1、1.3空間幾何體的表面積與體積柱體、錐體、臺體的表面積與體積學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解柱體、錐體、臺體的表面積與體積的計(jì)算公式.2.掌握柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計(jì)算方法，并能計(jì)算簡單組合體的表面積和體積點(diǎn)).3.理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體的表面積與體積(重點(diǎn)).自主學(xué)可，積淀基此I課前頸習(xí)知識點(diǎn)1柱體、錐體、臺體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺是由多個平面圖形圍成的多面體，它們的表面積就是各個面的面積和.(2)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱力11 k FS 圓柱=2 Tir(r +1),r為底面半徑

2、,1為側(cè)面母線長圓錐S 圓錐=(r + 1), r為底面半徑、1為側(cè)面用線長圓臺S 圓臺=九 +2+| +11),r 為上底面半徑,r為下底面半徑,1為側(cè)囹母線長【預(yù)習(xí)評價(jià)】. 一個幾何體的平面展開圖一定相同嗎？其表面積是否確定?提示 不同的展開方式，幾何體的平面展開圖不一定相同； 表面積是各個面的面積和，幾何體的平面展開方法可能不同，但其表面積唯一確定.求圓柱、圓錐、圓臺的表面積時(shí)，關(guān)鍵是什么？提示 求圓柱、圓錐的表面積時(shí)，關(guān)鍵是求其母線長與底面的半徑； 求圓臺的表面積時(shí)，關(guān)鍵是求其母線長與上、下底面的半徑.知識點(diǎn)2柱體、錐體與臺體的體積公式幾何體體積說明柱體V柱體=ShS為柱體的底而積,h

3、為柱體的同錐體一1V錐體=ShS為錐體的底卸枳,h為錐體的直臺體V 臺體=3（S，+ Vss +S）h 3S, S分別為臺體的上、下底面面積，h 為臺體的應(yīng)【預(yù)習(xí)評價(jià)】.若長方體的長、寬、高分別為 3 cm, 4 cm, 5 cm,則長方體的體積為()A. 27 cm3B. 60 cm3C. 64 cm3D. 125 cm3解析 V 長方體=3 X 4 X 5 = 60(cm3).答案 B.棱臺的上、下底面面積分別是 2, 4,高為3,則棱臺的體積等于.解析 V臺體=1(2 + 4+亞4) X 3 3= 1X3X(6+2 2) 3= 6+2 2.答案 6+2也課堂互動型:“析，耳動講究題型一空

4、間幾何體的表面積【例1】 圓臺的母線長為8 cm,母線與底面成60。角，軸截面的兩條對角線互 相垂直，求圓臺的表面積.解 如圖所示的是圓臺的軸截面 ABBiAi,其中/AiAB=60,過Ai作AiHLAB于 H,則 OiO=AiH = AiA sin 60= 4A/3(cm),A, Q H|.4 H O aAH = AiA cos 60 = 4(cm).設(shè) OiAi =門，OA=2,則2 ri = AH = 4.設(shè)AiB與ABi的交點(diǎn)為M,則 AiM = BiM.又. AiBLABi, ./AiMOi = /BiMOi = 45.OiM = OiAi = ri.同理OM = OA=.OiO =

5、 OiM + OM=ri+r2 = 4A/3,由可得 ri = 2(，3i), r2 = 20V3+i).S表=TT2+ tt2+ 7tri + r2)l = 32(i + V3)九(cm).規(guī)律方法空間幾何體的表面積的求法技巧：(i)多面體的表面積是各個面的面積之和.(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.【訓(xùn)練U 若正方體的棱長為V2,則以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面 體的表面積為(A.雪B. 2 mC. 3以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積:解析的四棱錐

6、的側(cè)面積之和,D看c C 1，S=8x2x 1 x 1 xsin60 = 2點(diǎn).故選B.答案 B題型二 柱體、錐體、臺體的體積【例 2】在 RtAABC 中，AB=3, BC=4, /ABC=90,把 ABC 繞其斜邊AC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后，所形成的幾何體的體積是多少?解 由題意，所形成的幾何體為兩個圓錐的組合體，如圖所示，兩個圓錐的底面半徑為斜邊上的高 BD,目 cc AB BC i2且 BD = O =虧，兩個圓錐的高分別為AD和DC,所以 V-VztBD2 AD + D2 CD 33i 2八 i 2 八= -tBD2 (AD + CD) = -tBD2 AC 3312 23鏟 f2X5

7、=48L 冗 .5故所形成的幾何體的體積是48冗.規(guī)律方法 求幾何體體積的常用方法【訓(xùn)練2】如圖，在棱長為a的正方體ABCD AiBiCiDi中，求A到平面AiBD的距離d.c4解 在三棱錐 Ai-ABD 中，AAi,平面 ABD, AB=AD = AAi = a,AiB=BD=AiD = /a,VAABD=VA A1BD, xa2 a=：xgx V2ax 乎 72a d. 3 23 223.一，. 3d=號-a.A到平面A1BD的距離為當(dāng)a.33考查方向題型三求組合體的表面積與體積方向1知三視圖求體積（表面積）【例3-11某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積等于（）正覘

8、圖帽視圖陽視圖7九2 cm(5 +血2cm6九2cm如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該90 幾63 幾幾何體由一平面將一圓柱截解析（1）此幾何體是由一個底面半徑為1,高為2的圓柱與一個底面半徑為1, 母線長為2的圓錐組合而成的，故 S表=$圓柱側(cè)+S圓錐側(cè)+ S底=2啟1X2 +TtX 1X2+ TtX 12=7 兀(cm).由題意，該幾何體是由高為 6的圓柱截去一半后的圖形加上高為 4的圓柱,故其體積為 V=2 ,冗2 6科兀2 4=63乃故選B.答案(1)B (2)B方向2割補(bǔ)法求體積【例3 2】 如圖所示，已知ABCD AiBiCiDi是棱長為a的正方體

9、，E, F分 別為AAi, CCi的中點(diǎn)，求四棱錐Ai EBFDi的體積.解 因?yàn)?EB=BF=FDi = DiE=4Ea+DiF / EB,所以四邊形EBFDi是菱形.連接 EF, WJFB0/EFDi.易知三棱錐AiEFB與三棱錐AiEFDi的高相等,故Vai 一EBFDi = 2VAi EFB= 2Vf EBAi.一一 i_. i 2又因?yàn)榧癳bai = 2EAi AB =4a ,則 Vf-EBAi=i2a3,i 3所以 Vai-ebfdi = 2Vai-efb=2Vf-ebai = 6a .規(guī)律方法組合體體積與表面積的求解策略：(i)首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)

10、怎樣求其面積， 然后把這些面的面積相加或相減； 求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡單幾何體 的體積，然后再相加或相減.在求組合體的表面積、體積時(shí)要注意“表面（和外界直接接觸的面）”與“體積 （幾何體所占空間的大小）”的定義，以確保不重復(fù)、不遺漏.I課堂反饋I雪I雪直主派旗魏蒯咸酸冒課堂達(dá)標(biāo)1. 一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（）1+2-1+4-. 九.2九SK 2，+ 2劉 r+h母線長為 h, 小 = 2 4,貝=SM271rhh1+2兀1+2冗A. 2冗B. 4冗解析設(shè)底面圓半徑為r,r +2 7r 1 +2 兀2 71r = 2 -.2的圓柱被一平面所截

11、，截得的幾何體的最短和最長答案 A.如圖，一個底面半徑為母線長分別為2和3,則該幾何體的體積為（）A. 5 兀B. 6 兀C. 20 兀 D. 10 九解析 用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為ttX 22X5=20冗，故所求幾何體的體積為10 7t.答案 D.已知某正三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（）漸覘圖A. 9mB. 972 + 943C. 1272D. 12/3解析 由三視圖可知三棱錐的高為2R底面正三角形的高為3,則底面正三角 形的邊長a滿足乎a = 3,解得a = 273.又側(cè)棱長為yj (2也2 + 22 = 2品故該正三棱錐是正四面

12、體，該三棱錐的表面積為：4xx(243)2=12季.故選D.答案 D4.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為 Si, S2,體積分別為Vi, V2.若它們的側(cè)面S1 9V1積相等，且11=9,則V1的值是S2 4V2解析 設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為ri, r2和hi, h2.由11=4,得京=9,ri 3. 二 r2 2由圓柱的側(cè)面積相等，得 2 7Tlhl= 2 TT2h2,即門hi = r2h2.、，2.八Vi Tirihi ri 3= -2-=二V2 2h2 r2 23答案25.某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為 .解析 由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個以俯視圖為底面的四

13、棱柱,i33棱柱的底面面積S= 2X(i + 2)xi = 2,棱柱的圖為i,故棱柱的體積V=2.課堂小結(jié).棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積將棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開，其側(cè)面展開圖分別是由若干個平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側(cè)面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、 棱臺的側(cè)面積.(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自的底面積的和.對柱體、錐體、臺體的體積公式的四點(diǎn)說明(1)等底、等高的兩個柱體的體積相同.(2)等底、等高的錐體和柱體的體積之間的關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)得出，等底、等高的柱體的體積是錐體的體積的 3倍.(3)柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V=1(S 底

14、4N 卅上底 擴(kuò)大1r =5求臺體的體積轉(zhuǎn)化為求錐體的體積.根據(jù)臺體的定義進(jìn)行“補(bǔ)形”，還原為錐體，采用“大錐體”減去“小錐體”的方法求臺體的體積.強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固捍升I課后作業(yè)基礎(chǔ)過關(guān). 一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是 32乃則母線長為()A. 2B. 2m C. 4D. 8解析圓臺的軸截面如圖,1由題意知，l = 2(r + R),KS 圓臺側(cè)=兀 r + R) l tc l l= 32 wl = 4.答案 C.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè) 面積是（）A. 4兀B. 3兀C. 2九D.冗解析 底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S= 2

15、 71rh = 2” 1X1=2冗故選C.答案 C.若一個圓臺的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于 （）A. 6B. 6 兀C. 3757tD. 6757t解析V圓臺的母線長為,(21) 2 + 22 =乖,- S圓臺側(cè)=兀(12) V5 35九.答案 C.已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位:m）,則該四棱錐的體積為3俯視圖解析 依題意得，該四棱錐底面平行四邊形的一邊長為2,該邊上的高為1.又依據(jù)正視圖知該四棱錐高為3. V 四棱錐=3$ h= 3乂 2X 1 X 3= 2（m3）.答案2. 一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之

16、比為.解析 S圓柱=2 , 2J + 2兀,2二/1S圓錐= S圓柱：S圓錐=2 ： 1.答案 2 ： 1.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為 5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓 柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為 .解析 設(shè)新的底面半徑為r,則有1X Tir2X4+力2*8 = 1*鏟52X4+ ttX 22X8, 33解得r = . 7.答案 7.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為 6、高為4的等腰三角形.求該幾何體的體積V; (2)求該幾何體的側(cè)面積S

17、側(cè).解 由已知可得該幾何體是一個底面為矩形、高為4、頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐VABCD.1 (1)V=-X(8X6)X4=64.3(2)該四棱錐的兩個側(cè)面 VAD, VBC是全等的等腰三角形，且 BC邊上的高為hi = Y42-Tj|J = 4啦，另兩個側(cè)面VAB, VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上 的高為h2=、42+匕1=5.1 一 一 1 一一因止匕 S側(cè)=2 弦X6X 42 + 2X 8X 5 J = 40+24 2.能力提升B. 18+通D. 18A. 21 + 陋C. 21解析由三視圖可知，該多面體為一個棱長為2的正方體在左下角與右上角各切 去一個三棱錐，因此該多面體

18、的表面積為6X 44-2 |：+ 2x/g6x2 = 21+V3.答案 A9.體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的 圓錐的體積是（）A. 54B. 54 兀C. 58D . 58 幾解析 設(shè)上底面半徑為r,則由題意求得下底面半徑為3r,設(shè)圓臺高為h1,則52 = 1 如(r2 + 9r2 + 3r r), 32r h h13h1=12.令原圓錐的高為h,由相似知識得3r = h-,占二萬團(tuán),V原圓錐=1兀(3)2X h= 3/乂 = 9X12 = 54. 322答案 A1io.由一個長方體和兩個4圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積解析 V=V11.2冗