1、秘密啟用前2014年重慶一中高2015級高二上期期末考試數(shù)學試題卷（理科）2014.1數(shù)學試題共4頁。滿分150分。考試時間120分鐘。 注意事項：.答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。.答選擇題時，必須使用 2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用 橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。.答非選擇題時，必須使用 0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。第I卷（選擇題，共50分）一、選擇題：（本大題10個小題，每小題 5分，共50分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；各題答案必

2、須填涂在答題卡上相應位置。.直線ax+y 1=0與直線2x+3y2=0垂直，則實數(shù)a的值為（）C.D.拋擲一枚均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1、2、3、4、5、6個點）一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設事件A為擲出向上為偶數(shù)點，事件B為擲出向上為3點，則P（A|JB） = （ TOC o 1-5 h z A. 1B.2C.1D.533263.已知圓的半徑為 2,圓心在x軸的正半軸上，且與 y軸相切，則圓的方程是(A. x2+y2-4x=0 B . x2+y2+4x = 0C. x2 y2 -2x -3 = 0 D . x2 y2 2x -3 = 0c32 二D .3f(x)=x2+3xf(2)+

3、ex,則 f(2)的.棱長為2的正方體 ABCD-ABC1D1的內切球 的表面積為（）A. B , 16 二C . 4 二3.已知函數(shù)f （x ）的導函數(shù)為f （x ）,且滿足關系式值等于()2_eA. -2B. - -22C.D.2 e -22.已知a、P是不重合的平面， a、b、c是不重合的直線，給出下列命題:r a 一一 a _ b | a工 ID 口a _L P ;nac; 3na fc _ bb _ ab _L a。其中正確命題的個數(shù)是（）A. 3B. 2C. 1D. 07.一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為A.二”332.3B. 2 二3。3D. 2 二38.已知雙

4、曲線221=1(a 0,b 0)的右焦點為F ,若過點 a bF且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）A. (1,2B. (1,2) C. 2,二) D. (2,二)19.（原創(chuàng)）右函數(shù)y1=sin（2x1）+ （為=0,冗）,函數(shù)y2= x2+3，則（x2）+（y1 y2）2的最小值為（）A立式+這二B124D (，-3點+15)2,5.2 -、,6、2C. ()7210.（原創(chuàng)）若對定義在R上的可導函數(shù)f （x）,恒有（4 x）f （2x）+2xf（2x） A0 ,（其中f（2x）表示函數(shù)f（x）的導函數(shù)f（x）在2x的值），則f （x）（）A

5、.恒大于等于0 B. 恒小于0 C. 恒大于0 D. 和0的大小關系不確 定第R卷（非選擇題，共100分）、填空題：（本大題5個小題，每小題5分，共25分）各題答案必須填寫在答題卡相應位置上，只填結果，不要過程）。11.如圖，直三棱柱 ABCABG中，AA =AB=2,BC=1, AB -L BC ,則該三棱柱的側面積為 。C12.（原創(chuàng)）如圖所示的“趙爽弦圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個邊長為 2的大正方形，若直角三角形中較小的銳 n 角口 =一,現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正6方形內的概率是。 TOC o 1-5 h z 32.已知函數(shù)f（x）

6、= -x +ax -x-1在（-,）上是單倜減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 O.如圖，平面 ABCD _L平面ABEF ,四邊形 ABCD是正方形，四邊形 才ABEF是矩形，且AF =；AD =a , G是EF的中點，則GB與平面/AGC所成角的正弦值為 。m/rF G E.（原創(chuàng)）已知拋物線 x2 =2py（p 0）的焦點為F ,頂點為O ,準線為l ,過該拋物線上異于頂點 O的任意一點 A作AA，l于點A，以線段 AF, AA為鄰邊作平行四邊形AFCA ,連接直線AC交l于點D ,延長AF交拋物線于另一點 B 。若AAOB的面積為S&OB，ABD的面積為S曲BD，則（s.aob）的最大值為S

7、 Abd三、解答題：（本大題6個小題，共75分）各題解答必須答在答題卷上相應題目指定的方框內（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）。.（本小題滿分13分）已知一條曲線C在y軸右側，C上每一點到點F （1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。（1）求曲線C的方程；（2）設直線l交曲線C于A, B兩點，線段AB的中點為D（2, -1）,求直線l的一般式方程。.（本小題滿分13分）如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，且 PD _L AD, PD _L DC , PD=3,AD=2,若 MN分別是AB、PC的中點。(1)求證：MN _L DC ;(2)求點M到平面PAC的距離。1312.

8、(原創(chuàng))(本小題滿分13分)已知二次函數(shù) f(x) = -ax +bx 6x+1(xWR), a,b 32為實常數(shù)。(1)若a =3,b = 3時，求函數(shù)f(x )的極大、極小值；(2)設函數(shù)g(x) = f(x)+7 ,其中f(x)是f (x )的導函數(shù)，若g(x)的導函數(shù)為g(x),g(0)0, g(x)與x軸有且僅有一一個公共點，求1)的最小值。g (0).(本小題滿分12分)如圖，在AABC中，/C=90, AC = BC=a,點P在邊AB上，設 AP = XPB(?.0),過點 P 作 PE / BC 交 AC 于 E ,作 PF / AC 交 BC 于 F 。沿 PE 將APE翻折

9、成 MPE,使平面APE _L平面ABC ；沿PF將&BPF翻折成AB,PF ,使平面BPF _L 平面 ABC。(1)求證：BC 平面APE ；(2)是否存在正實數(shù) 九，使得二面角C - AB-P的大小為90?若存在，求出入的值;若不存在，請說明理由。20.(原創(chuàng))(本小題滿分22一 ，一一-x y一、 -一12分)如圖，已知橢圓C：F+y =1(a b A0)的離心率是 a b21.(原創(chuàng))(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)=+lnx,其中a為實常數(shù)。x(1)討論f (x)的單調性；(2)不等式f(x)至1在xw (0,1上恒成立，求實數(shù) a的取值范圍； TOC o 1-5 h z . 1(

10、3) 右 a=0, 設 g(n =一十一+11十_,3 n123. n -1-.h(n) = + + +111 + 3- (n 2,n= N。是否存在實常數(shù) b ,既使 g(n) - f (n) b 234 n又使h(n) f(n+1)0),化簡得 y2 =4x(x 0)。(或由定義法) 設 A(x1,y1),B(x2,y2),由（2=鈦11區(qū)=4乂2川得：（y +丫2）（必y2） =4（x1 x2）,由于易知1的斜率k存在,故(V +y2)y1 f =4,即2k =4,所以 k = 2,故 1 的一般式方程為 1:2x+y3 = 0。x _ x2.(本小題滿分13分)解：如圖建系，則 D(0

11、,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,3),則3 M (2,1,0), N(0,1,-)o2-f3 *(1)法一：MN =(2,0,), DC =(0,2,0)2-1 -3- MN DC =(2,0,) (0,2,0) = 0,，MN _L DC。 2法二：三垂線定理。4(2)法一：設n=(x,y,z)為平面PAC的一個法向量， TOC o 1-5 h z T-IPA = (2,0, -3),PC =(0,2, -3),n PA =0 I2x-3z =03z由加 =4=x=y = ,nPC=0 2y-3z=02取 z =2,則 x = y =3,

12、n =(3,3,2) , MA = (0,-1,0),n MAI 33石2 一一322d = 一4! = =,點 M 到平面 PAC 的距離為 。n 2222222法二：體積法。18. (本 小 題 滿 分 13 分) 解： (1)33 2_ 2f(x)=x x -6x 1,. f(x)=3x 3x6=3(x 1)(x 2),2令 f (x) = 0 ,工4=-2,x2 =1,x(-00, -2)-2(-2,1)1（1,收）f(x)+00+f(x)E極大值極小值f極大值=f (-2) = 11 , f極小值=f (1) = 一 2(2) g(x) =ax2+bx -6+72二 axbx 1(a

13、 = 0), g (x) = 2ax b, g (0) = b 0 ,2 ,- b.： -b - 4a =0=- a =法一:g(1) a b 1 a 1g(0)4彳b1彳人 b14- + 1 =一十一十1，令 h(b) =一 + +1,b A0, b 4 b4b11,一，c，_,.一 ,h(b) =- ,令 h(b) = 0,又bA0,則b=2,當bw2 時，h(b) 0,當 bw (2,y)時, 4 bh(b) .0,. h(b)min =h(2)=21/ c+ +1=2。g(1)g (0)min = 2。法二:g(1)g(0)j.1 +1+12 2Jb- +1=2,4bb =2,.(g(

14、1)g (0)19.（本小題12分）解：（1）法一：以C為原點,CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面 ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖,P(x, y,0),BC/平面 APE。則 C(0,0,0), A(0, a,0), B(a,0,0) 設AP = PB = (x, y -a,0) = (a -x, -y,0)a aa a ,(_-,-7,0)從而 E(0, 3,0), F(3,0,0), , 1-,11a aa a 、于正 A (0,二 , 二 ),B (-,0,二 ), TOC o 1-5 h z 1 1 1 1- :/1.”1一 . a 一平面A PE的

15、一個法向重為CE =(0,0),：. 1a a又 CB =(a-,0,-a-) , CB CE=0,從而, 1, 1法二：因為FC / PE , FC S平面APE ,所以FC 平面APE ,因為平面 APE，平 面ABC，且 A E _L PE ,所以 A E _L平面 ABC .同理， B F _L平面 ABC ,所以B F / AE,從而BF /平面APE .所以平面 BCF /平面APE ,從而BC/平面A PE o（2）解：由（1）中解法一有： 濕=（0,二-,二邑），AB=（a-,_-,（1）, TOC o 1-5 h z , 1 .-1-1；1-1 a a1BP=（0, ，一）。

16、可求得平面CAB的一個法向量m = （一,九,一1）,平面PAB的，. +1+11T 4 c 口r 1八 2.一個法向量n=（1,1,1）,由m n = 0 ,即一十九一1 = 0 ,又九a0 ,九一九+1= 0 ,由于九 = 3 0 , c =1,j. a = 72, b =1 ,橢圓2C : 二 + y2 =1, 2且 D(2,0)。；Q(2,2k+m),設 P(x0,y。)，由2(kx m)22_2_22_2_= xy = kx m2xq2+ y =1 +2(kx + m)2 =2=(2k2 +1)x2 +4kmx + 2m2 -2 = 0,.222222 .122由于 A=16k m

17、-4(2k +1)(2m 2) = 0= 2k -m +1=0= m =2k +1 (*),而由韋達定理:-4km2x0 = 22k 1-2km 由(*) z , x022k 1-2km 2k=一2,m m2k212k 1J.y0=kx0+m = -+m=，J.P(,),mmm m設以線段PQ為直徑的圓上任意一點M(x, y),由 MP MQ = 0有2k1o o 2k12k(x 一)(x -2) (y - 一)( y -(2k m) = 0= x y (一 - 2)x (2k m )y (1 - 一)mmmmm由對稱性知定點在 x軸上，令y = 0,取x=1時滿足上式，故過定點K（1,0）。

18、21.（本小題滿分12分）解：（1）定義域為（0,y）（x）=耳+1 =二襄， x x x當 aw0 時，Vx0,A x-a0,A f x）0,f （x）在定義域（0,）上單增；當 a 0 時，當 x a 時，f（x）0, f （x）單增；當 0 x a 時，f（x） -xln x +xmax,xw (0,1,令 g(x) = xln x +x, x (0,1,1. 一 一g (x) = ln xx +1 = ln x 之 0(x = (0,1)，: g(x)在 x= (0,1上單增, x二 g(x)max =g(1) = 1,，a *1 ,故 a 的取值范圍為1,y)。11 . 1（3）存在

19、，如b=0等。下面證明：1十一十一十|十一a ln n （n之2,nN+） 2 3 n一 123. n -1及+ + +HI +3-ln n (n = N+),注意 ln n = ln + ln +| + ln,2 3 n12n -11 k1這只要證 ln =ln(1+) (k=2,3/l|n) (*)即可，k -1 k -1 k -11谷易證明x ln(1 +x)對x 0恒成立(這里證略)，取x =(k 2)即可得上式成立。k -111讓k =2,3, |,n分別代入(*)式再相加即證：1+-十|十a ln n (ne N+),3 n -111.1111.1于是 1 十一 + +IH+ -1 十一十 十| + ln n (n w N+)。2 3 n -1 n 2 3 n -1再證-2.3巾23 33 43n3：二 ln( n 1) (n -2,nN+),Y.2 A .iL,23 33 43n3；ln(n 1) (n _2,n N ) TOC o 1-5 h z ,11、 ，11、 ，1111、 1、 1、 1 1、之(市-亍)(9-T3) ( 23)山(23 ) : ln(1 ) ln(1 -) ln(1 ,三)川1n(1)223344n n123n111111,11111,1=(/3) - ( 2 -73) - (72 -Z?) - Ilf