1、【最新整理，下載后即可編輯】【最新整理，下載后即可編輯】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達定理，其逆定理也成 立，它是由16世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的.它揭示了實系數(shù) 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，它形式簡單但內(nèi)涵豐富，在數(shù) 學解題中有著廣泛的應用.【知識要點】+ =.如果方程窗，+ c = 0（aWO）的兩根為X,啊，那么X， a ,這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.如果兩個數(shù)的和為m,積為n,則以這兩個數(shù)為根的一元二 次方程為X，-加黑+盟=0 .若已知一元二次方程的一個根，可不直接解原方程，利用根 與系數(shù)關(guān)系，求出另一根.求一元二次方程根的對稱式的值，關(guān)鍵在于利用兩根和及兩 根積表

2、示所給對稱式.當一元二次方程&，+以+匕=o （a w。）有兩根乙 ,全時：若 Q&勺叼二則方程有一正一負根；若勺+嗎=: 勺40,則方程有兩個正根；（3）若土勺=4p,故a-B=后,-a=-歷.7 TOC o 1-5 h z 8 = _ + 3/./十 6 = 2 1 + 1令 S ,從而十3（修十/）=3空0十30。十夕）=BZ + 3n33= 100孑 aff84-5 = 2 1-1 ”-=告? 乂。* 於郃-吟(a 0)a=2 + 3乂”(-而)=-竺而，84” .+的+ (R 7).0。二里=40”利屈：.2214 4 J 8題 4 (2000 江蘇)已知 3命- -5=0, 5M2

3、42M - 3 = 0,其中 m, n 分析 根據(jù)兩個方程系數(shù)的特點，可作恰當?shù)淖冃危箖蓚€方程 具有相同的結(jié)構(gòu).把兩個變元看成關(guān)于某個字母的一元二次方 程，然后用根與系數(shù)關(guān)系來求值.為實數(shù)，則1 m- n解由已知等式可變形成9. 3-2-5=03商- 2陽-5 = 0與M 閥 ,1由于m, 7的關(guān)系沒有給定，故應分兩種情況：= 1 m- =0當 力時，冷;1當海工7時，可知m, 7是方程3-2工7 = 0的兩個根，則由根與系數(shù)關(guān)系1 215陰 + _ = 加，_ = 一得 n 3 , n 3 .制 = 0 三 綜合，得盟或5.題5 (1996 江蘇)設(shè)/-陰+ -0的兩個實根為a, R,求以

4、d, 小為根的一元二次方程；若以小 ,23為根的一元二次方程仍是- -。左+ 3 - 3P 力 Kt / _ 0 ；-功q = p,q，7,則P0,2 , 20g01一 1根據(jù)七種情況的值依次得以下七個方程：X2 = 0 , X2 -x=0 , X2 + X = 0 , X2 +1 = 0 , X2 - 2x+l = 0 , x2 +2x-H = 0 , x2 -1 = 0 .其中僅M+1 = 0無實數(shù)根，舍去.故所有這樣的一元二次方程有六個，分別為：x2 = 0 ,差2一人=0, x2 + x = 0 , x2 - 2x+l = 0 , x2 +2r + l = 0 , x2 -1 = 0

5、.題6 （2000 全國）設(shè)關(guān)于x的二次方程e+（2小2 -6太-4）k-1+4 = 0的兩根都是整數(shù).求滿足條件的所有實數(shù)k的值.分析根據(jù)方程系數(shù)的特點，可先用十字相乘法求出方程兩根， 然后利用兩根都是整數(shù)設(shè)法先消去是求得兩根后，再求出是的 值.解原方程可化為（七一4）（太一2）/ 十（2兌2 - 6兌-4）/一次- 2）（4 + 2） = 0 .（k-4）（k-2）ro,.解得方程兩根為勺一匕一一上 叼=小=一一二. TOC o 1-5 h z 方一4-4 , 2 k-2k-24上 一4 = - 上 一 2 = -.（Z, h 1 7,-1）甬+1,1,消去 k,得種2 + 3勺 + 2

6、=0 ,占（穴z+3）= -2.由于勺，上都是整數(shù)，故-212XI-2-5-4對應的k的值分別為6, 3, T.【方法指引】.構(gòu)造對偶式法.對一個已知代數(shù)式或一個已知命題，我們構(gòu) 造一個與之對應的代數(shù)式或?qū)拿}，然后一起參與運算（通 常是加、減、乘、除），從而使問題獲得巧解.這種方法稱為構(gòu)造對偶式法.常用的構(gòu)造方法有利用倒數(shù)關(guān)系、有理化因式、配 對等.解一元二次方程的整數(shù)根問題的基本方法有：直接求解法.若根可用有理式表示，則先求出根，再結(jié)合整除 性求解.利用判別式法.在二次方程有根的前提下通過判別式確定字母 或根的范圍，運用枚舉法討論，不等式分析求解.(3)運用根與系數(shù)的關(guān)系.由根與系數(shù)的

7、關(guān)系得到待定字母表示的 兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過因式分解和整數(shù)性質(zhì) 求解.(4)巧換主元法.若運用相關(guān)方法直接求解困難時，可選擇換主元 的方法，結(jié)合整除知識求解.箕周和習【綜合能力訓練】. AABC的一邊長為5,另兩邊長恰好是方程2i2x+ = o的兩 根，那么m的取值范圍是.設(shè)4 ,穴2是方程/-2際+ 1 +畫+2) = 0的兩實根，且 5+1收+1) = 8,則k的值是 ()(A)-3 或 1 (B)-3_1(C)l(D)不小于5的一切實數(shù)y / v 4- = I.若方程”2 的兩根為以仇它也是方程/+p/+q=。的兩個根，則p=.a.若 abWl,且有5黯+20019 =

8、 0 ,及9/+ 20013 + 5 = 0 ,則 M 的值 是()952001_ 2001(A)? (B)5 (Q 。)一 丁.在 RtAABC 中，/ C = 90，若 sinA 和 sinB 是方程/旗 f = o的兩根，求NA和/B的度數(shù)及k的值.求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于 62 +（化+1）工+上- 1=0的根都是整數(shù)。關(guān)旖詡定伯亞信用高答筐!。.前參考答案【綜合能力訓練】,=m1 .設(shè)另外兩邊長為a、b,則&+方=6, T ,因為a, 所以20,即（-12）2 - 42為必之。，/. 18.由三角形兩邊之差小于第三邊，有a-b=- 4ab = ,36 一 2 雨 5 ,36-2掰 5,故m的取值范圍為5（加”:2 .由根與系數(shù)關(guān)系得勺+ % = 2（上+ 1）,%西-，（X + 1X2 + 1）= XX2 +（勺 + 電）+1 =大2 + 2 + 2（太十 1）+ 1 =+ 2比 + 5. 由題意得/+2歸+5 = 8 ,廨得用=-3 ,%=1。而當上=-3時, 無實數(shù)根，舍去；當a=1時，方程的兩個實數(shù)根為1（C）Oo , V3 n y /x + = （I.由外/是方程 2 的兩根得口十，的了，/+/= +加-2胡=4-出.由外。是方程X，+ p + O = 0的兩根，得夕.十p夕2十 一 0