1、第3章 離散傅立葉變換DFSDFS的性質(zhì)DFTDFT的性質(zhì)循環(huán)卷積利用DFT計(jì)算線性卷積頻率域抽樣FFT引言DFT是分析有限長(zhǎng)序列的重要工具，是現(xiàn)代信號(hào)處理的橋梁。DFT解決了頻域離散化的問題，在信號(hào)處理的理論上有重要意義。DFT 實(shí)現(xiàn)了多種快速算法，在信號(hào)實(shí)時(shí)處理的運(yùn)算方法方面起核心作用，使譜分析、卷積運(yùn)算、相關(guān)運(yùn)算都可以通過DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。3.1離散傅氏級(jí)數(shù)及其性質(zhì)傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是在以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”和以頻率為自變量的頻譜之間建立某種變換關(guān)系，所以當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”周期性或取離散值時(shí)，就會(huì)形成不同形式的傅立葉變換對(duì)。傅氏變換時(shí)間域和頻率域的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 時(shí)間域 頻率域非

2、周期和連續(xù)的非周期和連續(xù)的 周期的 離散的 離散的 周期的 周期離散的 周期離散的有限長(zhǎng)序列的傅里葉分析一、四種信號(hào)傅里葉表示1. 周期為T0的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)： 離散非周期譜2. 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)： 連續(xù)非周期譜3. 離散非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)： 周期為2的連續(xù)譜4. 周期為N 的離散周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為N的離散譜 在四種傅立葉變換中，只有第四種適合于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。第四種變換對(duì)，稱為周期序列的離散傅氏級(jí)數(shù)（DFS）。 為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）表示。一個(gè)周期為N的周期序列，即 ， k為任意整數(shù)，N為周期周期序列不能進(jìn)行Z變換

3、，因?yàn)槠湓?n=-到+ 都周而復(fù)始永不衰減，即 z 平面上沒有收斂域。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）周期為N的正弦序列其基頻成分為： K次諧波序列為： 但離散級(jí)數(shù)所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的，這是與連續(xù)傅氏級(jí)數(shù)的不同之處， 即 因此 將周期序列展成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，只需取 k=0 到(N-1) 這N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，所以一個(gè)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)只需包含這N個(gè)復(fù)指數(shù)， 利用正弦序列的周期性可求解系數(shù) 。將上式兩邊乘以 ，并對(duì)一個(gè)周期求和 上式中 部分顯然只有當(dāng)k=r時(shí)才有值為1,其他

4、任意k值時(shí)均為零,所以有 或?qū)憺?1) 可求 N 次諧波的系數(shù) 2） 也是一個(gè)由 N 個(gè)獨(dú)立諧波分量組成的傅立葉級(jí)數(shù) 3） 為周期序列，周期為N。時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域上仍是一個(gè)周期序列。 是一個(gè)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)，這種對(duì)稱關(guān)系可表為： 習(xí)慣上：記 ，叫旋轉(zhuǎn)因子 DFS變換對(duì)公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無窮長(zhǎng)序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長(zhǎng)序列實(shí)際上只有N個(gè)序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。則DFS變換對(duì)可寫為DFS 離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換IDFS離散傅里葉級(jí)數(shù)反

5、變換。DFS的幾個(gè)主要特性： 假設(shè) 都是周期為 N 的兩個(gè)周期序列，各自的離散傅里葉級(jí)數(shù)為： 1）線性 a,b為任意常數(shù) 2）序列移位 證：因?yàn)?及 都是以N為周期的函數(shù)，所以有 由于 與 對(duì)稱的特點(diǎn)，同樣可證明4）周期卷積若 則 或 證： 這是一個(gè)卷積公式，但與前面討論的線性卷積的差別在于，這里的卷積過程只限于一個(gè)周期內(nèi)（即 m=0N-1），稱為周期卷積。例： 、 ，周期為 N=7, 寬度分別為 4 和 3 ，求周期卷積。 結(jié)果仍為周期序列，周期為 N 。周 期 卷 積 由于DFS與IDFS的對(duì)稱性，對(duì)周期序列乘積，存在著頻域的周期卷積公式，若 則 我們知道周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意

6、義，因此它的許多特性可推廣到有限長(zhǎng)序列上。 一個(gè)有限長(zhǎng)序列 x(n)，長(zhǎng)為N， 為了引用周期序列的概念，假定一個(gè)周期序列 ，它由長(zhǎng)度為 N 的有限長(zhǎng)序列 x(n) 延拓而成，它們的關(guān)系： 離散傅里葉變換（DFT）周期序列的主值區(qū)間與主值序列： 對(duì)于周期序列 ，定義其第一個(gè)周期 n=0N-1，為 的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列 x(n)。x(n)與 的關(guān)系可描述為： 數(shù)學(xué)表示： RN（n）為矩形序列。符號(hào)（n）N 是余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，表示 n 對(duì) N 求余數(shù)。例： 是周期為 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 對(duì) N的余數(shù)。 頻域上的主值區(qū)間與主值序列： 周期序列 的離散付氏級(jí)

7、數(shù) 也是一個(gè)周期序列，也可給它定義一個(gè)主值區(qū)間 ，以及主值序列 X(k)。數(shù)學(xué)表示： 再看周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換（DFS）公式： 這兩個(gè)公式的求和都只限于主值區(qū)間（0N-1），它們完全適用于主值序列 x(n) 與 X(k) ，因而我們可得到一個(gè)新的定義有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換定義。 長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列 x(n) ，其離散傅里葉變換 X(k) 仍是一個(gè)長(zhǎng)度為N 的有限長(zhǎng)序列，它們的關(guān)系為： x(n) 與 X(k) 是一個(gè)有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換對(duì)，已知 x(n) 就能唯一地確定 X(k) ，同樣已知 X(k) 也就唯一地確定 x(n) ，實(shí)際上 x(n) 與 X(k) 都是長(zhǎng)度為 N 的

8、序列（復(fù)序列）都有N個(gè)獨(dú)立值，因而具有等量的信息。有限長(zhǎng)序列隱含著周期性。是的主值，可看成是的周期延拓幅度頻譜相位頻譜與序列傅立葉變換的關(guān)系平面1. 線性需將較短序列補(bǔ)零后，再按長(zhǎng)序列的點(diǎn)數(shù)做DFT2. 循環(huán)位移(Circular shift of a sequence) 循環(huán)位移定義為離散傅里葉變換的性質(zhì)4nnnnn1532k=0k=2k=1k=4k=3DFT頻域循環(huán)位移特性DFT時(shí)域循環(huán)位移特性3. 對(duì)稱性(symmetry)周期共軛對(duì)稱序列(Periodic conjugate symmetry)定義為 周期共軛反對(duì)稱序列(Periodic conjugate antisymmetry)

9、定義為當(dāng)序列x(n)為實(shí)序列時(shí)，周期偶對(duì)稱序列滿足當(dāng)序列x(n)為實(shí)序列時(shí)，周期奇對(duì)稱序列滿足對(duì)稱特性當(dāng)x(n)是實(shí)序列時(shí) 對(duì)稱特性: 4. 循環(huán)卷積1、時(shí)域循環(huán)卷積定理的表述記x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為：如果則或 可記為： N是重要的參數(shù)，點(diǎn)數(shù)N不同，結(jié)果會(huì)不同。2、循環(huán)卷積的計(jì)算（1）x1(m)圖形不變，x2(m)周期化為（2）將周期序列 翻轉(zhuǎn)形成（3）對(duì) 循環(huán)移位形成（4）取主值序列得（5）將x1(m)與 相乘（6）對(duì)m在0N1上求和，便得到循環(huán)卷積h(-m)Nh(1-m)Nh(2-m)Nh(3-m)N 循環(huán)卷積的計(jì)算 x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x1(4)x1

10、(5)x1(6)x1(7)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)x2(4)x2(5)x2(6)x2(7)x1(0)x1(6)x1(1)x1(2)x1(3)x1(4)x1(5)x1(7)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)x2(4)x2(5)x2(6)x2(7)卷積定理卷積定理在各種變換上的體現(xiàn)：三種卷積的聯(lián)系和區(qū)別：線性卷積周期卷積循環(huán)卷積針對(duì)性和序列的長(zhǎng)度不同3.3 利用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積 1.如果L=2N-1,兩者相等. 如果兩個(gè)序列的長(zhǎng)度不等:N,M 則L應(yīng)該滿足: L=M+N-1例:計(jì)算兩個(gè)N點(diǎn)的序列的線性卷積和2N點(diǎn)的循環(huán)卷積.問題提出:實(shí)際需要： LTI系統(tǒng)響應(yīng) y(n)=

11、x (n)h(n)可否利用DFT計(jì)算線性卷積？例：x1(n)=1,1,1, x 2(n)=1,1,0,1 , N=4一、兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積利用DFT計(jì)算線性卷積nnnn若x(n)的長(zhǎng)度為N，h(n)的長(zhǎng)度為M，則L=N+M-1點(diǎn)循環(huán)卷積等于x(n) 與h(n)的線性卷積。補(bǔ)L-N零補(bǔ)L-M零L點(diǎn)DFTL點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTnxnhnyx1nh1n 3.4 頻域采樣定理 設(shè)任意序列x(n)的Z變換為 且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。 在單位圓上對(duì)X(z)等間隔采樣N點(diǎn)得到:xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1 由DFT與DFS的關(guān)系可知， X(k)是 x(n)以N為周期的周期延拓序列 (n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) (k) 序列的主值， 即 代入上式得式中 為整數(shù) 其它m 如果序列x