, 辨清 2. 用比值審斂法或根

2、值審斂法及冪級數(shù)收斂 域的結(jié)構特點來求. 3. 先利用變量代換化為非缺項情形后再用公 式求收斂半徑及收斂區(qū)間, 之后再通過逆 代換求出原冪級數(shù)的收斂區(qū)間及收斂半徑.二、冪級數(shù)的性質(zhì)1.運算性質(zhì)-(代數(shù)性質(zhì))兩個冪級數(shù)相除：可利用：2.內(nèi)閉一致收斂性定理4：內(nèi)的任何閉子區(qū)間上一致收斂.則在證明：3.分析性質(zhì)-連續(xù)、可導、可積設冪級數(shù)的收斂半徑為若收斂, 則若收斂, 則(Able第二定理)定理5：注:1. 更精確的說, 是在收斂域內(nèi)連續(xù). 但收斂域可能會改變,在端點處的收斂性可能變“壞”, 但不可能變“好”.2.定理6：積分后冪級數(shù)收斂半徑不變,定理7：但收斂域可能會改變,在端點處的收斂性可能變“好”, 但不可能變“壞”.注:求和函數(shù)應用舉例例：求和函數(shù)例：解：設收斂， 證明：收斂區(qū)間為， 例證明：證明：設收斂區(qū)間 三、函數(shù)展開成冪級數(shù)如果能展開成冪級數(shù)，即且必有：（泰勒級數(shù)）由此說明：展開成冪級數(shù)是唯一的如果有任意階導數(shù)，即形式上：記為：既收斂且等式成立時稱為能展開問題：均有反例,教材P427.定理8：證明：由Taylor展開：推論：證明：冪展級數(shù)開例1.解：故可展成冪級數(shù)例2.解：解：例4.解：例3.例5.例6.解：解：例7.例8.解：例9.解：例10.解：略去!考慮端點,可知下式范圍與有 關四、冪級數(shù)應用1.求和四則運算（變形）、逐項求導、逐項求積例1.解

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