1、 第2章 氣體動(dòng)理論 統(tǒng)計(jì)方法的一般概念1. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律- 大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律.加爾頓板實(shí)驗(yàn):單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)-偶然事件 (落入那個(gè)槽)大量粒子運(yùn)動(dòng)-統(tǒng)計(jì)規(guī)律(粒子在槽中的分布)1單個(gè)粒子遵循牛頓定律;大量粒子遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律 - 牛頓運(yùn)動(dòng)定律無(wú)法說(shuō)明統(tǒng)計(jì)規(guī)律特點(diǎn):(2) 是與單個(gè)粒子遵循的動(dòng)力學(xué)規(guī)律有本質(zhì)區(qū)別的新規(guī)律.(3) 與系統(tǒng)所處宏觀條件有關(guān).(4) 存在起伏(漲落) .2. 概率的定義 實(shí)驗(yàn)總觀測(cè)次數(shù)為N ,其中出現(xiàn)結(jié)果 A 的次數(shù)為 NA 事件A 出現(xiàn)的概率 (1) 對(duì)大量偶然事件有效, 對(duì)少量事件不適用。不矛盾23. 概率的基本性質(zhì)(1) W=0為不可能事件; W=1為必然事件.

2、(2) A,B為互斥事件,不可能同時(shí)出現(xiàn),則出現(xiàn)A或B的總概率:- 概率疊加原理歸一化條件: 對(duì)所有可能發(fā)生的事件的概率之和必定為1.或(3) J,K為相容事件(可同時(shí)出現(xiàn) ），則同時(shí)發(fā)生J和K的概率.- 概率乘法定理34.平衡態(tài)是概率最大的狀態(tài)a b c d 4個(gè)可分辨熱運(yùn)動(dòng)粒子，在等容體A,B兩室中：（中間隔板打開(kāi)）ABABa b c da b cda b dca c dbb c daa b c da cb db ca da b c da cb cb da da b ca b da c db c ddcbaa b c d14641(平衡態(tài)概率最大)42.1 理想氣體壓強(qiáng)思路: 壓強(qiáng)由大量氣

3、體分子不斷碰撞容器壁而產(chǎn)生. 壓強(qiáng)為大量氣體分子在單位時(shí)間內(nèi)作用在器壁 單位面積上的平均沖量.建立理想氣體微觀模型利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)利用統(tǒng)計(jì)規(guī)律處理大量粒子的行為得到理想氣體壓強(qiáng)公式推導(dǎo):理想氣體微觀模型.(1)氣體分子看成質(zhì)點(diǎn)(2)除碰撞外,忽略其它力(3)完全彈性碰撞5速度在的分子一次碰撞ds后的動(dòng)量變化為dt時(shí)間內(nèi),凡是在底面積為ds, 高為vixdt 的斜柱體內(nèi), 的分子都能與 ds 相碰.這些分子作用于 ds 沖量為 推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式用圖vividsxvivivi =2vix而且速度在dt內(nèi)各種速度分子對(duì)ds 的總沖量為:vdsxvixdt6因而 壓強(qiáng)由于所以其中

4、為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能這些分子作用于 ds 沖量為dt內(nèi)各種速度分子對(duì)ds 的總沖量為:平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運(yùn)動(dòng)都不占優(yōu)勢(shì)7推導(dǎo)中用到的統(tǒng)計(jì)概念和統(tǒng)計(jì)假設(shè):分子以各種方向入射角去碰ds的概率相同平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運(yùn)動(dòng)都不占優(yōu)勢(shì)，因而有:討論: 壓強(qiáng)公式將宏觀量 p 和微觀量 nii 的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系在一起 注意推導(dǎo)中的思維方法 氣體分子相互碰撞時(shí),一個(gè)分子失去多少動(dòng)量必有另一個(gè)分子得到相同的動(dòng)量. 分子相互碰撞導(dǎo)致分子與ds碰撞的次數(shù)增加和減少的機(jī)會(huì)是相同的, 推導(dǎo)未考慮分子間的相互碰撞.8 溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度, 具有統(tǒng)計(jì)意義.2.2 溫度的微觀意義溫度反映了組成系統(tǒng)

5、的大量微觀粒子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度，92.3 能量均分定理 自由度:氣體分子： 單原子（看作質(zhì)點(diǎn)） 3個(gè)平動(dòng)自由度雙原子 3個(gè)平動(dòng)自由度(質(zhì)心), 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度(聯(lián)接方式)剛性 5個(gè)自由度（無(wú)振動(dòng)）非剛性 6個(gè)自由度(1個(gè)振動(dòng)自由度)確定一個(gè)物體的空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)ox yzC(x,y,z)多原子3個(gè)平動(dòng)自由度, 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，若干個(gè)振動(dòng)自由度ox yzC(x,y,z)10能量均分定理: 在溫度為 T 的平衡態(tài)下, 分子每一個(gè)可能的自由度都占有相同的能量 kT/2. 設(shè)分子有 t 個(gè)平動(dòng)自由度, r 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度, s 個(gè)振動(dòng)自由度, 由于每個(gè)振動(dòng)自由度又占有振動(dòng)動(dòng)能和振動(dòng)勢(shì)能 2

6、 份能量, 該分子的平均能量為:理想氣體(剛性分子), S=0, 則單原子雙原子多原子( i= t + r + 2s )常溫下例：粒子的平均平動(dòng)動(dòng)能11理想氣體內(nèi)能:1mol理想氣體分子數(shù)為 NA , 內(nèi)能為:質(zhì)量為 m的理想氣體內(nèi)能為:分子的平均能量為:( i= t + r + 2s )12一 等概率假設(shè)處在平衡態(tài)的孤立體系, 其可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等 - 平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ) 如果可能微觀態(tài)總數(shù)為 ，則系統(tǒng)的任意微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 1/ : 系統(tǒng)自發(fā)趨向于最概然分布求經(jīng)典粒子（例：氣體分子）按能量的最概然分布的思路:(1)求將N個(gè)粒子按 的各種量子態(tài)中去的可能占據(jù)的方式數(shù)分別放到能量

7、為（2） 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)2.4 麥克斯韋速率分布律（預(yù)備知識(shí)）13能級(jí)上每個(gè)量子態(tài)被占據(jù)的概率討論過(guò)程中要用到等概率假設(shè)和約束條件約束條件: 孤立體系(1)求將N個(gè)粒子按 的各種量子態(tài)中去的可能占據(jù)的方式數(shù)分別放到能量為（2） 求 取最大值的分布, 即最概然分布(3) 求在最概然分布下, 每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)14二. 麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì) ( M-B分布 )經(jīng)典粒子彼此可以區(qū)分, 每個(gè)量子態(tài)中的粒子數(shù)不受限制. 2個(gè)經(jīng)典粒子在3個(gè)量子態(tài)中的可能分布（共9種)(M-B分布)哈爾濱飛機(jī)火車(chē)汽車(chē)飛機(jī)火車(chē)汽車(chē)北京上海共有種方案（2個(gè)不同

8、粒子放入3個(gè)盒子，分2步完成。）2個(gè)不同色子扔下，先扔1個(gè)，再扔另1個(gè)，共62種狀態(tài)15 (2) 個(gè)粒子分別占用能級(jí) 的 個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式為因而 N 個(gè)可區(qū)分 粒子，分為 個(gè)粒子的組合方式為(3) Ni個(gè)經(jīng)典粒子分布在 能級(jí)的 個(gè)量子態(tài)上的占據(jù)方式為(1)16(2) 為使 極大, 令利用斯特令公式 因而y123x17由宏觀約束條件（3） 由宏觀約束條件確定 由拉格朗日乘子法原理18最后可得由可得經(jīng)典粒子按能級(jí)的最概然分布M-B分布理論和實(shí)驗(yàn)證明192.4 麥克斯韋速率分布律1. 麥克斯韋分子速度分布律 利用M-B分布可導(dǎo)出在沒(méi)有勢(shì)場(chǎng)情況下，理想氣體按速度的分布規(guī)律。 對(duì)理想氣體，在溫度T的平

9、衡態(tài)下:分子速度在的概率20利用212. 麥克斯韋分子速率分布律如果不考慮分子速度的方向，只考慮速度大小,由并對(duì)由 在T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在 v-v+dv 范圍 內(nèi)的概率速率分布函數(shù)- 概率密度麥克斯韋速率分布函數(shù)滿足歸-化條件:ovyvzvxv*220vf(v). .。銀蒸汽真空2.5 麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)銀相對(duì)厚度23vv2vp vv+dv f (vp)o f (v)v1討論:(1) f (v)曲線下面積的物理意義 寛度為dv的窄條面積:曲線下總面積:24（3） 最概然速率（最可幾速率）- f(v)-v曲線極大值所對(duì)應(yīng)的速率 vpvp 的物理意義： vp 附近概率密度最大（同樣速

10、率間隔dv, 速率在 vp - vp+ d v 的分子數(shù)最多)由及 f (vp)vp vv2vv+dvo f (v)v1（2） 由同理，25vo f (v)3 三種速率平均速率方均根速率最概然速率vp可以看出前面說(shuō)明是合理的26 2.6 重力場(chǎng)中粒子按高度的分布外力場(chǎng)中, 粒子在速度在的分子數(shù)對(duì)所有速度積分,由速度分布函數(shù)的歸一化條件,得得體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù):27用空間粒子數(shù)密度表示: n0為 Ep =0 處的粒子數(shù)密度重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中粒子按高度的分布- 恒溫氣壓公式28空氣密度氣體壓強(qiáng)可以看作單位面積上空氣柱重量由重力場(chǎng)中粒子按高度的分布另一種推導(dǎo)方法：29 分子熱運(yùn)動(dòng) 踫撞示意

11、圖2.9 氣體分子的平均自由程1. 分子平均踫撞頻率dddu分子平均踫撞頻率30 由于分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相同,所有兩分子運(yùn)動(dòng)方向的平均夾角將是 0至 180之間的平均值 90因此所以即每秒內(nèi)一個(gè)分子要發(fā)生幾十億次踫撞.分子平均踫撞頻率常溫常壓下, 數(shù)量級(jí)為 例：H2常溫常壓312. 平均自由程平均自由程: 分子在連續(xù)兩次踫撞間所通過(guò)的自由路程的平均值將 p=nkT 代入上式得分子平均踫撞頻率約為分子直徑10-10米的1000倍32*2.10 輸運(yùn)過(guò)程1.內(nèi)摩擦黏力內(nèi)摩擦系數(shù)（黏度）2.熱傳導(dǎo)熱量熱導(dǎo)率3.擴(kuò)散傳遞質(zhì)量氣體擴(kuò)散系數(shù)33物理意義？速率大于V1的速率平均值由例134vf(v)溫度T相同，哪個(gè)