1、第 3 講 空間圖形的基本關(guān)系與公理一、選擇題(2015?湖北卷公表示空間中的兩條直線，若p： 公是異而直線： A,公不相交，貝 I()p 是 q 的充分條件，但不是q 的必要條件p 是 q 的必要條件，但不是q 的充分條件p 是 q 的充分必要條件P 既不是 q 的充分條件，也不是g 的必要條件解析 直線公,公是異面直線，一泄有公與公不相交，因此 P是q的充分條件；若人 與公不相交，那么公與公可能平行，也可能是異而直線，所以P不是q的必要條件.故選A.答案 A(2017?關(guān)叼,卜|聯(lián)考)已知直線a和平面，0, 0 = 2, a 二 肚B,且a在，B 內(nèi)的射影分別為直線&和 c, 則直線 b

2、和 c 的位置關(guān)系是()A.相交或平行B.相交或異而C.平行或異面D.相交、平行或異而解析 依題意，直線&和 c 的位苣關(guān)系可能是相交、平行或異而，選D.答案 D給出下列說法：梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共而；三條平行直線共而：有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平1 個(gè)或 3 個(gè)平面?其中正確的序號是()B.D.而重合；二條直線兩兩相交，可以確左A.C解析顯然命題正確 .由于三棱柱的三條平行棱不共而，錯(cuò)命題中，兩個(gè)平而重合或相交，錯(cuò)三條直線兩兩相交，可確左 1個(gè)或3個(gè)平面，則命題正確答案 B(2017?安慶模擬)a,b, c是兩兩不同的三條直線，下而四個(gè)命題中，真命題是()A.若直線a, b異而，b, c異面，則a, c異

3、而B.若直線a, b相交，b, c相交，則a, c相交C.若a/b,則a, b與c所成的角相等D.若 a_L b_L c,則 a/c解析若直線a, b異而，b, c異而，則a, c相交、平行或異而；若 a, b相交，b, e相交，則a, c相交、平行或異而； 若a _L b, b_Lc,則a, c相交、平行或異而：由異而直線所成的角的左義知C正確.故選C.答案C5.已知正方體ABCD-AAC中，E、尸分別為宓，QG的中點(diǎn)，那么異而直線血與 2尸所 成角的 余弦值為()A. z B. ? C. D. |53/解析OG連接亦則肚加.? .3FD為異面直線血與2尸所成的角.設(shè)正方體棱長為a,貝U D

4、,D=a. DF=Aa, D,F=Aa,答案B二、填空題6.如圖，在正方體ABCD_AR即M A分別為棱CQ的中點(diǎn).有以下四個(gè)結(jié)論直線與CG是相交直線； 直線月“與3V是平行直線;fij求 文庫直線BY與是異而直線;直線M與M所成的角為60?其中正確的結(jié)論為 （填序號）.解析兒M,G三點(diǎn)共面，且在平面 ADGBP,但僅平面 ADGB,因此直線山/與g是異而直線，同理與3V也是異而直線，錯(cuò)：M, B, 5三點(diǎn)共而，且在平 而.砸中， 但.悴平而.血3,陰避，因此直線3V與.血是異面直線，正確：連接 2ZG因?yàn)?G7.KV,所 以直線妣V與M所成的角就是2Q與M所成的角，且角為60.答案？7.如圖

5、，正方體的底而與正四而體的底而在同一平而上，且也切，則直線巧與正方 體的六個(gè)面所在的平而相交的平而個(gè)數(shù)為 ?解析 取G?的中點(diǎn)力，連接筋皿在正四而體 CDE葉,由于G?，胡G?，亦且EHQFH=Hm，平而沏，所以曲，平而羽 則平面日勺與正方體的左右兩側(cè)而平行，則疔也與之平行，與其余四個(gè)平而相交.答案48.（2014?全國II卷改編）直三棱柱 ABC-AA5, Z5八=90 , M,N分別是4G的中點(diǎn)，BC=CA=CQ1冊與的所成角的余弦值為 . 解析如圖所示，/ ty w、V / :/ 1 */ J：C ；_RA取肚中點(diǎn)0,連接.0,切，AD.?:呱N分別是人3,凡G的中點(diǎn)，:? MN錄BD則

6、四邊形血為平行四邊形，因此 ND/ ? ?.Z&切為異面直線冊與的所成的角 （或英補(bǔ)角）.設(shè) BC=2貝U B、f=AD福凡=審，AD=y5,在出R中，由余弦泄理得AZ7+AV-J27cosZAVp=2ND? AV故異而直線型與?。克山堑挠嘞抑禐榘?010 ?答案V3010三、解答題9 ?如圖所示，正方體 ABCB AbCD中，二 再分別是兒久3G的中點(diǎn)？問：B木朋和少是否是異面直線？說明理由:(2)幾5和QG是否是異而直線？說明理由.解 冊，CV不是異面直線？理由：連接血：也 G, AC.B因?yàn)榕逳分別是凡久3G的中點(diǎn)，所以MN/A.Q.又因?yàn)榻y(tǒng)GC,所以四邊形/MCG為平行四邊形,所以

7、A.CJ/AC.所以 MN/AC.所以A, M, A; Q在同一平而內(nèi)，故出/和M ?不是異而直線.(2)直線2萬和CG是異而直線.理由：因?yàn)锳BCD-A.B-.GD-.是正方體，所以萬，C, G, 2不共而.假設(shè)D萬與CG不是異 而直線，則存在平而，使2萬 平而a , CQ平而，所以久B. G GG a,這與5 G G, 2不共而矛盾.所以假設(shè)不成立，即0/和QG是異而直線.10. (2017 ?咸陽中學(xué)月考)如圖所示，在三棱錐 P-遁中，丹，底而救；。是 FC的中點(diǎn).已知ZBAC=.AB=2. AC= PA=2 求：三棱錐尸一磁的體積；異而直線龐與肋所成角的余弦值.解5行一權(quán)2乂2小-2班

8、,三棱錐F一磁的體積為y飛：Ac ? PA =A X X 2=AA3.入a /i ! Ei AL/， %/ /f J XJ,如圖，取丹的中點(diǎn)僅 連接加AE.則ED/BC.所以ZAD所異而直線If與肋所成的角（或其補(bǔ)角）.在月眩中，DE=2 AE=? AD=2,cos ZADE=27+27-2 32X2X2故異而直線肚與初所成角的余弦值為*11.以下四個(gè)命題中，不共而的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)& B. G Q共而，點(diǎn)A, B, G/E共而，則點(diǎn)乩B、C, D./E共而:若直線a, b共而，直線a, c共而，則直線b c共而；依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是()0 B? 1

9、C? 2 D. 3解析 假設(shè)英中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確左一個(gè)平而，這與四點(diǎn)不共而矛盾，故英中任意三點(diǎn)不共線，所以正確.從條件看出兩平而有三個(gè)公共點(diǎn)兒B, C、但是若月，B, C共線，則結(jié)論不正確：不正確；不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平而上，如空間四邊形.答案B12.若空間中四條兩兩不同的直線么,2=,A, A,滿足公，么,則下列結(jié)論一定正確的是()A.LC.公與公既不垂直也不平行D. L與人的位置關(guān)系不確定 解析如圖，在長方體 ABCD-AbCD中，記公=皿，L=DC 1尸D若滿足公，么,AA,此時(shí)公八可以排除選項(xiàng) A和C.若取GQ為公,則公與Z4目交；若取

10、功為公,則公與公異而；取 G2為八則公與公 相交且垂直.因此公與Z,的位宜關(guān)系不能確左AC=BC=2, ZACB= 90 , F, G答案D13.如圖，正方形月宓與等腰直角三角形所在的平而互相垂直，且分別是線段月E氏的中點(diǎn)，則初與少所成的角的余弦值為 解析取度的中點(diǎn)總連接即，G應(yīng)由題沒,八1HF-AD.:?乙GFH異面直線肋與G尸所成的角（或其補(bǔ)角）.民、GHFK 可求曲=血GF=GH=A.2+6-6 _yj3:.cosZHFG= (=七？2X邊6答案羋614?如圖？在四棱錐一彳固8中，底而彳固S是邊長為2的正方形.加，底而取7?,0A=2,”為Q1的中點(diǎn)?求四棱錐一泅的體積：（2）求異而直線&冉所成角的正切值解（