1、高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-解析幾何蘇教版【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：專題復(fù)習(xí)-解析幾何【高考要求】內(nèi)容ABC直線的斜率和傾斜角理解直線方程:掌握直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系理解兩條直線的交點理解兩點間的距離，點到直線的距離理解圓的標(biāo)裝方程和一般方程掌握直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系理解橢圓的標(biāo)裝方程和幾何性質(zhì)（中心在坐標(biāo)原點）理解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（中心在坐標(biāo)原點）理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（頂點在坐標(biāo)庾點）理解二、基本內(nèi)容：（一）直線方程直線名稱已知條件直線方程使用范圍示意圖點斜式P1(xi, yi ), ky -yi =k(x -xi)k存在斜截式k, by =kx +bk存在兩點式(xi,

2、yi)(x2，y2)y yi _ x -xi y2 -yi x2 -Xixi x2)i 手截距式a,bx+H a ba =0, b #0一般式Ax +By +C=0A、B不全為0（二）圓的方程（1）圓的定義：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ：（x a）2+（y b）2 =r2圓心為C（a,b）,半徑為r ,（3）圓的一般方程：只有當(dāng)D2 +E2 4F 0時，x2+y2+Dx+Ey+ F =0表示的曲線才是圓， 把形 如的方程稱為圓的一般方程（1）當(dāng)D2十E2 4F 0時，表示以（-D，- 圓；為圓心，l7D2 +E2_4F為半徑的2-,y = -5，即只表示一個點

3、 22（2）當(dāng)D2 +E2 -4F =0時，方程只有實數(shù)解x因而它不表不任何圖形。（3）當(dāng)D2 +E2 -4F 2c時，軌跡是橢圓，當(dāng)2a =2c時，軌跡是一條線段F1F2I當(dāng)2 a 2c時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點 F1, F2的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于 F1F2|）的動點的軌跡叫雙曲線即 MF1| MF2| = 2a當(dāng)2a 2c時，軌跡不存在標(biāo) 準(zhǔn)方 程22焦點在x軸上時：_ + y_ -1a2 b222焦點在y軸上時：y2 + 2 -1 a b22焦點在x軸上時：4 = 1a2 b222焦點在y軸上時： 4-22=1a b常數(shù)a,b, c的關(guān) 系a2 =c2 +b2, a b 0a

4、最大，可以 c - b,c bc2 = a2 +b2, c a 0c最大，可以 a-b,ab漸 近 線焦點在x軸上時：口=0a b焦點在y軸上時： = 0a ba b【典型例題】例1、過點P (2, 1)的直線分別與 x軸和y軸的正半軸交于 A、B兩點.求OA OB取 得最小值時直線的方程.解：設(shè)直線的方程為 + =1,(a 0,b 0), =1.a ba bab=2b+a之2J206于是ab之8,，OAOB =ab之8 ,即OA OB的最小值為8當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,即a=4, b=2時取得等號。故所求直線的方程為：x+2y-4=0.變式：過點P (2, 1)的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于

5、A、B兩點.求PA - PB取得最小值時直線的方程.解：顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為：y-1=k (x-2),則A(2 ,0), B(0,1 2k)k由 2；A0及 12k0得k0,，PA PB =(3 +1)(4 + 4k2) =,8 + 4(k2 + j) 2 41當(dāng)且僅當(dāng)k2=-2即k=-1時取等號，PA PB的最小值為 4時直線的方程為kx+y-3=0.例2、已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素 A和63000單位維生素 B.甲乙丙維生素A （單位/千克）

6、600700400維生素B （單位/千克）800400500成本（元/千克）1194（I）用x, y表示混合食物成本 c元；（n）確定x, y, z的值，使混合物的成本最低.,及 z=100 x作+6.203x -y _130解：（I）由題， c=11x+9y+4z,又 x + y+z=100,所以 c = 400+7x+5y./、區(qū) 600 x 700y 400z _56000(n)由,800 x 400y 500z _63000所以7x+5y 50.所以當(dāng)且僅當(dāng)4x+6y=320,即3x y =13050 .50時等號成立.20所以，當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本

7、最低，為 850元.點評：本題為線性規(guī)劃問題， 用解析幾何的觀點看，問題的解實際上是由四條直線所圍x .0y 二 0成的區(qū)域 5a).y = -(x -p)3p -5a 33a -pH所以AOBC的面積5 =回仇623p 5a32-6ap6a(3)由(2) S = 3p - 5a 3 5a- _2p p6a1-5a(- p3 29-)2 -10a20a5p-a ,3一 13所以0 J ：二3p 5a例4、某校一年級為配合素質(zhì)教育,所以一導(dǎo)時in =,所以當(dāng)p號千米時,搶救最及時.利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費, 他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ?/p>

8、面的傾斜角為a m,b m, ( a b).問學(xué)(90。4V 180。)的鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距 生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點 C (x,0) (x0),欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使/ ACB取得最大值.由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點坐標(biāo)分別為(acosa,asina)、(bcosabsin”)，于是直線 AC、BC的斜率分別為：/ 八 asin -bsin kAc=tanZxCA=,kBC =tan.dxCB =.acos: - xbcos: - x于是 tan/ACB

9、=囁 -小 =(a-b) xsM= (a b) sM1kbc % ab-(a b)xcos： x2 Ob x-(a b) cos: x由于/ACB為銳角，且x0,則tan/ACBW 型一切sinx_，當(dāng)且僅當(dāng) 竺=x, 2 , ab -(a b)cos 二x即x=u而時，等號成立，此時/ ACB取最大值，對應(yīng)的點為 C (腌,0),因此，學(xué)生距離鏡框下緣 由bcm處時，視角最大，即看畫效果最佳.例5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形 ABCD的長為2,寬為1, AB、AD邊分別在x軸、 y軸的正半軸上，A點與坐標(biāo)原點重合(如圖所示).將矩形折疊，使 A點落在線段DC上.(I )若折痕所在直線的斜率

10、為k,試寫出折痕所在直線的方程；(n)求折痕的長的最大值.解：(I) (1)當(dāng)k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程所以A與G關(guān)于(2)當(dāng)k00時，將矩形折疊后 A點落在線段CD上的點為G (a,1)折痕1所在的直線對稱，有 kOG k = 1, k = 13a = k a故G點坐標(biāo)為G(-k,1),從而折痕所在的直線與 OGk 1的父點坐標(biāo)(線段 OG的中點)為M (-),折痕2 22所在的直線萬程 y二k(x+), IP y =kx +一+一 2222k2由(1) (2)得折痕所在的直線方程為y=kx + k2(II)折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為N(0,1+ .2k2 1

11、k2 1 k2 1),P(,0),解E1得22k2k2 1 一一一 =. 一 =. 一 .-1 k 0 ；解2 得2*：3 k -2 + v-3 ,當(dāng) A 與 D 重合時，k=-2 .2k(1)當(dāng)-2 +通 k E0時，直線交 BC 于 P(2,2k+ +), 2222k 卜1k 1 22y =PN2 =22 + -(2k + +,)2=4+4k2 4+ 4(7-4/3) =32-16v;3 .(2)當(dāng)-1 k -2 - 3時,2/k2 12 / k2 12y 二PN ()(-)22k_(k2 1)3_3(k2 1)2 2k 4k2 (k2 1)3 8k=4k2，y =16k7令y，= 0解得

12、k ,此日y =PN2 =空, 216PN 2 max =32 -1673.1 k(3)當(dāng) WkW_1時，直線交 DC于N(1) 2k 2,22y =PN2 =12 k2 11k 2-()2 =1 r / 1 =22k 2k 2k2所以折痕的長度的最大值為32 -163 =2( J6 - J2).例6、如圖所示，h %是通過城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連接M、N兩地之間的鐵路線是圓心在心上的一段圓弧.若點 M在點 O正北方向，且MO =3km，點N到L、的距離分別為4km,5km .(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程.(2)若該城市的某中學(xué)擬在點 。正東方向選址建分

13、校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于4km ,并且鐵路上任意一點到校址的距離不能少于J癡km ,求該校址距點 O的最近距離.(校址視為一個點)1解：(1)分別以1仆I?為y軸和x軸建立坐標(biāo)系,由已知得M (0,3), N(4,5),故kMN =， 2又線段MN的中點為(2,4),所以線段MN的垂直平分線的方程為 y 4 = 2(x2),令y = 0 得x =4,故圓心A的坐標(biāo)為(4,0),半彳仝r = J(4 _0)2十(0 3)2 =5 ,因此所求的圓A的方 程為(x -4)2 +y2 =25,故有所求圓弧的方程為 (x 4)2 +y2 =25 (0 x3).(2)設(shè)校址選在 B(a,

14、0)( a 4),則 j(x a)2 +y2 之426X0MxM4恒成立，即 J(x a)2 +25_(x.4)2 2標(biāo) 對 0WxW4 恒成立，整理得(8 2a)x+a2 17 之 0X0 x 4 可得 82a 4和f(4)之0,即a a 4和(8 -2a)4 +a2 -17 0,解之得a 5,即校址應(yīng)選在距 O點最近5km的地方。例7、已知拋物線x2=4y,作直線x-2y+12=0與拋物線交于 A B兩點如圖所示，過A點處有相同的切線，求圓的方程.A B兩點的圓與拋物線在點撥：兩曲線的交點能求出來， 同時點A處的切線也可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解，圓心在過A點垂直于此切線的直線上，并且也在弦AB的垂直

15、平分線上，故圓心和半徑均亦確定。的,x-2y 12=0解：由I 2x 二 yf x = 6 f x - -4 可得廣6或者廣4y =9y =41即 A(6,9), B(Y,4),再由 x =4y得 y =x ,所以有 k =y |xm = 3,2設(shè)圓的方程：(xa)2+(yb)2 =r2(r 0),圓的圓心為(a,b),b.9 a -6_ 24 22(a -6)(b -9) =(a 4) (b -4)解得 a=_9,b=23,r2=, 222所以所求的圓的方程為(x - 3)2 (y223、2 125)=22已知在平面直角坐標(biāo)xoy中，向量j =(0，體OF P的面積為2用,且OF Fp ,

16、OM = OP + j ,已知3P點在第一象限內(nèi).(I )設(shè)4 t 4四求向量OF與FP的夾角日的取值范圍;(D)設(shè)以原點 O為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點 M ,且|OF |二c,t=(J3 -1)c2,當(dāng)|op |取最小值時，求橢圓方程.解析:L 1 (I )由 243 =3 OFfP sinH 得 OF由 COsB=OF |FP,tsin ?一 4,3?4t4V3, ,1 tan0 0,y0:0.由(I)知 tan6=p11. 4/ 3又 S&fp =-c V。-2 v3 ,V。=,2c4 3c _,丁 一4 3又由一c=一；，得 x0 = 3cX0 -c ( 3 -

17、1)c2二 Op1 =& +y；=1(底)2 +()2 22 點c # =2詬當(dāng)且僅當(dāng)邪C=W ,即c=2時， OPmin =2/6 , 此時涼一(2、右 2、.3),OM =(2,3),2a = . (2=2)2(3=0)2(2-2)2(310)2:822:a2 =16、b2 =12，故所求橢圓方程為 +-=116 1222x V例9、橢圓G:_+q=1(ab 0)的兩個焦點為FK-c,。)、F2(c,0) , M是橢圓上一點, a b且滿足FM F2M =0(I)求離心率 e的取值范圍；(n)當(dāng)離心率 e取得最小值時，點 N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為5金.求此時橢圓G的方程；設(shè)斜率

18、為k(k0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點 A、B, Q為AB的中點，問:A、B兩點能否關(guān)于過點 P(0, J3)、Q的直線對稱？若能，求出 k的取值范圍；若不能，3請說明理由.解析：(I)設(shè)點 M 的坐標(biāo)為(x,y),則 F1M =(x+c, y), F2M =(x c,y)222-c = -y由 F1M EM =0得 x2 -c2 +y2 =0 ,即 xb2 c又由點M在橢圓上，得y2 =b2 2 x2 ,代入 a TOC o 1-5 h z 22 2得 x2 -c2 =x2 -b2,即 x2 =a2ac2.22ab ,2 0 x a , . . 0 a 一 a c即 0 a c 1 ,

19、 0 1 -1 1 ,解得巨 e1c2e2PC.無又0 e 1 ,e 12b22Xb22,(n)當(dāng)離心率 e取最小值 回時，橢圓方程可表示為 2設(shè)點H(x,y)是橢圓上的一點，則|HN |2 =x2 (y -3)2 =(2b2 -2y2) (y -3)2 =(y 3)2 2b2 18(-b y b)若 0b3當(dāng)y =七時，| hn |2有最大值b2 +6b +9 ,由題意知：b2 +6b+9 =50 , b = 5/2 -3 或 b =-542-3 ,這與 0b3 矛盾.若b之3,貝U Jb3當(dāng)y =望時，| HN |2有最大值2b2 +18由題意知：2b2 +18 =50 , b2 =16

20、,符合題意 TOC o 1-5 h z 22.所求橢圓G的方程為土十L=132 16設(shè)直線l的方程為y=kx + m,x2 y2. 一o oo代入 五十存=1 中，得(1+2k2)x2 +4kmx+(2m2 -32)=0由直線l與橢圓G相交于不同的兩點知/- 二(4km)2 -4(1 2k2)(2m2 -32) 0.22 m 32 k 16、，一，-，一，一、1要使A、B兩點關(guān)于過點P、Q的直線對稱，必須 kPQ = -一 k設(shè) A(Xi, y1)、B(x2,y2),則Xi X2xQ 二2 km1 2k2myQ = k% m =21 2kPQm 3 m221 2k23 1 2k22 km 21

21、 2k22 km21 2k221 2k2m區(qū)/日(1 2k2)22由 、 得 32k2+16, .320 k247-,9494又 k # 0 , 一k M0 或 0k 0),a b由。|OF| -3 = ,. c = . 2. . b2 = c2 - a2 = 2 a2.22由點P(2, J3)在雙曲線上，:4二1,解得a2 =1 , a 2 -a離心率 e =c =、/2.a22(n)設(shè)所求的雙曲線的方程為 34nMaAObMIPd)，則 a b一FP =(x1 -c,yj.OFP 的面積為 :|宿 |yi|d.|yi|M. 222c+OF FP，( 6 -1)c2,aOF Tp =(x1

22、_c)c = (_1)c2.解得 x1 =#c.0P 1 =x； + y； = J69-+14,當(dāng)且僅當(dāng)c = J3時等號成立 TOC o 1-5 h z 2222一一=1a2 =1a =6此時P(、；2，土虛).由此得a2 b2，解得i 9 或W 0(舍)a2 b2 =3b =2b =一3則所求雙曲線的方程為 x2 亡=1 .2例11、某地政府為科技興市，欲將如圖甲所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū).已知AB _LBC,DA / BC且AB = BC =2AD =4 km,曲線段 DC是以點D為頂點且開口向右的拋物線的一段.(I )建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段DC的方程；

23、(II)如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在 DC上，問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積.(精確到0.1km2)解析：(I)以D為原點，DA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖乙，依題意可設(shè)拋 221物線方程為y =2px(p0),且C (4,2). +2 =2p4.p=.故曲線段 DC的方程為(n)設(shè)P(y2, y)(0 My 2)是曲線段DC上的任意則在矩形 PQBN 中，|PQ| = 2+y,|PN|=4y2.二工業(yè)區(qū)面積 S =|PQPN卜(2 + y)(4 伏)=-y3- 2K + 4y+8. TOC o 1-5 h z .222又 S

24、 = -3y -4y +4,令 S=0 得 yi=,yi=2。,0y 2,. y =一 .33,22當(dāng)yW(0,)時，S30, S是y的增函數(shù)；當(dāng)yW(_,2)時，S m (x21)對一切滿足|m|W2的值均成立，則 x的取值范圍為.9、已知平面區(qū)域 D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū) 域D上有無窮多個點(x,y)可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則 m=10、若圓x2+y2 4x4y10=0上至少有三個不同點到直線l :ax+by = 0的距離為272 ,則直線l的傾斜角的取值范圍是 .11、過坐標(biāo)原點且與 x2+y2 + 4x+2y+5=0

25、相切的直線的方程為 .22，一 2x y 一一，12、如圖，已知拋物線y =2px(p 0)的焦點恰好是橢圓 丁+4=1的右焦點F,且兩條a b曲線的交點連線也過焦點F ,則該橢圓的離心率為 .13、已知 MBC的頂點A為(3, 1), AB邊上的中線所在直線方程為 6x + 10y_59 = 0, NB的平分線所在直線方程為 x -4y +10=0,則BC邊所在直線的方程為 .14、直線l過P (-2, 1)且斜率為k (k1),將直線l繞P點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45得直 線m,若直線l和m分別與y軸交于Q、R兩點，則當(dāng)k為何值時， PQR的面積最??？并 求出面積最小時直線l的方程.15、已知

26、動點 M到點A(2,0)的距離是它到點 B(8,0)的距離的一半.求：(1)動點M的 軌跡方程；(2)若N為線段AM的中點，試求點 N的軌跡.16、已知A、B是雙曲線x2-匕=1上的兩點，O是坐標(biāo)原點，且滿足 OA OB=0,2T-IOP =aOA+(1 -a)OB .1(I)當(dāng)豆二，且oa=(2,J6)時，求p點的坐標(biāo);3(n)當(dāng)OP AB=0時，求|OP|的值；(出)求I AB |的最小值.參考答案http/.答案：3x_2y_3=0、45.答案：S=，)32解：直線mx+y+2=0過一定點 C (0,-2),直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點 (0,-2) 的直線系，因為直線與線段

27、 AB有交點，則直線只能落在/ ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條 直線的斜率分別為 k1、k2,則由斜率的定義可知，直線 mx+y+2=0的斜率 k 應(yīng)滿足 kki 或 kw k2,. A (-2, 3)B (3, 2)454545一 k1 = _ ,k2 = _，-m _或-mw _，即 m .323232291328.136228.答案：x+4y-4=0解：點B在直線l2上，設(shè)B (a,8-2a)，由P是AB的中點得A點的坐標(biāo)為(-a,2a-6)，又A在直線1i上，所以-a-3 (2a-6) +10=0，解得 a=4,故 B (4, 0).直線l的方程為x+4y-4=0.一 4 八.答案：一；。3解：f(=_sin1表小兩點(cosQsin。)與(2,1)連線的斜率. cos1-2.答案：13x-26y+85=0y0-4 3 TOC o 1-5 h z I=一x - 12解：設(shè)點A關(guān)于l的對稱點為A (x0,y0)，則 x0 1 2x0 -1 o y0423-6 = 022所求直線方程為y -131._又 K 0,k2 0 - k1 +k2 =+k2 2 ok2 一37.答案