1、第六節(jié) 三角學(xué)的開(kāi)端學(xué)者對(duì)三角學(xué)的研究晚于其它學(xué)科，但是他們所做的工作十分重要早期的三角學(xué)，是伴隨著天文學(xué)而產(chǎn)生的在希臘化國(guó)家中，由于天文學(xué)的發(fā)展，越來(lái)越多地利用三角關(guān)系作為輔助的計(jì)算工具例如，密的著作中曾論述制作日晷的原理，并保留有世界上最早的三角函數(shù)表，即從 0到 90每隔半度的弦表希臘的天文學(xué)影響了天文學(xué)的發(fā)展，這無(wú)疑也推動(dòng)了三角學(xué)的進(jìn)步許多從希臘人那里繼承的計(jì)算法則發(fā)生了系統(tǒng)的變化首先是用正弦，即半弦代替全弦，它們之間的關(guān)系是 chord 2=2sin從形式上看，弧 2的弦等于弧正弦的二倍，只差一個(gè)常數(shù)因子，似乎這種變換沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別但事實(shí)上，由全弦向正弦的轉(zhuǎn)化有深遠(yuǎn)的意義，因?yàn)檫@就自

2、然而然地引進(jìn)了與直角三角形的邊與角有關(guān)的各種函數(shù)在和一些歷數(shù)書中已經(jīng)出現(xiàn)正弦、余弦和正矢函數(shù)(即半徑與余弦之差，關(guān)系為 vers1cos，現(xiàn)已不用)阿耶波多稱正弦為j va，是獵人的弓弦的意思后來(lái)傳到國(guó)家，譯為 dsch ba由于文書寫中只保留輔音和長(zhǎng)元音，這個(gè)詞就寫成dschaib，意為“胸膛”12 世紀(jì)，歐洲人譯為拉丁文的“胸膛”(Sinus)，最后演變成 Sine人稱余弦為 kotij va，即余角的正弦，或簡(jiǎn)寫為 koti譯為阿文為 dschaib altamam12 世紀(jì)，由克雷莫那的(Gerard ofCermona)譯為拉丁文 Sinus residui15 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開(kāi)始使用

3、 Sinus complementi，即余角的正弦1620 年第一次出現(xiàn)縮寫符號(hào) cosinus 表示余弦三角量之間第一個(gè)關(guān)系式是sin2cos21 其次是半角的正弦法則定理的直接表達(dá)式這些關(guān)系式在瓦哈拉米的著作中就有很清楚的表述12 世紀(jì)的婆什迦羅還使用了兩角和與差的正弦法則當(dāng)半徑不等于 1 時(shí)，則用文字來(lái)描述這些命題學(xué)者在天文學(xué)中應(yīng)用三角學(xué)自然要制造三角函數(shù)表最早的正弦和正矢表出現(xiàn)在的知識(shí)和中在后一著作中列表給出了正弦和正矢從 345(225)開(kāi)始，間隔 225的 24 個(gè)值顯然沒(méi)有任何一個(gè)希臘的弦表是它的原型下表列出了古三角函數(shù)表中開(kāi)頭和末尾各四個(gè)值，取自確到分的百分之一中表中的二階差分

4、2 和正弦值精多把圓周分為 360，再把每 1分為 60，而直徑和三角量的測(cè)量也用弧的來(lái)表示如表中所見(jiàn)，人采用半徑等于 3438的圓進(jìn)行計(jì)算這個(gè)數(shù)字是由 2r=21600當(dāng)3.1416時(shí)計(jì)算的結(jié)果這個(gè)值出現(xiàn)在中這個(gè)表的計(jì)算方法，在中沒(méi)有記載據(jù)科學(xué)史家推測(cè)，多可能首先計(jì)算出 30，60和 45的正弦值，如 sin30等于圓內(nèi)接正六邊形邊長(zhǎng)之半，即 sin30=1719由此然后應(yīng)用半角的正弦法則和平方根的計(jì)算求出 2230，1115，15，730，345的正弦值對(duì)于 345即 225，人認(rèn)為當(dāng)弧長(zhǎng)足夠小時(shí)，其正弦值應(yīng)等于弧長(zhǎng)，他們?nèi)?sin345225在的知識(shí)中，給出了從 sin225開(kāi)始利用差分

5、方造的同樣函數(shù)表的法則而哈米則與的數(shù)學(xué)家相同，他所造的正弦表取直徑為 12012 世紀(jì)的婆什迦羅重新使用半徑 3438，他用兩角的和與差的正弦公式制造了一個(gè)每隔 10的正弦表，他取 sin60 60求出他利用的公式為即兩角和與差的正弦公式婆什迦羅造的表比多的精確得多婆什迦羅在s 和直徑d 計(jì)算弦l 的公式提的第四部分中導(dǎo)出了根據(jù)圓周長(zhǎng) c、弧長(zhǎng)當(dāng) n=3、4 時(shí)，上式計(jì)算出的弦長(zhǎng) l 可精確到百分之一，而當(dāng)n6時(shí)到準(zhǔn)確值在的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，沒(méi)有建立解三角形的一般法則在的知識(shí)中，隱含著某些球面三角學(xué)的定理例如，通過(guò)不太復(fù)雜的變換可以把其中的法則化為直角三角形的正弦定理和一般的余弦定理但是作者并沒(méi)有把

6、這些法則視作三角形諸元間的普遍關(guān)系在提的第九章“論日晷的測(cè)量”中，利用日晷影長(zhǎng)和相似三角形的定理測(cè)量物體的高度和距離但是學(xué)者沒(méi)能由此引出正切和概念-這是由 9 世紀(jì)上半葉國(guó)家的學(xué)者完成的在中世紀(jì)，政治抑制了數(shù)學(xué)的發(fā)展然而，西南部的喀拉拉(Kerala)地區(qū)在某種程度上能置身于政治之外，因而在 15-17 世紀(jì)之間仍能取得突出的成就這一時(shí)期最著名的學(xué)者是尼拉坎塔，他以對(duì)阿的重要評(píng)注而著稱1501-1502，尼拉坎塔著有科學(xué)，書中研究出一整套包含在微積分和級(jí)數(shù)論萌芽中的方法 尼拉坎塔和東方的某些學(xué)者一樣，確信圓周長(zhǎng)與直徑之比是無(wú)理數(shù)他在對(duì)的注釋中說(shuō)“如果直徑用某個(gè)來(lái)測(cè)量，那而言，周長(zhǎng)能么周長(zhǎng)就不能準(zhǔn)確地用這個(gè)來(lái)測(cè)量；而如果對(duì)某個(gè)夠測(cè)量時(shí)，直徑就不能準(zhǔn)確測(cè)量”為了更準(zhǔn)確地計(jì)算的值，在科學(xué)中，他采用了相當(dāng)于公式的法則由此可以得到(當(dāng)r1 時(shí))和在此基礎(chǔ)上，他計(jì)算出10 位準(zhǔn)確數(shù)字這是計(jì)算數(shù)學(xué)的卓越成就，雖然在 15 世紀(jì)初學(xué)者學(xué)的已經(jīng)得到更精確的近似值尼拉坎塔的貢獻(xiàn)在于他擺脫了初等數(shù)，他的方法比他的結(jié)果更重要在此基礎(chǔ)上利用無(wú)窮小分析的的展開(kāi)式：，尼拉納還得到了反正切級(jí)數(shù)遺憾的