1、第八章 灰色系統(tǒng)預(yù)測方法 一.灰色系統(tǒng)理論概述 二.灰色關(guān)聯(lián)度的分析與計(jì)算 三.GM(1,1)模型及預(yù)測 四. GM(1,1)殘差模型及其預(yù)測 五.其它灰色預(yù)測模型教學(xué)要求： 清楚灰色系統(tǒng)、生成數(shù)等基本概念； 掌握灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算； 掌握GM(1,1)的建模及預(yù)測； 了解GM(1,1)殘差模型的作用及其實(shí)現(xiàn)； 了解其它灰色預(yù)測模型的用途；教學(xué)重點(diǎn)：關(guān)聯(lián)度計(jì)算， GM(1,1)預(yù)測。教學(xué)難點(diǎn)：GM(1,1)殘差模型。一.灰色系統(tǒng)理論概述 80年代，中國華中理工大學(xué)，鄧聚龍教授創(chuàng)建； 基于系統(tǒng)理論的新分支； 應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，控制系統(tǒng)等的預(yù)測、決策、 控制； 1.灰色系統(tǒng)的概念部分信息已知、部分

2、信息未知的系統(tǒng)，。相對(duì)于白色系統(tǒng)，其系統(tǒng)內(nèi)部特征完全已知或系統(tǒng)信息是充足的。相對(duì)于黑色系統(tǒng)，其系統(tǒng)內(nèi)部信息一無所知，只能從它與外部的聯(lián)系來觀測。舉例：電力供求系統(tǒng) 計(jì)劃體制下白色系統(tǒng). 電價(jià)確定； 電量需求由用電計(jì)劃指標(biāo)決定； 市場條件下灰色系統(tǒng). 電價(jià)不確定； 電量需求受生產(chǎn)經(jīng)營狀況等因素影響；2.灰色預(yù)測的分類時(shí)間序列預(yù)測 用等時(shí)距觀測到的，反映對(duì)象特征的一系列數(shù)據(jù)，構(gòu)造出灰色預(yù)測模型，并預(yù)測未來某一時(shí)刻的特征量，或者是達(dá)到某一特征量所需要的時(shí)間， ?；冾A(yù)測 通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定的時(shí)區(qū)， 。波形預(yù)測（拓?fù)漕A(yù)測） 通過灰色模型，預(yù)測對(duì)于未來變動(dòng)的軌

3、跡，。系統(tǒng)預(yù)測 對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)，建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，在預(yù)測系統(tǒng)整體變化的同時(shí)，預(yù)測系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的變化，。 3.生成數(shù)特點(diǎn)： 不找概率分布。 不尋求統(tǒng)計(jì)特征。處理方法： 累加生成。 累減生成。與概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中各隨機(jī)變量不同。新的數(shù)據(jù)處理的方法，減少波動(dòng)性。 計(jì)算過程： 原始序列 生成序列 其中：原始序列生成序列序號(hào)例題 例1:令 累加生成2.28+2.98=5.26 例2：令 累減生成 5.26-2.28=2.98二.灰色關(guān)聯(lián)度的分析與計(jì)算 分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度。計(jì)算過程： step1:計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù); 設(shè) 多個(gè)參考序列被比較序列則關(guān)聯(lián)系數(shù) 注意： 若單位不一，初值不同的序列

4、，需事先進(jìn)行初始化，即將序列中所有的數(shù)據(jù)分別除以第一個(gè)數(shù)據(jù)。 Step2:計(jì)算關(guān)聯(lián)度 表示被比較數(shù)列與參考數(shù)列間的關(guān)聯(lián)度； 為各關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值。 算例 已知： 參考序列 被比較數(shù)列 求：關(guān)聯(lián)度。yo解:Step 1:初始化xoStep2:求絕對(duì)差序列Step3 求關(guān)聯(lián)系數(shù)與k有關(guān)Step4:求關(guān)聯(lián)度 結(jié)論： y1和y0的關(guān)聯(lián)程度大于y2和y0的關(guān)聯(lián)程度。三.GM(1,1)模型及預(yù)測 GM(1,1)（ Grey Model） 1階1元微分方程， 是一個(gè)線性動(dòng)態(tài)模型，常用于時(shí)間序列。 1.GM(1,1)模型的建立 原始時(shí)間序列 累加生成序列 生成序列X1的微分方程為： 其中，a發(fā)展灰數(shù)； u內(nèi)生

5、控制灰數(shù)待估參數(shù)運(yùn)用最小二乘法，估計(jì)參數(shù)其中： 生成序列的值原始序列的值原微分方程的解為：變量GM(1,1)模型的預(yù)測方程。幾點(diǎn)說明給定原始序列X0中的數(shù)據(jù)，不一定要全部用來建模，對(duì)原始序列的取舍不同，模型會(huì)不同，即a，u會(huì)不同。建模的數(shù)據(jù)取舍，應(yīng)保證建模序列等時(shí)距、相連的，不得有跳躍出現(xiàn)。 一般建模數(shù)據(jù)序列，應(yīng)當(dāng)由最新數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù) 據(jù)構(gòu)成。當(dāng)出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時(shí)，處理方法： 將新信息加入原始序列，重估參數(shù)。 去掉原始序列中最老的一個(gè)數(shù)據(jù)，再加工最新數(shù)據(jù) （等維信息），所形成序列和原序列維數(shù)相同，重估 參數(shù)。2.GM(1,1)模型的檢驗(yàn) 殘差檢驗(yàn) 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn) 后驗(yàn)差檢驗(yàn) 殘差檢驗(yàn)按預(yù)測模型，計(jì)算 ;

6、 將 累減生成 ;計(jì)算原始序列 與 的絕對(duì)殘差 及相對(duì)誤差 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)：按關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法，算出 與原始序列 的關(guān)聯(lián) 系數(shù)，再算出關(guān)聯(lián)度。依經(jīng)驗(yàn)，當(dāng) 時(shí)，若關(guān)聯(lián)度大于0.6,模型滿意。 后驗(yàn)差檢驗(yàn)計(jì)算原始序列的平均值計(jì)算原始序列的均方差計(jì)算殘差 的均值 計(jì)算殘差的均方差計(jì)算方差比計(jì)算小誤差概率p 若記 查表若相對(duì)誤差、關(guān)聯(lián)度、后驗(yàn)差檢驗(yàn)均在允許范圍內(nèi)，則可用所建模型進(jìn)行預(yù)測，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正。 P C 模型評(píng)價(jià) 0.95 0.80 0.70 0.65 勉強(qiáng)合格 0.70 0.65 不合格3.例題已知：試用GM(1,1)建模，并預(yù)測第8期的值。 拐點(diǎn)解: 構(gòu)造累加生成序列 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向

7、量Yn 計(jì)算 ， 和 。即 預(yù)測模型 指數(shù)函數(shù)形式殘差檢驗(yàn)因?yàn)?故i1234562.673.133.253.263.563.722.675.809.0512.4115.9719.692.675.789.0312.43015.9719.682.673.113.253.403.543.71GM(1,1)模型計(jì)算一覽表故絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差小于4%關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)：計(jì)算 與 的絕對(duì)誤差 。 注：由于只有2個(gè)序列，故不必尋求二級(jí)最大或最小。關(guān)聯(lián)系數(shù)為 故 關(guān)聯(lián)度為 ，模型滿足要求。后驗(yàn)差檢驗(yàn)X0的均值X0的均方差殘差的均值殘差的均方差 計(jì)算方差比計(jì)算小概率 因?yàn)樗?都小于 ，故P=1預(yù)測四.GM(1,1)殘

8、差模型1.問題的提出： 當(dāng)用X0建立的GM(1,1)模型檢驗(yàn)不合格時(shí)； 當(dāng)用X0建立的GM(1,1)模型精度不理想時(shí)； 2.殘差模型的建立 X0構(gòu)建的GM(1,1)模型為 為預(yù)測序列； 為生成序列； 對(duì)e1建立GM(1,1)模型殘差修正部分3.注意事項(xiàng) 一般不使用全部殘差建模。 修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用 與 中的 取值有關(guān)。 4.算例已知：試：作下一期的預(yù)測。 解：殘差計(jì)算表 P175 表6-3分析：絕對(duì)誤差有增長趨勢殘差序列： 殘差修正模型 修正后殘差計(jì)算表 P176 表6-4 所以 GM(1,N)模型 N個(gè)變量構(gòu)成系統(tǒng) 表示N個(gè)變量 每一個(gè)變量的累加生成公式由這n個(gè)序列組成的系統(tǒng)，圍繞著主要因素 建立