1、5.導(dǎo)函數(shù)一一不等式x.已知函數(shù)f(x) e kx，x R(I)若k e,試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)問；(U)若k 0,且對于任意x R, f(x) 0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；nn 1(田)設(shè)函數(shù) F(x) f(x) f(x),求證：F(1)F(2)L F(n) (e2)2(n N )分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問 題、解決問題的能力。 TOC o 1-5 h z xx解：(1)由 k e得 f(x) e ex，所以 f(x) e e.由f (x) Mx 1 ,故

2、f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，1 HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 由f (x) 0得x 1,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(.(n)由f( x) f(x)可知f(x)是偶函數(shù).于是f(x) 0對任意x R成立等價于f (x) 0對任意x 0成立.由_x_f (x) e k 0得x Ink .x當(dāng)k (01時，f (x) e k 1 k 0(x 0).此時f(x)在0,)上單調(diào)遞增.故f(x)Af(0) 1 0,符合題意.當(dāng)k (1，兀寸，Ink 0 .當(dāng)x變化時f (x), f(x)的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在0，)上，f(

3、x) f(ln k) k klnk .依題意，k klnk 0,又k 1，1 k e .綜合，得，實數(shù)k的取值范圍是0 k e.(田)Q F(x) f(x) f( x) ex eF(x(x2) e(為 X2)x1 x2e ex1 x2cx1 x2(x1 x,)為e e 2 eF(1)F(n) en 1 2由此得，F(xiàn)(1)F(2)L F(n)2 FF(n)F(2)F(n 1)L F(n)F(1)(en 1 2)nn故 F(1)F(2)L F(n) (en 1 2)2, n N、兒 f(x)2.設(shè)gt(x)t3x ft(I)求函數(shù)y f(x) g8(x)的單調(diào)區(qū)間;(H)求證：(i )當(dāng)x0時，f

4、(x)gt(x)對任意正實數(shù)t成立;(ii)有且僅有一個正實數(shù)x0 ,使得g8(x0) gt(x。)對于任意正實數(shù)t成立。分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜 合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.分類討論、化歸(轉(zhuǎn)化)思想方法x3 ，16y 4x 解：332由y x 4 0 ,得x 2.因為當(dāng)2)時，y 。,當(dāng) x ( 2,2)時，y 0,當(dāng) x(2,)時，y,故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是2),(2,),單調(diào)遞減區(qū)間是(22) .(II )證明：(i)方法一:32x 7h(x) f (x) gt(x) t x33Mx0)當(dāng)t 0時，由h(x) 0,得x1t

5、3所以h(x)在。)內(nèi)的最小值是,當(dāng)1 h(t)22 工，則h(x) x t ,1(x3)時，h(x) 0,0 .故當(dāng)x 0時，f(x) A gt(x)對任意正實數(shù)1成方法二:對任意固定的x0,令h(t) gt(x) t3x 3t(t 0)h(t) ,則11-t3(x t*)3 ，由h(t) 氣得tX3 .當(dāng)0 t X3 時，h(t) 0 ；當(dāng) t X3 時,h(t) 03, ,、h(x3) -x3所以當(dāng)t x3時，h取得最大值3 .因此當(dāng)X 0時，f(x) g(x)對任意正實數(shù)t成立.(ii )方法一:f8 gt3 .由(i)得，gt gt對任意正實數(shù)t成立.即存在正實數(shù)X0 2 ,使得gx

6、 gt對任意正實數(shù)t成立.卜面證明Xo的唯一性:當(dāng) X02Xd08時,f(X0)3X016 gx(x0) 4X0 3 ，由(i )得,gx(X0) 所以3X04X0163 ,再取t3X0彳曰九4方)3X04X01633Xo3gX03(X0)X。2時，不滿足gx(Xo) gt(Xo)對任意t 0都成立.故有且僅有一個正實數(shù)Xo2 ,使得gx(X0)0 gt(X0)對任意正實數(shù)t成立.、人 16方法二：對任意x0 0gx(x0) 4X0 3 ， TOC o 1-5 h z 13/ 、一 X因為gt(X0)關(guān)于t的最大值是3,所以要使gx(X。)Agt(X0)對任意正實數(shù)成立的充分必 要條件是:4X

7、0161 353X。，即(X。2)2(X0 4尸 0,又因為X00 ,不等式成立的充分必要條件是X02 ,所以有且僅有一個正實數(shù) 刈2 ,使彳4 9X(X0)gt(X0)對任意正實數(shù)t成立.nC N*3.定義函數(shù) f n( x )=(1 +X)n1, x 2,求證：f n ( x ) nx ;(2)是否存在區(qū)間a , 0 (a。)，使函數(shù) h( x ) =f 3( x )f 2( x ) 在區(qū)間a , 0上的值域為ka, 0?若存在，求出最小實數(shù)k的值及相應(yīng)的區(qū)間a, 0,若不存在， 說明理由.分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜 合運用所學(xué)知識分析和解

8、決問題的能力.分類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法解：(1)證明：f n( x ) nx = (1 + x)n 1 nx,令 g( x ) =(1+x)n1 nx ,則 g( x )=n(1 +x)n 1 1.當(dāng) xC(2, 0)時，g( x )0,.g( x )在x = 0處取得極小值g( 0 ) =0,同時g( x )是單峰函數(shù)，則g( 0 )也是最小值.；g( x ) 0,即f n ( x )nx (當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時取等號).注：亦可用數(shù)學(xué)歸納法證明.h( x ) =f 3( x )-f 2( x )=x( 1 +x )2.,.h( x ) = (1+x)2 + x 2(1 + x)=(1 +

9、x)(1 +3x)1令 h(x) =0,得 x= 1或乂= a , 3、一 一、一_1 _, TOC o 1-5 h z 當(dāng) xC (2, 1) , h(x) 0;當(dāng) xC( 1, 3)時，h(x)0.J_,故作出h(x)的草圖如圖所示，討論如下：一14當(dāng)一a9, a=；時取等號.綜上討論可知k的最小值為1,此時a , 0 = 4, 0. 932x af (x) (x R)例4.已知 x 2 在區(qū)間11上是增函數(shù)。(1)求實數(shù)a的值組成的集合A;f x2式 m tm 1 |xi x21 對（2）設(shè)關(guān)于x的方程x的兩個非零實根為Xi、x2。試問：是否 m R,使得不a 2 1包成立？若存在，求m

10、的取值范圍；若不存在，請說明理由 分析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜 合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.函數(shù)方程思想、化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法2x a, c、2(x R)解：(1) f(x) x 2f (x)一 2 一 一一2( x2 2) (2x a) 2x(x2 2)2.f(x)在H上即x 11，恒有X2設(shè) g(x) x2 ax 22x a1f (x)一(2)x 2xa2 8 022(x2 ax 2)(x2 2)22(x2 ax 2)(x2 2)2ax 2 0成立g( 1) a 1 0.g(1) a 1 02x ax 2 0f (x)0對x 1,1恒

11、成立1 a 1A 1,12X1、為是方程x ax 2 0的兩不等實根，且x1x22| x1 x2 |(x1 x2)2 4x1x2a2 8 2 2,32 . m tm 1 |x1 x21對 a A&t 1，1恒成立m2 tm 1 3對 t 1，1恒成立2設(shè) h(t) m t (m 2) , t 1,1h(t) 0對t S恒成立h( 1)m2 m 2 0 m1或 m2h(1)m2m 2 0 m2 或 m1m （，22，）滿足題意x5,已知函數(shù) f（x） 1n（e a）（a ）。1（i）求函數(shù)y f（x）的反函數(shù)y f （x）和f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（X）；1（2）假設(shè)對x 1n（3a），1n（4a）,

12、不等式. h(x)在1n(3a),1n(4a)上1n(2a) 1n(4a) 1n(3a) m 1n( 3a)m f （x） | 1n（f （x） 成立，求實數(shù)m的取值范圍。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識， 以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力.化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：(1) y 1n(ex a) eey ax1n(ey a)f 1(x) 1n(ex a)y 1n(ex a)(2)x 1n(3a),1n(4a)|m f 1(x)|1n(f (x)0成立| m 1n(ex a) |x1ne axe a1ne1n( exa) xm 1n(exa)1n

13、(exa)x 、設(shè) g(x) 1n(e a)1n(ex a)x h(x) 1n(exa)1n(ex a) x x 1n( 3a), 1n(4a)g (x)1n(3a),1n(4a)恒有 g(x)m h(x)成立x exex 1n(3a),1n(4a)xe 3a,4aexexex axexe axexe a(x)0,g(x)在1n(3a),1n(4a)上g(x)maxg(1n(4a) m即 1n(3a) 1n(5a) 1n(4a)12m 1n( a)5h (x)m h(x)min h(1n(3a)128(ln( a), ln( a)一. m的取值范圍是53f(x) 16.設(shè)函數(shù)(n N,且 n 1, x N)1(I )當(dāng)x=6時，求的展開式中二項式系數(shù)最大的項；f(2x) f(2)(n)對任意的實數(shù)x,證明 f (x)(f (x)是f (x)的導(dǎo)函數(shù));(田)是否存在2 N，使得an k 11k (a 。叵成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在，請說明理由.(I)解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第2x1 2n4項，這項是1 2C；1