1、第11講 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析2022/8/21 在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素擾動時，會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。要求： 掌握穩(wěn)定的概念和定義、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件； 掌握線性系統(tǒng)的勞斯判據(jù)及應(yīng)用中的特殊問題。本講主要內(nèi)容3.4.1 穩(wěn)定的基本概念3.4.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3.4.3 穩(wěn)定性判據(jù)3.4.1 穩(wěn)定的基本概念（1）定義（2）物理意義上的穩(wěn)定概念（3）數(shù)學(xué)意義上的穩(wěn)定概念 如果線性定常系統(tǒng)受到擾動的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)又能

2、夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的（簡稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。（1）定義圖a 擺運動示意圖（穩(wěn)定系統(tǒng)）Af圖b 不穩(wěn)定系統(tǒng)圖c 小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA（2）物理意義上的穩(wěn)定概念若若非零常數(shù) 系統(tǒng)初始條件為零時，受到( t)的作用，輸出 為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，當(dāng)t時，若（漸近）穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定（3）數(shù)學(xué)意義上的穩(wěn)定概念設(shè)n階系統(tǒng)表達式為3.4.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件理想脈沖函數(shù)作用下R(s)=1，輸出量的拉氏變換為(mn) 其中拉氏反

3、變換 (t0)3.4.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件若全部特征根有負(fù)實部，則（漸近）穩(wěn)定有一個或一個以上正實根或?qū)嵅繛檎墓曹棌?fù)根，其余的根具有負(fù)實部,則系統(tǒng)不穩(wěn)定有一個或一個以上零實部根，其余的具有負(fù)實部臨界穩(wěn)定所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實部，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在s平面左半部。s平面穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域臨界穩(wěn)定判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性方法： 赫爾維茨(Hurwitz)代數(shù)判據(jù)和勞斯(Routh) 根軌跡法 奈奎斯特(Nyquist)判據(jù) 李亞普諾夫直接法3.4.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程各項系數(shù)均為正，即（1）穩(wěn)定的必要條件 將上式展開得特征根與特征方程

4、系數(shù)的關(guān)系如下：(單根和)(雙根積和)(n根積和)(3根積和) 只有當(dāng)所有根都位于左半平面，才能保證特征方程式的所有系數(shù)均為正。補充知識：特征根與特征方程系數(shù)的關(guān)系結(jié)論：此依據(jù)可用來判斷系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。但對于一階或二階系統(tǒng)此必要條件也是充分條件。判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性用系數(shù)可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程系數(shù)均為正且對赫爾維茨行列式（主行列式和順序主子式）均為正數(shù)。(i = 1，2，n) 判據(jù)描述：若系統(tǒng)特征方程為（2）赫爾維茨判據(jù) 赫爾維茨行列式定義對于 n 4 的線性系統(tǒng)n = 2 ：特征方程的各項系數(shù)為正。n = 3 ：特征方程的各項系數(shù)為正，且a1a2 a0 a3

5、0n = 4 ：特征方程的各項系數(shù)為正，且赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)缺點：階次越高，計算量越大。高階時，應(yīng)用不方便。則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程系數(shù)均為正且對應(yīng)勞斯表第一列元素均為正數(shù)。 判據(jù)描述：若系統(tǒng)特征方程為（3）勞斯判據(jù)(Routh 1877)勞斯判據(jù)的證明/p-9733334177363.html 勞斯表定義勞斯表計算數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)五階Routh表的列寫方法舉例Routh表 如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號（正值），則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。 利用勞斯表判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性(三種情況)A 勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零5解

6、列勞斯表勞斯表第一列的系數(shù)符號2次變號，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。示例1：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2附加例題1：已知系統(tǒng)的特征方程如下,試用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 列勞斯表勞斯表第一列的系數(shù)符號全為正，故系統(tǒng)穩(wěn)定。為簡化運算，常把勞斯表的某一行同乘以一個正數(shù)后，再繼續(xù)運算。本例中，勞斯表可按如下方法計算： 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以6，實質(zhì)是不除6) 791 134 （同乘以67，不除67） 36900 （同乘以791，不除791） 134 由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 den =1,6,14,17,10,2; s

7、yms EPS ra=routh(den,EPS)ra = 1, 14, 10 6, 17, 2 67/6, 29/3, 0 791/67, 2, 0 6150/791, 0, 0 2, 0, 0利用MATLAB判定例2系統(tǒng)穩(wěn)定性機器浮點運算誤差上限 解特征方程求根判斷穩(wěn)定性： s=solve(s5+6*s4+14*s3+17*s2+10*s+2=0)s = -1-3/2+1/2*5(1/2) -3/2-1/2*5(1/2) -1+i -1-i機器求根驗證附加 例題2：已知系統(tǒng)的特征方程 s4+2s3+s2+s+1=0，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性解 列勞斯表如下 S4 1 1 1 S3 2

8、1 0 S2 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*11*0)/2=1 S1 (1*1-2*2)/1=-3 S0 (-3*2-1*0)/-3=2 由于勞斯表第一列的系數(shù)變號兩次，一次由1/2變?yōu)? ，另一次由3變?yōu)?，特征方程有兩個根在S平面右半部分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 den=1,2,1,1,1; syms EPS ra=routh(den,EPS)ra = 1, 1, 1 2, 1, 0 1/2, 1, 0 -3, 0, 0 1, 0, 0利用MATLAB判定例2系統(tǒng)穩(wěn)定性解特征方程求根判斷穩(wěn)定性： s=roots(1,2,1,1,1)s = -1.4656 -1.0000 0.2328 +

9、 0.7926i 0.2328 - 0.7926iB 勞斯表某行的第一項等于零，而本行中其余各項不全為零方法1：當(dāng)勞斯表某一行的第一項為零，而其余項不全為零，可用一個很小的正數(shù)(例如1*10-6 )代替第一列的零項，然后按照通常方法計算勞斯表中的其余項。方法1 解： 由特征方程列出勞斯表 s4 1 2 5 s3 1 2 0 s2 0 5 s1 (2-5)/ s0 5 當(dāng)?shù)娜≈底銐蛐r，(2-5)/將取負(fù)值，故勞斯表第一列系數(shù)變號兩次，由勞斯判據(jù)可知，特征方程有兩個根具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 den=1 1 2 2 5; syms EPS ra=routh(den, EPS)Special

10、Case: First element is zero. ra = 1, 2, 5 1, 2, 0 EPS, 5, 0 (-5+2*EPS)/EPS, 0, 0 5, 0, 0利用MATLAB判定例4系統(tǒng)穩(wěn)定性 s=roots(1,1,2,2,5)s = 0.5753 + 1.3544i 0.5753 - 1.3544i -1.0753 + 1.0737i -1.0753 - 1.0737i求根判別穩(wěn)定性：方法2：令s=1/x代入特征方程可得到以x為變量的新的代數(shù)方程，對此方程使用勞斯判據(jù)也可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（相當(dāng)于把特征方程系數(shù)的順序倒過來）。方法2x4 5 2 1x3 2 1x2 -1 2

11、x1 5x0 2 勞斯表第一列系數(shù)變號兩次，由勞斯判據(jù)可知，特征方程有兩個根具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。令s=1/x得： s=roots(5,2,2,1,1)s = 0.2657 + 0.6255i 0.2657 - 0.6255i -0.4657 + 0.4650i -0.4657 - 0.4650i存在兩個正實部根，所表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。求根判別穩(wěn)定性：勞斯表為 s5 1 3 7s4 2 4 5s3 2 9 （同乘以2）s2 -10 10 s1 11s0 10方程兩邊同乘以s+1 ，得：勞斯表第一列系數(shù)變號兩次，所表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。方法3：對原特征方程兩邊同時乘以（s+1）因子，再用勞斯判據(jù)判穩(wěn)

12、。 s=roots(1,2,3,4,7,5)s = 0.5753 + 1.3544i 0.5753 - 1.3544i -1.0753 + 1.0737i -1.0753 - 1.0737i -1.0000求根驗證：例如 ， ， 等等。顯然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。C 勞斯表某行所有系數(shù)均為零 如果勞斯表中某一行各項均為零，這說明在S平面內(nèi)存在以原點為對稱的特征根。 示例3： 系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0，試用勞斯判劇判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并指出根的分布情況。列勞斯表：S6 1 -2 -7 -4S5 1 -3 -4S4 (-2+3)/1=1 (-7+4)/1=

13、-3 (-4-0)/1=-4 *F(s)=s4-3s2-4=0S3 4 -6S2 -1.5 -4S1 -1.67 0S0 -4 確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。當(dāng)特征方程的系數(shù)不滿足ai0(i=0,1,2,n)時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 當(dāng)特征方程的系數(shù)滿足ai0 (i=0,1,2,n)時，計算勞斯表。當(dāng)勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 若計算勞斯表時出現(xiàn)情況(2)和(3)，此時為確定系數(shù)極點的分布情況，可按情況(2)和(3)的方法處理。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟： 運用勞斯判據(jù)，不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。（4）勞斯判據(jù)的應(yīng)用R(s)-E(s)1+C(s)解 圖示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足解不等式得 K 0， K 34.6因此，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)K的取值范圍是0 K 34.62022/8/248【本講小結(jié)】系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實部，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在s平面左半部。運用勞斯判據(jù)，不