1、信號與系統(tǒng)課程目錄 課程目錄第1章 緒論第2章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析第3章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第4章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析第5章 離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析第6章 離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析第7章 離散時間信號與系統(tǒng)的Z域分析2022/7/242第6章 離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析6.1 引言6.2 周期序列的離散時間傅立葉級數（DFS）6.3 非周期序列的離散時間傅立葉變換（DTFT）6.4 周期序列的離散時間傅里葉變換6.5 離散時間傅里葉變換的性質6.6 離散傅里葉變換（DFT）6.7 離散傅里葉變換的性質6.8 用離散傅里葉變換近似分析連續(xù)時間信號6.9

2、 離散時間系統(tǒng)的頻域分析6.10 應用實例電力系統(tǒng)諧波分析習題第6章 離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析6.1 引言2022/7/245離散時間信號和系統(tǒng)的頻域分析，基本內容包括：周期序列的離散時間傅立葉級數（DFS）非周期序列的離散時間傅立葉變換（DTFT）周期序列的離散時間傅立葉變換（DTFT）離散傅立葉變換（DFT）用離散傅立葉變換近似分析連續(xù)時間信號離散系統(tǒng)的頻域分析應用實例6.2 周期序列的離散時間傅立葉級數（DFS）2022/7/246線性時不變系統(tǒng)分析的重要任務之一，就是要求取系統(tǒng)對于任意激勵信號的響應，為此，需要將任意信號表示成基本信號的線性組合。線性時不變系統(tǒng)對基本信號的響應一般都

3、是非常簡單的，根據系統(tǒng)的線性特性，表示成基本信號的線性組合后的任意信號的響應，也就非常容易得到。時域分析法中，選用的基本信號是單位沖激信號，在頻域分析法中，將選用虛指數信號作為基本信號，也就是要將任意信號表示成虛指數信號的線性組合。這就是傅里葉表示。2022/7/247對于離散時間信號x(n)，如果滿足：x(n)=x(n+rN)，r為整數 （6-1）則稱x(n)為周期信號，且其周期為N（N為正整數）。虛指數序列 是一個周期為N的周期序列。將所有周期為N的虛指數序列組合起來，可以構成一個信號集： ， （6-3）在 中，由于虛指數序列的周期性而只有N個獨立信號，因此，可以用信號集 中的N個獨立的虛

4、指數序列的線性組合來表示一個任一的周期序列，這就是離散傅里葉級數表示。6.2.1 DFS變換式2022/7/248 (6-4)求取DFS的系數 : 對（6-4）式兩邊同乘 ，并在一個周期內對n求和：可以證明：故： （6-7）（6-7）式為DFS正變換式，（6-4）式為DFS反變換式。6.2.1 DFS變換式6.2.1 DFS變換式2022/7/249例6-3： 求周期序列 ， （a為小于1的常數）的傅里葉級數分解。解：由式（6-7）有2022/7/2410 是以N為周期的DFS的系數 的這一特性與連續(xù)時間周期信號的頻譜有著根本的不同。 k從0到N-1的取值部分，稱為主值周期。 離散時間傅里葉級

5、數的周期性表明，離散時間周期信號可以而且只能分解為有限個虛指數序列的線性組合，因此其不存在收斂性問題。 由于k只能取整數，因此，周期序列的頻譜具有離散性。(2)(3)6.2.2 DFS頻譜系數的特征 2022/7/2411 通常，DFS的頻譜系數 是一個關于k的復函數，當xN(n)為實周期序列信號時，由（6-7）式易得：說明， 的實部是k的偶函數，其虛部是k的奇函數。說明， 的模是k的偶函數，其幅角是k的奇函數。6.2.2 DFS頻譜系數的特征 2022/7/2412設周期矩形序列：如圖6-1所示6.2.3 周期矩形序列的頻譜6.2.3 周期矩形序列的頻譜2022/7/24131： 時：202

6、2/7/24142： 時：即周期矩形序列的頻譜為：6.2.3 周期矩形序列的頻譜2022/7/2415 n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;k=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;Xk=x*WN.nk/N; %計算DFS系數X(k) subplot(2,1,2);stem(k,Xk,b); %繪制X(k)圖xlabel(k);title(X(k):N=20,N1=2);grid on;hold on;plot(k,Xk,r); %繪制X(k)包絡圖hold off;6.2.3 周期矩形序列的頻譜例

7、%Matlab代碼：周期矩形序列頻譜N=20;N1=5;n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;f0=zeros(1,N-N1);f1=ones(1,N1);x=f0,f1,f0,f1,f0,f1,f0 ;%產生x(n) subplot(2,1,1);stem(n,x); %繪制x(n)圖xlabel(n);title(周期矩形序列x(n):(N=20,N1=2);axis(-40 40 -0.0 1.1);2022/7/24166.2.3 周期矩形序列的頻譜現(xiàn)在，我們來考查 xN(n)的參數對其頻譜的影響。首先，固定半脈寬 =2不變，改變周期N。分別取N=10、20、4

8、0，可分別得其頻譜圖如圖6-2所示：2022/7/24176.2.3 周期矩形序列的頻譜 由圖6-2可見，由于 不變，頻譜的正/負峰的個數也不變，都等于 個。而隨著周期N 的增大，一個周期內譜線的數量增多，譜線的間隔減小，且譜線的幅度也減小。 可以預見，當周期N趨于無窮大時，周期序列將變?yōu)榉侵芷谛蛄?，一個周期內譜線的數量無窮增多，譜線的間隔無窮減小，離散頻譜將變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也無窮減小。 再看，固定 xN(n) 的周期N=40不變，改變半脈寬 ，分別取 N1 =2、3、4，可分別得其頻譜圖如圖6-3所示：6.2.3 周期矩形序列的頻譜2022/7/2418 由圖6-3可見，由于周期N

9、不變，一個周期內譜線的數量不變，也即譜線間隔不變，而隨著半脈寬 N1 的增大，正/負峰的個數增加，也即頻譜包絡的主瓣寬度變窄，說明信號的有效帶寬變窄，且幅值增大。2022/7/2419 在6.2.3節(jié)討論周期矩形脈沖序列的頻譜中已經看到，當脈沖寬度不變而增大周期時，其譜線間隔及其幅值都隨之減小，但頻譜的包絡形狀仍保持不變。 當周期N趨于無窮大時，周期序列將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?，其譜線將變得無限密集，離散頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)頻譜，且譜線的幅度也趨于無窮小量。 因而還用離散時間傅立葉級數來表示其頻譜顯然是不合適的。為此，需要建立非周期序列的傅里葉表示，此即離散時間傅立葉變換（DTFT）。6.3 非周期序列

10、的離散時間傅立葉變換2022/7/2420設 是周期為N的周期序列，當其周期N趨于無窮大時，將演變?yōu)榉侵芷谛蛄?，有：根據DFS的定義式有：即：?。?有： 可得： （6-18）即為非周期序列的離散時間傅立葉正變換式。6.3.1 離散時間傅立葉正變換2022/7/24216.3.1 離散時間傅立葉正變換 由 有：可見： 表示的是單位頻帶內的幅值，是頻譜密度函數。又： 可見： 是以為變量的周期為 的連續(xù)周期函數。通常把區(qū)間 稱為的主值區(qū)間。且有：非周期序列的頻譜具有連續(xù)性的特性。比較（6-7）與（6-18）式可見： （6-20） 即：周期序列離散時間傅里葉級數的系數 就是與其對應的非周期序列離散時

11、間傅里葉變換 在 點 處的抽樣值。 幅值頻譜和相位頻譜。6.3.2 離散時間傅立葉反變換2022/7/2422由DFS反變換式有：利用（6-20）式有：取 有： 即： （6-21） 即為非周期序列的離散時間傅立葉 反變換公式。連續(xù)時間周期信號、連續(xù)時間非周期信號、離散時間周期信號、離散時間非周期信號的傅里葉表示式，在時域和頻域上，均具有周期性和離散性、非周期性和連續(xù)性的對于關系，規(guī)律如下： 時域周期 頻域離散 時域非周期 頻域連續(xù) 時域連續(xù) 頻域非周期 時域離散 頻域周期6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換2022/7/2423（1） 矩形脈沖序列矩形脈沖序列為：由定義式有：2022

12、/7/2424%Matlab代碼：矩形脈沖序列的DTFTN1=2;n=-N1:1:N1;x=1.n;%產生x(n)dt=2*pi*0.001;w=-4*pi:dt:4*pi;X=x*exp(-j*n*w); %計算DTFTx(n)6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換subplot(2,1,1),stem(n,x,.);%繪制x(n)axis(-10, 10, -0.3, 1.3);title(x(n);xlabel(n);subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);grid; %繪制X(j)title(X(j);xlabel(/pi) ;2022/7/2425（2） 單邊

13、指數序列6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換單邊指數序列為：2022/7/2426（3）雙邊指數序列6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換雙邊指數序列為：此信號為n的奇函數，由定義式有：2022/7/2427（4） 單位樣值序列6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換2022/7/24286.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換（5） 常數序列2022/7/2429（6） 符號函數序列可視為雙邊指數序列當a趨于1時的極限。故：6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換6.3.3 典型非周期信號的離散時間傅里葉變換（7） 單位階躍序列由于：有：2022/7/24

14、302022/7/2431由非周期序列的離散時間傅里葉變換定義式可知，由于任一離散時間周期信號均不滿足絕對可和條件，因而無法求得其離散時間傅里葉變換。6.4 周期序列的離散時間傅里葉變換對離散時間周期序列， 將其表示成離散時間傅里葉級數的形式，即式（6-4）式中， 為周期序列的離散時間傅里葉級數系數，由式（6-7）有6.4 周期序列的離散時間傅里葉變換2022/7/2432由：考慮連續(xù)域里： 在離散域情況下，時域的離散化導致頻域的周期化，周期為2，因此，可以期望，離散域虛指數序列 的傅里葉變換應該是在 處的沖擊。這里，我們把 視為序列長度為無限長的離散時間非周期序列，同樣把 也視為序列長度為無

15、限長的離散時間非周期序列，欲求周期序列的離散時間傅里葉變換，可對式（6-4）的級數展開式兩邊取離散時間傅里葉變換，這要遇到求虛指數序列 的離散時間傅里葉變換的問題。2022/7/24336.4 周期序列的離散時間傅里葉變換即： （6-36） 其序列及其頻譜圖如圖6-11所示。為了驗證（6-36）式的正確性，對其求反變換：2022/7/24346.4 周期序列的離散時間傅里葉變換（6-38）6.4 周期序列的離散時間傅里葉變換2022/7/2435利用（6-38）式，可對（6-4）式求離散時間傅里葉變換：對右邊，將l的求和打開看，當l = 0時：當l = 1時：6.4 周期序列的離散時間傅里葉變

16、換2022/7/2436同理可得6.4 周期序列的離散時間傅里葉變換2022/7/2437（6-40）故：這就是周期序列的離散時間傅里葉變換式。（6-40）式表明：周期序列 的離散時間傅里葉變換是由一系列沖激組成，各個沖激僅出現(xiàn)在基波頻率的各次諧波頻率點上，位于 處的沖激強度為由于傅里葉級數的系數 是以N為周期的，所以，也是一個周期等于N的周期函數。2022/7/24386.4 周期序列的離散時間傅里葉變換（6-41）式（6-40）與連續(xù)時間周期信號的傅里葉變換式完全對應，其含義也相同?？疾熘芷谛蛄械碾x散時間傅里葉級數 與單周期序列的離散時間傅里葉變換 之間的關系，可知 既可以用DFS的定義式

17、求取，又可以由DTFT變換式求取，比較式（6-7）與式（6-18）可得：2022/7/2439 離散時間傅里葉變換同樣有類似于連續(xù)時間傅里葉變換的眾多的性質，這些性質不僅能深刻揭示變換的本質，而且對于求取信號的正反變換具有重要的作用。 離散時間傅里葉變換的許多性質與連續(xù)時間傅里葉變換既基本相同，又存在明顯的差異，因此，要特別注意它們的相似之處和不同之處。6.5 離散時間傅里葉變換的性質 離散時間信號x(n)的離散時間傅里葉變換 對來說是周期性的，且周期為2，即： 這一點與連續(xù)時間傅里葉變換有著本質的區(qū)別。6.5.1 周期性6.5.2 線性若：則：（6-43）6.5 離散時間傅里葉變換的性質20

18、22/7/24406.5.3 奇偶性設x(n)為實序列，由DTFT的定義式（6-18）有：x(n)的共軛的DTFT為：由于x(n)為實序列，故有： （6-44）將（6-43）式兩邊寫成實部與虛部的形式，有：即：實部是的偶函數，虛部是的奇函數。同理：幅度頻譜是的偶函數，相位頻譜是的奇函數。6.5 離散時間傅里葉變換的性質2022/7/2441式（6-47）說明，序列時移后，其幅度頻譜保持不變，僅相位頻譜附加了一個線性相移。（6-47）6.5.5 頻移特性式（6-48）說明，序列的頻移對應于時域的調制。（6-48）6.5.4 時移特性6.5 離散時間傅里葉變換的性質2022/7/2442若：則：式（6-50）表明，序列的時域卷積，對應于序列頻域的乘積。在求取線性移不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時，可將時域卷積運算轉化為頻域的乘積運算來求解。（6-50）6.5.6 時域卷積特性 進一步利用歐拉公式和傅里葉變換的線性特性，可方便得到 、 的離散時間傅里葉變換。 利用這一性質，可以很方便地求取虛指數序列的離散時間傅里葉變換。（6-36）6.5 離散時間傅里葉變換的性質2022/7/2443若：則：由DTFT定義式有：上式右端正好為 與 的卷積，由于它們都是以2為周期的周期函數，卷積的積分區(qū)間是在一個2區(qū)間內進行，其