1、項(xiàng)目二靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與位移計(jì)算 子項(xiàng)目二靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 1. 理解結(jié)構(gòu)位移的概念。 2. 了解引起結(jié)構(gòu)位移的原因。 3. 掌握位移計(jì)算的目的。 情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 學(xué)習(xí)能力目標(biāo)項(xiàng)目表述 建筑結(jié)構(gòu)在施工和使用過(guò)程中常會(huì)發(fā)生變形，由于結(jié)構(gòu)變形，其上各點(diǎn)或截面位置會(huì)發(fā)生改變，稱為結(jié)構(gòu)的位移。通過(guò)本項(xiàng)目介紹，使同學(xué)們能夠理解結(jié)構(gòu)位移的概念、了解引起結(jié)構(gòu)位移的原因和掌握位移計(jì)算的目的。學(xué)習(xí)進(jìn)程知識(shí)鏈接1結(jié)構(gòu)位移的概念 建筑結(jié)構(gòu)在施工和使用過(guò)程中常會(huì)發(fā)生變形，由于結(jié)構(gòu)變形，其上各點(diǎn)或截面位置會(huì)發(fā)生改變，這稱為結(jié)構(gòu)的位移。如圖 2 56a 所示的剛架，在荷載作用下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形如

2、圖中虛線所示，使截面的形心 A 點(diǎn)沿某一方向移到 A點(diǎn)，線段 AA稱為 A 點(diǎn)的線位移，一般用符號(hào) A 表示。它也可用豎向線位移 Ay 和水平線位移 Ax 兩個(gè)位移分量來(lái)表示，如圖 2 56b 所示。 情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 知識(shí)鏈接情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 知識(shí)鏈接2引起位移的原因 眾所周知，引起位移的原因主要是荷載作用。除此之外，溫度改變使材料膨脹或收縮、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的尺寸在制造過(guò)程中產(chǎn)生誤差、基礎(chǔ)的沉陷或結(jié)構(gòu)支座產(chǎn)生移動(dòng)等因素，均會(huì)引起結(jié)構(gòu)的位移。如圖 2 56a、圖 2 57a 所示，由荷載作用產(chǎn)生的位移。如圖 2 57b 所示，因溫度改變或材料脹縮產(chǎn)

3、生的位移。如圖 2 57c 所示，因制造誤差或支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移。 情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 知識(shí)鏈接3位移計(jì)算的目的 校核結(jié)構(gòu)的剛度。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中除了滿足強(qiáng)度要求外還要求結(jié)構(gòu)有足夠的剛度，即在荷載作用下（或其他因素作用下）不致變形太大，而影響正常使用。例如列車(chē)通過(guò)橋梁時(shí)，若橋梁的撓度（即豎向線位移）太大，則線路將不平順以致引起過(guò)大的沖擊、振動(dòng)，影響行車(chē)。 在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)施工與養(yǎng)護(hù)等過(guò)程中，也常須預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取相應(yīng)的施工措施，因此也需要計(jì)算其位移。例如圖 2 58 所示三孔鋼桁梁，進(jìn)行懸臂拼裝時(shí)，在梁的自重、臨時(shí)軌道、吊機(jī)等荷載作用下，懸臂部分將下垂而

4、發(fā)生豎向位移 fA，若 fA太大，則吊機(jī)容易滾落，同時(shí)梁也不能按設(shè)計(jì)要求就位。因此，必須先行計(jì)算 fA 的數(shù)值，以便采取相應(yīng)措施，確保施工安全和拼裝就位。 情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 知識(shí)鏈接 為計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和內(nèi)力時(shí)，只用靜力平衡條件是不夠的，還必須考慮變形條件，而建立變形條件就需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。因此，位移計(jì)算是超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的基礎(chǔ)。情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 項(xiàng)目實(shí)施如圖 259 所示剛架，在荷載作用下發(fā)生虛線所示的變形，截面 A 的角位移為A （順時(shí)針?lè)较颍孛?B 的角位移為B （逆時(shí)針?lè)较颍?，截?A、B 的相對(duì)角

5、位移是這兩個(gè)截面的角位移（方向相反）之和，即AB=A+B。同樣，C、D 兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移是這兩個(gè)點(diǎn)的水平位移（指向相反）之和，即 AB= A +B。情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 項(xiàng)目實(shí)施2梁的撓度 如圖 2 60 所示，在平面彎曲變形的情況下，梁的軸線 AB 在 xOy 平面內(nèi)彎成一條光滑而又連續(xù)的曲線 AB，稱為梁的撓曲線。梁任一橫截面的形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為該橫截面的撓度，用 y 表示。規(guī)定沿 y 軸正向（向下）的撓度為正，反之為負(fù)。實(shí)際上，橫截面形心沿軸線方向也存在線位移，但在小變形條件下，這種位移與撓度相比很小，一般略去。情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)

6、算的目的 項(xiàng)目實(shí)施情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 橫截面轉(zhuǎn)角即為角位移，規(guī)定以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。梁橫截面的撓度y和轉(zhuǎn)角都是隨截面位置x而變化，是x的連續(xù)函數(shù)，則梁的撓曲線方程為 y=y（x）在小變形條件下，轉(zhuǎn)角很小，兩者之間的關(guān)系為項(xiàng)目實(shí)施對(duì)梁的撓曲線微分方程分別積分一次和兩次，再由已知的位移條件來(lái)求出積分常數(shù)，便可得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，這種計(jì)算梁位移的方法稱為積分法。 3線彈性體系 本項(xiàng)目只討論線性彈性變形體系的位移計(jì)算，計(jì)算的理論基礎(chǔ)是虛功原理，計(jì)算方法是單位荷載法，同時(shí)可以應(yīng)用疊加原理。 線彈性體系是指位移與荷載呈線性關(guān)系的體系，當(dāng)荷載全部撤除后，位移將全部消失

7、。線彈性體系的應(yīng)用條件是： 材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 體系變形微小（小變形）。 情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 能力拓展如圖 2 61a 所示屋架，通過(guò)對(duì)比左右兩圖，運(yùn)用結(jié)構(gòu)位移的相關(guān)知識(shí)，可以解釋制作時(shí)為何通常將各下弦桿的實(shí)際下料長(zhǎng)度做得比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度要短些，這樣可以使屋架拼裝后，結(jié)點(diǎn) C 位于 C的位置（圖 2 61b）， 工程上將這種做法稱為建筑起拱。那么預(yù)先應(yīng)知道哪些位移量？ 情景一 引起結(jié)構(gòu)位移的原因及位移計(jì)算的目的 1. 理解變形體的虛功原理，能夠區(qū)分力狀態(tài)和位移狀態(tài)以及二者之間的獨(dú)立性。 2. 理解廣義力、廣義位移和實(shí)功、虛功的概念。 3. 正確理解結(jié)構(gòu)位移計(jì)

8、算的一般公式。 4. 能夠利用虛功原理，根據(jù)所求位移，假設(shè)出虛設(shè)的力狀態(tài)。 5. 能正確理解單位荷載法的基本原理。 學(xué)習(xí)能力目標(biāo)情景二 虛功原理及單位荷載法 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算是演算結(jié)構(gòu)剛度和計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)所必需的。變形體虛功原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要理論。通過(guò)本項(xiàng)目學(xué)習(xí)，同學(xué)們重點(diǎn)理解變形體的虛功原理、單位荷載法及位移計(jì)算一般公式。對(duì)變形體的虛功原理的推導(dǎo)過(guò)程的理解是本項(xiàng)目的難點(diǎn)內(nèi)容。項(xiàng)目表述情景二 虛功原理及單位荷載法 學(xué)習(xí)進(jìn)程情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接1功、廣義力、廣義位移我們知道功是由力和位移兩個(gè)因素組成，其大小是力與力的方向上位移的乘積。如圖262a 所示，設(shè)物體上 M 點(diǎn)受恒

9、力 P 作用，當(dāng) M 點(diǎn)發(fā)生了線位移 時(shí)，則 WP = cos （28）稱為力 P 在線位移上所做的功。式中 是力的方向與位移之間的夾角。情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接如圖 262b 所示，設(shè)物體受力偶矩 M = P d 作用，如果物體在力偶作用平面內(nèi)，沿力偶轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)過(guò)角位移 ，則力偶做的功可以用構(gòu)成力偶的兩個(gè)力所做功的和來(lái)計(jì)算，得情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接 即力偶所做的功等于力偶矩與角位移的乘積。 功是代數(shù)量，當(dāng)力與位移的方向相同時(shí)，功為正值；當(dāng)力與位移的方向相反時(shí)，功為負(fù)值。 當(dāng)力與位移相互垂直時(shí)，功為零。 我們將力或力偶作功用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示 WP = （210）

10、式中 P 稱為廣義力，既可代表力，也可代表力偶。 稱為廣義位移，既可代表角位移，也可代表線位移，它與廣義力相對(duì)應(yīng)。P 為集中力時(shí)， 代表線位移；P 為力偶時(shí)， 代表角位移。情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接情景二 虛功原理及單位荷載法 2虛功和實(shí)功在功的定義中，只有力和位移兩個(gè)因素，并未規(guī)定位移是什么原因引起的。也就是說(shuō)無(wú)論位移是力本身引起的還是其他原因引起的，功的定義都是正確的。根據(jù)力與位移的關(guān)系，可將功分為兩種情況： 當(dāng)力在由于本身作用而引起的位移上做功時(shí)，稱為實(shí)功。 當(dāng)力在其他因素引起的位移上做功時(shí)，稱為虛功。如圖 263a 所示，直桿上作用荷載 P，桿軸溫度為 t，當(dāng)溫度升高 t

11、時(shí)，桿伸長(zhǎng) 1 ，如圖263b 所示。知識(shí)鏈接當(dāng)位移與力的方向相同時(shí)，虛功為正；反之為負(fù)。情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接3實(shí)功原理 結(jié)構(gòu)受到外力作用而發(fā)生變形，則外力在發(fā)生變形過(guò)程中作了功。如果結(jié)構(gòu)處于彈性階段范圍，當(dāng)外力去掉之后，該結(jié)構(gòu)將能恢復(fù)到原來(lái)變形前的位置，這是由于彈性變形使結(jié)構(gòu)積蓄了作功的能量，這種能量稱為變形能。由此可見(jiàn)，結(jié)構(gòu)之所以有這種變形，實(shí)際上是結(jié)構(gòu)受到外力作功的結(jié)果，也就是功與能的轉(zhuǎn)化，則根據(jù)能量守恒定律可知，在加載過(guò)程中外力所作的實(shí)功 W 將全部轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的變形能，用 U 表示，即W = U （211）從另一個(gè)角度講，結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生內(nèi)力和變形，那么內(nèi)力也將在

12、其相應(yīng)的變形上作功，而結(jié)構(gòu)的變形能又可用內(nèi)力所作的功來(lái)度量。所以，外力實(shí)功等于內(nèi)力實(shí)功又等于變形能。這個(gè)功能原理，稱為彈性結(jié)構(gòu)的實(shí)功原理。情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接4變形體的虛功原理情景二 虛功原理及單位荷載法 項(xiàng)目實(shí)施 如圖 264 所示簡(jiǎn)支梁 AB 在第一組荷載 P1 的作用下，將在 P1作用點(diǎn)沿 P1方向產(chǎn)生位移，記為 11 。其雙下標(biāo)表示位移 是在 P1作用點(diǎn)沿 P1方向，由 P1作用而引起的。當(dāng)?shù)谝唤M荷載P1作用于結(jié)構(gòu)并達(dá)到穩(wěn)定平衡后，再加上第二組荷載 P2，此時(shí)結(jié)構(gòu)將繼續(xù)變形，并引起 P1作用點(diǎn)沿P1方向產(chǎn)生新的位移12，同時(shí)P2作用點(diǎn)沿P2方向產(chǎn)生位移 22。P1在位

13、移 12上做功為W12 ，稱為外力的虛功，即 W12 = P1 12 在P2加載過(guò)程中，簡(jiǎn)支梁 AB 由于第一組荷載 P1 作用而產(chǎn)生的內(nèi)力為 M1 、Q1 、N1 ，而第二組荷載P2作用下產(chǎn)生的內(nèi)力為M2、 Q2 、N2 ，所引起的變形為 d2 、 2ds 、 du2 ，則在其上做的功稱為內(nèi)力的虛功，為W12 。情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接情景二 虛功原理及單位荷載法 知識(shí)鏈接情景二 虛功原理及單位荷載法 現(xiàn)計(jì)算內(nèi)力虛功。在圖 264 上取 ds 微段，受力如圖 265 所示。微段 ds 的內(nèi)力虛功為 對(duì)于平面桿件結(jié)構(gòu) 根據(jù)能量轉(zhuǎn)變和守恒定律可得，變形體的虛功原理為：結(jié)構(gòu)的第一組外

14、力在第二組外力作用而引起的位移上所做的外力的虛功，等于第一組內(nèi)力在第二組內(nèi)力所引起的變形上所做的內(nèi)力的虛功。 即 W外 = W內(nèi)項(xiàng)目實(shí)施1位移計(jì)算的一般公式 如圖 266a 所示結(jié)構(gòu)在荷載 P 作用下發(fā)生了如虛線所示的變形?，F(xiàn)在求結(jié)構(gòu)上任一截面沿任一指定方向上的廣義位移，如 K 截面的水平位移 KP 。情景二 虛功原理及單位荷載法 項(xiàng)目實(shí)施 應(yīng)用虛功原理，也就是要確定兩個(gè)彼此獨(dú)立的狀態(tài)力狀態(tài)和位移狀態(tài)。現(xiàn)在的位移狀態(tài)是實(shí)際發(fā)生的，為圖 266a 中所表示的位移 KP ，力狀態(tài)則可根據(jù)解決的實(shí)際問(wèn)題來(lái)虛擬。需要考慮兩方面因素，一方面，為了便于求出位移 KP；另一方面，也是為了便于計(jì)算。因此在選擇

15、虛擬力系時(shí)應(yīng)只在擬求位移 KP的方向設(shè)置一單位荷載 PK = 1，如圖 266b 所示。由于單位荷載的作用，在支座處將有由單位力引起的反力。這樣就構(gòu)成了一組虛擬狀態(tài)的平衡力系力狀態(tài)。 根據(jù)以上兩種狀態(tài)，計(jì)算虛擬力狀態(tài)的外力和內(nèi)力在相應(yīng)的實(shí)際位移狀態(tài)上所做的虛功。情景二 虛功原理及單位荷載法 項(xiàng)目實(shí)施情景二 虛功原理及單位荷載法 外力虛功：內(nèi)力虛功：由虛功原理 W外 =W內(nèi) ，得 可以看出，外力虛功在數(shù)值上恰好等于所求位移，這便是平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。它只要求結(jié)構(gòu)滿足處于平衡狀態(tài)和材料為小變形兩個(gè)條件。既適用于彈性材料，也適用于非彈性材料。此公式可以用于靜定和超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。2單

16、位荷載法由以上可知，利用虛功原理來(lái)求結(jié)構(gòu)的位移，關(guān)鍵在于虛設(shè)恰當(dāng)?shù)牧顟B(tài)，而此方法的巧妙之處在于虛擬狀態(tài)中只在所求位移地點(diǎn)沿所求位移方向加一個(gè)單位荷載，以使荷載虛功恰好等于所求位移。這種用虛設(shè)單位荷載計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的方法稱為單位荷載法。3單位荷載的虛設(shè)方法單位荷載必須根據(jù)所求位移而假設(shè)。即單位荷載要與所求位移相對(duì)應(yīng)。例如懸臂剛架上作用了豎向荷載，當(dāng)求此荷載作用下的不同位移時(shí)，其虛設(shè)的單位荷載有以下幾種不同情況：情景二 虛功原理及單位荷載法 項(xiàng)目實(shí)施 當(dāng)要求某水平方向的線位移時(shí)，應(yīng)在該點(diǎn)沿水平方向加一個(gè)單位集中力，如圖267a所示。 當(dāng)要求某截面的角位移時(shí)，應(yīng)在該截面處加一個(gè)單位力偶，如圖 267

17、b 所示。 當(dāng)要求兩點(diǎn)間相對(duì)線位移時(shí)，應(yīng)在兩點(diǎn)沿其連線方向加一對(duì)指向相反的單位集中力，如圖 267c 所示。 當(dāng)要求兩截面的相對(duì)角位移時(shí)，應(yīng)在兩截面處加一對(duì)方向相反的單位力偶，如圖267d 所示。 在求桁架某桿的角位移時(shí)，由于桁架只受軸力，故應(yīng)將單位力偶換為等效結(jié)點(diǎn)集中力，即在該桿兩端加一對(duì)方向與桿件垂直、大小等于桿長(zhǎng)倒數(shù)而指向相反的集中力，如圖 267e 所示。情景二 虛功原理及單位荷載法 項(xiàng)目實(shí)施情景二 虛功原理及單位荷載法 項(xiàng)目實(shí)施1. 在進(jìn)一步理解變形體的虛功原理的基礎(chǔ)上，掌握結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算。2. 正確理解結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。3. 能夠掌握各種不同結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移

18、計(jì)算公式學(xué)習(xí)能力目標(biāo)項(xiàng)目表述 本項(xiàng)目的主要內(nèi)容是用積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。本節(jié)的重點(diǎn)是結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算，學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算和表示。通過(guò)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，最終可以進(jìn)行梁、剛架、桁架等結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算。學(xué)習(xí)進(jìn)程情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算知識(shí)鏈接1荷載作用下的位移計(jì)算公式 若靜定結(jié)構(gòu)的位移僅僅是由荷載作用引起的，即 c = 0，則式（213）可改寫(xiě)為式中， 、 、 為虛設(shè)力狀態(tài)中微段上的內(nèi)力；dP ， Pds ，duP 為實(shí)際狀態(tài)中微段ds上在荷載作用下產(chǎn)生的變形。根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)，由公式得到情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算知識(shí)鏈接式中， 為 dx

19、微段變形曲線的曲率半徑，如圖 265b 所示。將上式代入式（214）中得情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 這就是結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。公式（215）右邊三項(xiàng)分別代表虛擬狀態(tài)下的內(nèi)力 ， ， 在實(shí)際狀態(tài)相應(yīng)的變形上所作的虛功。該式適用于由直桿組成的結(jié)構(gòu)，但對(duì)于曲率不大的曲桿（例如通常的拱結(jié)構(gòu)），也可以近似應(yīng)用。知識(shí)鏈接2計(jì)算時(shí)公式的簡(jiǎn)化在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)，公式（215）右邊三項(xiàng)在位移計(jì)算結(jié)果中所占的比重各不相同，運(yùn)用時(shí)只需考慮公式中的一項(xiàng)或兩項(xiàng)，公式（215）可簡(jiǎn)化為如下公式：（1）梁和剛架對(duì)于梁和剛架，其位移主要是由彎矩引起的，其公式簡(jiǎn)化為但在扁平拱中，除彎矩外，有時(shí)

20、要考慮軸向變形對(duì)位移的影響。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算知識(shí)鏈接（2）桁架對(duì)于桁架，因?yàn)橹挥休S力，且同一桿件的軸力 、NP 及 EA 沿桿長(zhǎng) l 均為常數(shù)，故公式可簡(jiǎn)化為（3）組合結(jié)構(gòu)在組合結(jié)構(gòu)中，對(duì)梁式桿只計(jì)算彎矩影響，對(duì)鏈桿只計(jì)軸力影響，故公式簡(jiǎn)化為情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算知識(shí)鏈接3計(jì)算結(jié)果的正負(fù)當(dāng)計(jì)算結(jié)構(gòu)為正時(shí)，表示外力虛功為正值，此時(shí)所求位移 KP 的實(shí)際指向與虛擬單位荷載PK = 1 的指向相同；當(dāng)計(jì)算結(jié)構(gòu)為負(fù)時(shí)，KP 的實(shí)際指向與 PK = 1 的指向相反。4利用積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的基本步驟 在欲求位移處沿所求位移方向虛設(shè)廣義單位力，然后分別列各桿段內(nèi)力方程

21、。 列實(shí)際荷載作用下各桿段內(nèi)力方程。 根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)將各內(nèi)力方程代入合適的公式中（式 216 式 218 中的某一個(gè)），分段積分后求出，即可算出所求位移。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施案例 213試求如圖 268a 所示懸臂梁在 A 端的豎向位移 Ay 。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算解答：（1）虛設(shè)單位荷載（圖 268b） （2）求內(nèi)力表達(dá)式取實(shí)際狀態(tài)，如圖 268a 所示。A 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，任一截面 x 的彎矩方程為虛設(shè)單位荷載。在 A 點(diǎn)加一豎向單位力，如圖 268b 所示，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，彎矩方程為在 A 點(diǎn)加逆

22、時(shí)針轉(zhuǎn)向的單位力偶，如圖 268c 所示，以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，彎矩方程為 項(xiàng)目實(shí)施情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算（3）位移計(jì)算計(jì)算結(jié)果得正值，表明實(shí)際位移與虛設(shè) PK = 1 的方向一致，截面轉(zhuǎn)角也與虛設(shè)力偶的方向一致。項(xiàng)目實(shí)施案例 214求如圖 269a 所示剛架上 C 點(diǎn)的水平位移 Cx 。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施解答：（1）實(shí)際狀態(tài)如圖 269a 所示，列彎矩方程得 AB 段：BC 段：（2）在 C 截面加水平方向單位力，如圖 269b 所示，其彎矩方程為AB 段：BC 段：（3）代入式（216），得 C 點(diǎn)的水平位移情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算項(xiàng)

23、目實(shí)施情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算案例 215如圖 270a 所示桁架各桿 EA = 常數(shù)，求結(jié)點(diǎn) C 的豎向位移 Cy 。項(xiàng)目實(shí)施情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算解答： 為求 C 點(diǎn)的豎向位移，在 C 點(diǎn)加一豎向單位力，并求出 PK = 1 引起的各桿軸力N，如圖 270b 所示。 求出實(shí)際狀態(tài)下各桿的軸力 NP ，如圖 270a 所示。 將各桿 、NP 及其長(zhǎng)度列入表 22 中，再運(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算。因?yàn)樵撹旒苁菍?duì)稱的，所以由式（217）得計(jì)算結(jié)果為正，說(shuō)明 C 點(diǎn)的豎向位移與假設(shè)的單位力PK = 1 方向相同，即向下。項(xiàng)目實(shí)施情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展1

24、疊加法計(jì)算位移在實(shí)際工程中，梁上可能同時(shí)作用有幾種或幾個(gè)荷載，此時(shí)若用積分法來(lái)計(jì)算位移，其計(jì)算量較大。在小變形條件下，當(dāng)梁內(nèi)的應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，梁的撓曲線近似微分方程是一個(gè)線性微分方程，因此可以采用疊加法求梁的變形，即梁在幾個(gè)簡(jiǎn)單荷載共同作用下，某一截面的撓度和轉(zhuǎn)角等于各個(gè)簡(jiǎn)單荷載單獨(dú)作用時(shí)該截面撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角可從表 23 中查到。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展案例 216簡(jiǎn)支梁受滿跨均布荷載 q 和跨中集中力 P 作用，如圖 271 所示。

25、試用疊加法求梁跨中截面 C 的撓度 yC 。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展解答：把梁上的復(fù)雜荷載分解為兩種簡(jiǎn)單荷載，如圖 271b、c 所示。在均布荷載 q 單獨(dú)作用下，梁的跨中截面撓度查表 23 得在集中力 P 作用下，梁跨中截面撓度查表 23 得疊加以上結(jié)果，即可得到梁的跨中截面撓度為情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展2梁的剛度校核（1）強(qiáng)度條件 構(gòu)件不僅要滿足強(qiáng)度條件，還要滿足剛度條件，即要求梁的位移不能過(guò)大。例如樓板主梁撓度過(guò)大，其下的抹灰層將產(chǎn)生裂痕或脫落。水閘結(jié)構(gòu)的閘墩或閘門(mén)的過(guò)大位移，也能影響閘門(mén)的啟閉與止水。高層建筑在風(fēng)荷載作用下，如果振動(dòng)幅度太大，

26、會(huì)影響居住的舒適性；吊車(chē)梁的撓度太大，會(huì)影響吊車(chē)的正常運(yùn)行；結(jié)構(gòu)的變形過(guò)大，會(huì)影響內(nèi)部裝修及設(shè)備的精度等。 校核梁的剛度是為了檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的位移是否超過(guò)容許值。對(duì)于梁的撓度通常是限制撓度與跨度的比值，即情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展案例 217簡(jiǎn)支梁由 No.28b 工字鋼制成，承受荷載作用如圖 272 所示，已知 P =20 kN，l = 9 m，E = 210 GPa， =170 MPa， 試校核該梁的強(qiáng)度和剛度。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展解答：1）查型鋼表得到工字鋼有關(guān)數(shù)據(jù)2）強(qiáng)度校核滿足強(qiáng)度條件。（3）剛度校核查表 23 得簡(jiǎn)支梁受跨中集中

27、了作用的情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展不滿足剛度條件，需加大截面。改用 NO.32a 工字鋼，查型鋼表，IZ=11075.525cm4滿足剛度條件。（2）提高梁剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度 EI、梁的跨度 l、荷載的作用形式及支座的位置等有關(guān)。所以，提高梁的剛度應(yīng)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考慮。 減小梁的跨度或增加支座。梁的跨度對(duì)梁的變形影響最大，若設(shè)法減小梁的跨度對(duì)提高梁的剛度將具有十分重要的意義。當(dāng)梁的跨度無(wú)法改變時(shí)，則可以通過(guò)增加梁的支座來(lái)達(dá)到提高梁的彎曲剛度的目的。如均布荷載作用下的簡(jiǎn)支梁，在跨中最大撓度情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展若梁跨減小一半，則

28、最大撓度為若在梁跨中點(diǎn)增加一支座，則梁的最大撓度約為原梁的如圖 273 所示。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展 選擇合理的截面形狀。梁的變形與抗彎剛度 EI 成反比，而影響慣性矩的主要因素是截面高度。所以當(dāng)截面面積不變時(shí)，增大梁的截面高度將會(huì)使梁的變形減小。為此可采用慣性矩較大的截面形狀，如工字形、圓環(huán)形、框形等。而為了提高梁的剛度而采用高強(qiáng)度鋼材是不合適的，因?yàn)楦邚?qiáng)度鋼的彈性模量 E 較一般鋼材并無(wú)多少提高。 改善荷載的作用情況。彎矩是引起變形的主要因素，變更荷載作用位置與方式，減小梁內(nèi)彎矩，可達(dá)到減小變形、提高剛度的目的。如將較大的集中荷載移到靠近支座處，或把一些集中力盡量分

29、散，甚至改為分布荷載，如圖 274 所示。情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算能力拓展情景三 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算1. 正確理解圖乘法和應(yīng)用條件以及圖乘法的含義。2. 能夠利用圖乘法計(jì)算粱、剛架的位移。3. 理解各種彎矩圖的疊加并能夠根據(jù)疊加組合進(jìn)行圖乘。 學(xué)習(xí)能力目標(biāo)情境四圖乘法計(jì)算位移 項(xiàng)目表述 圖乘法是梁、剛架位移計(jì)算的主要方法也是位移計(jì)算的重點(diǎn)，應(yīng)多做練習(xí)，重點(diǎn)掌握。學(xué)習(xí)進(jìn)程 情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接情境四圖乘法計(jì)算位移 1圖乘法的公式及其應(yīng)用條件在應(yīng)用公式 計(jì)算梁或剛架的位移時(shí)，結(jié)構(gòu)的各桿段滿足以下三個(gè)條件，就可以用圖乘法來(lái)計(jì)算：1）EI 為常數(shù)。2）桿軸為直線。3

30、） 和 MP 兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)為直線圖形。圖乘法的計(jì)算公式為知識(shí)鏈接2圖乘法公式的推導(dǎo)（1）公式推導(dǎo)情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接如圖 275 所示表示某一段等截面直桿的兩個(gè)彎矩圖，EI 為常數(shù)。取 的基線為 x 軸，以 圖的延長(zhǎng)線與 x 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系 xOy。公式中的 ds 可用 dx 表示， =xtan （ 表示 圖直線的傾角），將其代入積分式（216），得情境四圖乘法計(jì)算位移 式中d=Mpdx ，為 MP 圖中有陰影線的微面積，則 XD 就是微面積 d 對(duì) y 軸的靜矩。 就是整個(gè)MP 圖的面積對(duì) y 軸的靜矩。根據(jù)以前對(duì)靜矩知識(shí)的討論， 等于 MP 圖的面積 乘

31、以其形心 C 到 y 軸的距離 xC ，即知識(shí)鏈接代入式 219a，有因?yàn)?，?MP 圖的形心 C 對(duì)應(yīng)的 圖上的縱距。這樣式 219c 就可寫(xiě)為由此可見(jiàn)，計(jì)算由彎矩引起的位移，可用一個(gè)彎矩圖的面積 乘以其形心所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上縱距 yC ，再除以桿件的剛度 EI。若結(jié)構(gòu)上所有各段桿都可用圖乘，則位移公式（216）可寫(xiě)成為情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接（2）應(yīng)用圖乘法求結(jié)構(gòu)位移時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題 必須符合前面所列三個(gè)條件。 縱坐標(biāo) yC 只能從直線彎矩圖中取值。若兩圖都為直線，可取任何一個(gè)圖形。 若 與 yC 在桿的同側(cè)時(shí)，即 MP 與 圖同側(cè)，則位移為正，反之為負(fù)。（3）常見(jiàn)圖形的面積

32、及其形心位置為了應(yīng)用方便，現(xiàn)將幾種常見(jiàn)圖形的面積及其形心位置表示于圖 276。在各拋物線圖形中，頂點(diǎn)是指其切線平行于底邊的點(diǎn)，而頂點(diǎn)在中點(diǎn)或端點(diǎn)者稱為“標(biāo)準(zhǔn)拋物線”圖形。情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接情境四圖乘法計(jì)算位移 （4）應(yīng)用圖乘法時(shí)的一些技巧1）若 yC 所屬圖形不是一般直線而是折線時(shí)，如圖 277 所示，或各段截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，然后進(jìn)行疊加。知識(shí)鏈接2）如果圖形比較復(fù)雜，則可將其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，分項(xiàng)計(jì)算后再進(jìn)行代數(shù)求和。例如圖 278 所示兩個(gè)梯形相圖乘，可不必定出整個(gè) MP 圖的形心位置，而將它分解為兩個(gè)三角形（也可分解為一個(gè)矩形和一個(gè)三

33、角形），此時(shí) ，故有情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接其縱距 ya 和 yb 從 圖的兩個(gè)三角形中求得3）當(dāng) MP 圖和 圖都是直線圖形，但縱距 a、b 或 c、d 不在基線的同一側(cè)時(shí)（圖 279），可將縱距在基線異側(cè)的一個(gè)圖形（設(shè)為MP 圖）分解為 ABC 和 ABD 兩個(gè)三角形。由于原圖形任一截面的縱距MP 等于這兩部分所含縱距 M P 和 M P 的代數(shù)和，故同前面一樣，有情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接情境四圖乘法計(jì)算位移 知識(shí)鏈接4）如果是在均布荷載作用下的較復(fù)雜的彎矩圖，如圖 280a 所示，對(duì)于均布荷載 q 作用下的任一段直桿 AB，其彎矩圖均可化為一個(gè)梯形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形疊加。這

34、段直桿的彎矩圖，與圖 280b 所示相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在兩端彎矩MA 、MB 和均布荷載 q 作用下的彎矩圖是相同的。情境四圖乘法計(jì)算位移 項(xiàng)目實(shí)施解答：實(shí)際狀態(tài)的 MP 圖如圖 281b 所示，為二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線，頂點(diǎn)在跨中。虛擬狀態(tài)的 圖如圖 281c 所示，為直線變化。根據(jù)圖乘法的要求，圖乘面積 可取自曲線圖形，而縱距 yC 應(yīng)取自直線圖形，因此有案例 219如圖 282a 所示外伸梁，EI 為常量，試求 C 點(diǎn)的豎向位移 CY 。情境四圖乘法計(jì)算位移 項(xiàng)目實(shí)施情境四圖乘法計(jì)算位移 項(xiàng)目實(shí)施情境四圖乘法計(jì)算位移 解答：MP 、 圖分別如圖 282b、c 所示。BC 段的 MP 圖是二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線；

35、但 AB 段的MP 圖較復(fù)雜，可將其分解為一個(gè)三角形和一個(gè)二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。把它們分別和 圖的相應(yīng)縱距相乘，然后求其總和，于是可得能力拓展 案例 220求圖 283a 所示剛架，在水平均布荷載作用下截面 A 的轉(zhuǎn)角 A 和 B 點(diǎn)的水平位移 Bx 。各桿的 EI 為常數(shù) 。情境四圖乘法計(jì)算位移 能力拓展情境四圖乘法計(jì)算位移 能力拓展情境四圖乘法計(jì)算位移 解答：作出實(shí)際荷載作用下的彎矩圖，如圖 283b 所示。 1）計(jì)算 A 。在 A 截面處加一單位力偶，作 圖，如圖 283c 所示。2）計(jì)算 Bx 。在 B 點(diǎn)加上一水平單位力，作 圖，如圖 283d 所示。了解支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算。 學(xué)習(xí)

36、能力目標(biāo)情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算項(xiàng)目表述 當(dāng)有支座移動(dòng)時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)只發(fā)生剛體位移，即對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)并不引起任何內(nèi)力和變形，所以 = 0，K = 0， = 0 。結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)而產(chǎn)生的位移純屬剛體位移，根據(jù)虛功原理，代入位移計(jì)算一般公式中便可得到靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算公式。學(xué)習(xí)進(jìn)程 知識(shí)鏈接 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)的支座發(fā)生位移時(shí)，我們常常需要計(jì)算該結(jié)構(gòu)任意方向上的位移。例如，如圖284a 所示靜定結(jié)構(gòu)的支座發(fā)生了水平位移 c1 、豎向沉陷 c2 和轉(zhuǎn)角 c3 ，現(xiàn)在我們要計(jì)算這種情況下其上任一點(diǎn) K 的豎向位移 Ky 。 靜定結(jié)構(gòu)是無(wú)多余約束的幾何不變體系，當(dāng)有支座移

37、動(dòng)時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)只發(fā)生剛體位移。即對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)并不引起任何內(nèi)力和變形。結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)而產(chǎn)生的位移純屬剛體位移。因此，可以通過(guò)幾何關(guān)系求得。情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算知識(shí)鏈接 現(xiàn)在我們?nèi)匀徊捎锰摴υ韥?lái)求解位移。虛擬狀態(tài)如圖 284b 所示，在單位荷載作用下，支座的水平反力、豎向反力和反力偶分別為 、 、 。由于實(shí)際狀態(tài)無(wú)變形，因此內(nèi)力虛功等于零。外力虛功除單位力 1KP = 做功外，支座反力也將在實(shí)際狀態(tài)相應(yīng)的支座位移上做功。根據(jù)虛功原理，得 將上式移項(xiàng)整理后得 這就是靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算公式。式中 C為反力虛功，當(dāng) 與 c 方向一致時(shí)取正號(hào)，方向相反時(shí)取負(fù)號(hào)

38、。情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施 案例 221如圖 285a 所示靜定剛架，若支座 A 發(fā)生如圖中所示的移動(dòng)，試求 C 點(diǎn)的水平位移 Cx 和豎向位移 Cy 。c1 = 5 mm，c2 = 10 mm。情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算 案例 222圖 286a 所示桁架右支座移動(dòng)情況如圖所示。求由此引起的 CB 桿的轉(zhuǎn)角位移 CB 。情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施能力拓展案例 223如圖 287a 所示為三鉸剛架。支座 B 有水平位移 a 和豎向位移 b，試求鉸 C兩邊截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算能力拓展解答：為求 C 鉸

39、兩邊截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，需在其兩邊截面施加一對(duì)方向相反的單位力偶。此時(shí)因單位力偶的作用產(chǎn)生的支座反力為 ，如圖 287b 所示。利用式（221），得負(fù)號(hào)表示 C 處的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與所設(shè)的單位力偶的轉(zhuǎn)向相反。情境五靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算學(xué)習(xí)能力目標(biāo)情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算了解靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算方法 項(xiàng)目表述溫度作用是指結(jié)構(gòu)使用時(shí)或建造時(shí)溫度發(fā)生改變對(duì)結(jié)構(gòu)的作用。溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，但材料會(huì)發(fā)生自由膨脹和收縮，從而引起截面的應(yīng)變（即溫度應(yīng)變），使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。假設(shè)溫度改變沿桿長(zhǎng)均勻，沿截面高度為線性分布。因此，截面發(fā)生溫度變形后，仍保持為平面。截

40、面的變形可分解為沿軸向的拉伸變形和截面的轉(zhuǎn)角變形。學(xué)習(xí)進(jìn)程知識(shí)鏈接1靜定結(jié)構(gòu)的溫度位移公式 當(dāng)溫度改變時(shí)，對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)并不產(chǎn)生內(nèi)力，但由于材料產(chǎn)生熱脹冷縮，結(jié)構(gòu)就會(huì)有變形和位移產(chǎn)生。 如圖 288a 所示結(jié)構(gòu)，設(shè)外緣溫度升高了 t1 ，內(nèi)緣溫度升高了 t2 ，材料的線膨脹系數(shù)為 （溫度上升 1時(shí)的線應(yīng)變值）。現(xiàn)在計(jì)算由于溫度改變所引起的任一點(diǎn)沿任一方向的位移，例如 K 點(diǎn)的豎向位移 Kt 。 仍用虛功原理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)分別如圖 288a、b 所示。實(shí)際狀態(tài)的變形取長(zhǎng)度為 ds 的一微段。為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)溫度沿截面高度 h 按直線規(guī)律變化。這樣，截面在變形之后仍將保持為平面。

41、情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算知識(shí)鏈接情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算知識(shí)鏈接當(dāng)桿件截面對(duì)稱于形心軸時(shí)（即 h1 = h2 ），形心軸的溫度升高為當(dāng)桿件截面不對(duì)稱于形心軸時(shí)（即 h1 h2 ），則這樣，微段由于溫度改變所產(chǎn)生的軸線伸長(zhǎng)為而微段兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為式中，t = t1 t2 為桿件外緣和內(nèi)緣的溫度改變之差。此外，溫度變化并不引起微段的剪切變形。情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施 設(shè)虛擬狀態(tài)由 PK =1 引起的微段兩端截面的內(nèi)力為 和 （高階微量已略去）。因?yàn)閷?shí)際狀態(tài)無(wú)剪切變形，所以虛擬狀態(tài)的剪力不作功，因此圖上未標(biāo)出 。 將虛功原理應(yīng)用于虛擬狀態(tài)和

42、實(shí)際狀態(tài)。根據(jù)虛功原理力 T12=W12情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算將式（222a）和（222b）代入上式，得可得若各桿均為等截面桿，且溫度沿桿長(zhǎng)方向不變化，則上式可簡(jiǎn)化為知識(shí)鏈接2各類靜定結(jié)構(gòu)的溫度位移公式 對(duì)于梁和剛架在計(jì)算溫度位移時(shí)，不能略去軸向變形的影響，故需采用公式（223）和（224）。 對(duì)于桁架，溫度位移公式可簡(jiǎn)化為 對(duì)于組合結(jié)構(gòu)，溫度位移公式可寫(xiě)成 上式右邊第一項(xiàng)只對(duì)鏈桿求和，第二、第三項(xiàng)只對(duì)梁式桿求和。情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施案例 224如圖 289a 所示結(jié)構(gòu)各桿的截面相同且與形心軸對(duì)稱，各桿線膨脹系數(shù)為 ，截面高度為 h，試求當(dāng)只有內(nèi)側(cè)

43、的溫度升高 10C 時(shí)，在 C 點(diǎn)所產(chǎn)生的豎向線位移。 情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施解答：1）建立虛設(shè)狀態(tài)，即在 C 點(diǎn)豎向加單位力 PK = 1，如圖 289b、c 所示。2）在單位力作用下，分別作圖 和圖 ，如圖 289b、c 所示。從圖中可知，溫度改變使結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)伸長(zhǎng)， 圖中是桿件外側(cè)受拉，兩圖中彎曲變形方向相反，所以公式中乘積取負(fù)值；同樣 AB 桿的軸向變形方向也是相反（AB 桿軸向伸長(zhǎng)， 圖 AB 桿產(chǎn)生壓力），也取負(fù)值。3）計(jì)算各桿軸線處的溫度和各桿兩側(cè)溫度差，得 情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算項(xiàng)目實(shí)施情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算 溫差、單位

44、力引起的 等均取絕對(duì)值，因正負(fù)號(hào)將由兩種狀態(tài)下各桿相對(duì)應(yīng)的變形方向來(lái)決定。 代入式（224），得C 點(diǎn)的實(shí)際方向與 PK = 1 方向相反，即 C 點(diǎn)位移向上。能力拓展 案例 225試求如圖 290a 所示剛架 C 點(diǎn)的水平位移。已知其外緣溫度升高 10，內(nèi)緣溫度升高 20，a = 3 m，各桿截面相同且對(duì)稱于形心軸，截面高 h = 0.2 m，線膨脹系數(shù) = 510-5。情境六靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移計(jì)算1. 正確理解功的互等定理。2. 正確理解位移互等定理、反力互等定理，為今后的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。 情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 學(xué)習(xí)能力目標(biāo)項(xiàng)目表述 互等定理是為今后的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，本情境

45、的重點(diǎn)是對(duì)定理的理解。學(xué)習(xí)進(jìn)程 彈性結(jié)構(gòu)常用的三個(gè)普遍定理是指功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理，其中最基本的是功的互等定理。另外兩個(gè)定理都可由它推導(dǎo)出來(lái)。這些定理在計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移、求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)經(jīng)常用到。1功的互等定理如圖 291 所示，一個(gè)簡(jiǎn)支梁分別承受 P1 、P2 作用，我們稱為兩個(gè)狀態(tài)，圖 291a 為第一狀態(tài)，圖 291b 為第二狀態(tài)。如果我們計(jì)算第一狀態(tài)外力和內(nèi)力在第二狀態(tài)相應(yīng)的位移和變形上所作的虛功 W12 和 W12 ，并根據(jù)虛功原理 W12 =W12 可得情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接 這里，位移 12 的兩個(gè)下標(biāo)的含義與前相同：第一個(gè)下標(biāo)“1”表示位移的地點(diǎn)和

46、方向，即該位移是 P1 作用點(diǎn)沿 P1 方向上的位移；第二個(gè)下標(biāo)“2”表示產(chǎn)生位移的原因，即該位移是由 P2 所引起的。情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接同理，第二狀態(tài)的外力和內(nèi)力在第一狀態(tài)相應(yīng)位移和變形上所作的虛功 W12 和W21，并根據(jù)虛功原理 W12 =W21 ，則可得情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接 上式表明：第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)相應(yīng)位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功，稱為功的互等定理。它適用于任何形式的彈性結(jié)構(gòu)。功的互等定理的重要應(yīng)用之一，是用來(lái)證明其他互等定理。比較（227a）、（227b）兩式即得或 2位移互等定理 現(xiàn)在用功的互等定理來(lái)研究圖

47、 292 所示的一種特殊情況，圖中兩個(gè)狀態(tài)的荷載都是單位力，即 P1 = P2 = 1，代入（228）式得 此處12 和21 都是由于單位力所引起的位移，為了明顯起見(jiàn)，改用小寫(xiě)字母 12 和21 表示， 于是將上式寫(xiě)成：情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接這就是位移互等定理。它表明：第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移。這里的單位力也包括單位力偶，即可以是廣義單位力。位移也包括角位移，即是相應(yīng)的廣義位移。情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接位移互等定理中的單位力應(yīng)理解為廣義單位力，既可以是集中力，也可以是力偶，其對(duì)應(yīng)的位移也

48、應(yīng)理解為線位移或角位移。 3反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一種特殊情況。它用來(lái)說(shuō)明在超靜定結(jié)構(gòu)中假設(shè)兩個(gè)支座分別產(chǎn)生單位位移時(shí)，兩個(gè)狀態(tài)中反力互等關(guān)系。情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接如圖 293a 表示支座 1 發(fā)生單位位移的狀態(tài)，此時(shí)支座 2 產(chǎn)生反力 21 ；圖 293b 表示支 座 2 發(fā) 生 單 位 位 移 的 狀 態(tài)， 此 時(shí) 支 座 1 產(chǎn) 生 反 力 12 。 根 據(jù) 功 的 互 等 定 理， 應(yīng) 有 212=12 1，因?yàn)? = 2=1，則有上式表明：支座 1 由于支座 2 單位位移所引起的反力 12 ，數(shù)值上等于支座 2 由于支座 1單位位移引起的反力 21 ，稱為反力互等定理。這里的反力和位移依然是廣義的。情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接 反力互等定理對(duì)結(jié)構(gòu)上任何兩個(gè)支座都適用。但必須注意，在兩種狀態(tài)中，同一支座的反力和位移應(yīng)該是對(duì)應(yīng)的，即力對(duì)應(yīng)于線位移，力偶對(duì)應(yīng)于角位移，兩者的乘積具有功的量綱。如圖 294 所示的反力互等定理例子就說(shuō)明了這個(gè)問(wèn)題。根據(jù)反力互等定理，反力和反力偶雖然含義不同，但它們?cè)跀?shù)值上是相等的。情境七彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 知識(shí)鏈接 知識(shí)鏈接 小結(jié)1. 截面法是受力