1、第10講 數(shù)列求和:并項(xiàng)求和法參考答案與試題解析一選擇題（共7小題）1（2021春吉安縣期中）數(shù)列滿足，則前40項(xiàng)和為A940B820C1830D1880【解答】解：由，可得為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，所以前40項(xiàng)和為故選：2（2021秋麒麟?yún)^(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A2021B2021C2018D2021【解答】解：由數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，上式對(duì)時(shí)也成立，函數(shù)的周期，故選：3（2021未央?yún)^(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A64B80CD【解答】解：數(shù)列滿足，則，可得數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，即有，即為，則，則故選：4（202

2、1秋南昌月考）已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和ABCD【解答】解：數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和故選：5（2021秋內(nèi)蒙古期末）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，且若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則ABCD【解答】解：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，可得，故選：6（2021春萬載縣校級(jí)期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則等于A60BC90D【解答】解：由，可得故選：7（2021春成都期末）已知數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和，則A300B320C340D360【解答】解：因?yàn)?，所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，；，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，故選：二解答題（共10小題）8（2021山東）在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項(xiàng)（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，記，求【解

3、答】解：（）是與的等比中項(xiàng)，在等差數(shù)列中，公差，即，化為，解得（），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故（也可以利用“錯(cuò)位相減法” 9（2021天津）已知是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的，是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：（1）設(shè)的公比為，則，即，解得或若，則，與矛盾，不符合題意，（2）是和的等差中項(xiàng)，是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列設(shè)的前項(xiàng)和為，則10（2021秋東麗區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）數(shù)列滿足為非零整數(shù)），都有恒成立，求實(shí)數(shù)的值【解答】解：（）當(dāng)時(shí)，得或，（舍，當(dāng)時(shí)，則，即，即數(shù)列

4、是公差為1的等差數(shù)列，則，（）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（），恒成立，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，得，得，從而，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，得，得，從而，為非零整數(shù)，11設(shè)是等比數(shù)列，是遞增的等差數(shù)列，的前項(xiàng)和為，（）求與的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求【解答】解：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，遞增的等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，（舍去）或，所以，；（）當(dāng)時(shí)，2，設(shè)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以12（2021春武清區(qū)校級(jí)期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）設(shè)，求的前項(xiàng)和【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，成等差數(shù)列，且滿足，解得：，數(shù)列的

5、前項(xiàng)和，且時(shí)，化為：，可得（2）證明：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，單調(diào)遞增，（3）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，時(shí)，的前項(xiàng)和時(shí)，的前項(xiàng)和為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和13（2021春溫州期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：（1）由題意得，解得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以14（2021福建模擬）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，由可得，兩式相減，可得，即，依題意，為等比數(shù)列，故令，則由可得，即；（2）由（1）可知為首項(xiàng)等于1，公比等于2的等比數(shù)列，故；故為首項(xiàng)等于，公比等于的等比數(shù)列，故，故數(shù)列的前項(xiàng)和15（2021天心區(qū)校級(jí)一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）因?yàn)椋?6（2021秋運(yùn)城期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式【解答】解：（1）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，所以，整理得：，由于數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以（常數(shù)），所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以（首項(xiàng)符合通項(xiàng)