1、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)材料科學(xué)與工程學(xué)院2 單層的剛度與強(qiáng)度層合板由許多單層板組成，所以，單層的剛度與強(qiáng)度是分析層合板剛度與強(qiáng)度的基礎(chǔ)。從力學(xué)的角度來分析復(fù)合材料宏觀力學(xué)方法細(xì)觀力學(xué)方法本章將討論單層的剛度與強(qiáng)度，給出宏觀力學(xué)分析方法的結(jié)果。單纖維12000本纖維直徑7mArarudaido AY103-1Hardener HY956單層板碳纖維復(fù)合材料的一般制作方法環(huán)氧樹脂碳纖維束實(shí)驗(yàn)方法固定CF束在真空中完成樹脂浸入硬化成形模具固定CF束環(huán)氧樹脂宏觀試驗(yàn)片電子顯微鏡下的試驗(yàn)片2.1單層的正軸剛度單層的正軸剛度是指單層在正軸（即單層材料的彈性主方向）上所顯示的剛度性能。【由于單層厚度與其他尺寸

2、相比較小，一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析?！繉τ诟飨蛲圆牧希磉_(dá)其剛度的參數(shù)是工程彈性常數(shù)E、G、 ，三者之間有如下關(guān)系： 獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)。2.1.1單層的正軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系單層在正軸下的平面應(yīng)力狀態(tài)只有1、2、12三個(gè)應(yīng)力分量。本書討論的復(fù)合材料限于在線彈性與小變形情況下，所以材料力學(xué)中應(yīng)變的疊加原理仍適用與復(fù)合材料。1、2、12符號：正面正向或負(fù)面負(fù)向均為正，否則為負(fù)。1，2 線應(yīng)變，伸長為正，縮短為負(fù)。12 ：剪應(yīng)變，與兩個(gè)坐標(biāo)方向一致的直角變小為正，變大為負(fù)。圖21 單層的正軸及其應(yīng)力分量. (1). (2)由12引起的應(yīng)變：. (3)由2引起的應(yīng)變：泊松比縱向 L 由縱向應(yīng)力1

3、引起橫向應(yīng)變的耦合系數(shù)橫向 T上標(biāo) （1）、（2）代表應(yīng)力, 下標(biāo)1、2代表方向。因此，由1引起的應(yīng)變：綜合式（1）（3），利用疊加原理，即得單層在正軸方向的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式：. (4)單層的正軸工程彈性常數(shù)一共有5個(gè)?？梢宰C明前4個(gè)存在如下關(guān)系式：. (5)因此，應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式可寫成矩陣形式： 系數(shù)矩陣各分量可寫成：柔量分量用柔量分量表達(dá)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式(2-9)。應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：模量分量 其中 Sij與Qij之間存在互逆關(guān)系可以證明，模量分量或柔量分量存在如下的對稱關(guān)系式： Q21 = Q12 , S21 = S12 因此,表述單層的正軸剛度可以用工程彈性常數(shù)（EL、ET、L、GLT）

4、、模量分量、柔量分量中的任意一組。 實(shí)驗(yàn)法測EL、ET、GLT、L， T, T可利用(5)式計(jì)算。 實(shí)際復(fù)合材料工程中，經(jīng)常碰到正方對稱單層的情況，如1：1經(jīng)緯交織布成型的玻璃鋼其單層就是這種情況，此時(shí)，它的剛度參數(shù)存在如下關(guān)系： Q11 = Q22 , S11 = S22 ， EL=ET 這種材料的工程彈性常數(shù)測3個(gè)就行了。 單層為正交各向異性的材料時(shí)，工程彈性常數(shù)的限制條件： 可利用上式限制條件來判斷材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或正交各相異性的材料模型是否正確。2.1.2 各種復(fù)合材料的單層正軸剛度參數(shù)例題： 證明：解：根據(jù)線彈性假設(shè)，單層在受到應(yīng)力而引起應(yīng)變時(shí)，單位體積所儲(chǔ)存的彈性應(yīng)變能利用應(yīng)力應(yīng)變關(guān)

5、系，將上式分別對1與2 求導(dǎo)，得，微小地變?yōu)槎?dāng)變形狀態(tài)由則單位體積應(yīng)變能增量為： 由于w是1、2、12 的單值連續(xù)函數(shù)，所以這一增量可寫成全微分形式：比較上面兩個(gè)dw式，將它們與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式（210）比較，2.2 單層的偏軸剛度2.2.1 應(yīng)力轉(zhuǎn)化與應(yīng)變轉(zhuǎn)化公式 單層的偏軸剛度參數(shù)由單層在偏軸下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系所確定。 正軸下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與偏軸下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化。 根據(jù)材料力學(xué)中推導(dǎo)應(yīng)力轉(zhuǎn)化公式的方法,推得由偏軸應(yīng)力求正軸應(yīng)力(稱為應(yīng)力正轉(zhuǎn)換)的公式，如下：式中 m=cos n=sin （為輔助角，偏 軸正軸，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。）上述轉(zhuǎn)換公式（1）可經(jīng)適當(dāng)變化改為由正軸應(yīng)力

6、求偏軸應(yīng)力（稱為應(yīng)力負(fù)轉(zhuǎn)換）的公式：1212= m2 n2 2mn n2 m2 -2mn-mn mn m2-n2xyxy= m2 n2 2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2xyxy1212同樣，由偏軸應(yīng)變求正軸應(yīng)變（應(yīng)變正轉(zhuǎn)換）的公式（2-24）。圖23 鋪層角與偏軸應(yīng)力分量由正軸應(yīng)變求偏軸應(yīng)變（稱為應(yīng)變負(fù)轉(zhuǎn)換）的公式。2.2.2 單層的偏軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系= m2 n2 2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2xyxy1212= m2 n2 _2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 Q661212= m2 n2 _2mn n2 m

7、2 2mnmn mn m2n2Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 Q66xyxy m2 n2 mn n2 m2 mn2mn 2mn m2n2簡寫成： Q11 Q12 Q16Q21 Q22 Q26Q61 Q62 Q66xyxy=xyxyQij（i，j=1，2，6）稱為偏軸模量分量。Qij=Qji這里， 即偏軸模量仍具有對稱性。見書中公式（2-32）（2-34）同理偏軸柔量分量與偏軸模量分量之間也存在互逆關(guān)系。2.2.3 單層的偏軸模量 采用倍角函數(shù)的三角恒等式,將偏軸模量公式簡單化：Q11Q22Q12Q66Q16Q26 =U1（Q） cos2 cos4U1（Q） cos2 cos4U4（

8、Q） 0 cos4U5（Q） 0 cos4 0 1/2sin2 sin4 0 1/2sin2 sin4 1U2（Q）U3（Q） 其中， U1（Q） ， U2（Q） ， U3（Q）， U4（Q）， U5（Q）稱為單層正軸模量的線性組合，也為材料常數(shù)，表達(dá)式見（2-38），具體值可查表2-4。1、偏軸模量分量的常數(shù)項(xiàng)例如：Q11= U1（Q） + U2（Q） cos2 + U3（Q） cos4 =+Q11 只有增加U1（Q） 才能有效增加 Q11。 在各向同性材料的情況下，Q11=U1(Q) ,因此常數(shù)項(xiàng)又具有相當(dāng)各向同性材料模量。 據(jù)此可以將常數(shù)項(xiàng)： U1（Q） 稱為復(fù)合材料的各向同性拉伸模量；

9、U5（Q）稱為復(fù)合材料的各向同性剪切模量。 因此，為提高復(fù)合材料的剛度，需提高 U1（Q） 與U5（Q） 的值。2、偏軸模量分量的周期項(xiàng)幅值 U2（Q） ，U3（Q） 是模量分量中周期項(xiàng)的幅值， U2（Q） 大于 U3（Q） （表2-4），所以U2（Q） 影響復(fù)合材料各向異性程度大些。3、偏軸模量分量之間的關(guān)系偏軸模量6個(gè)分量正軸模量4個(gè)分量 4、偏軸模量分量的估算值（P21參見18） 為方便起見，用近視公式來估算偏軸模量分量（公式2-38中第一項(xiàng)），即：U1（Q）=3/8Q11U2（Q）=1/2Q11U3（Q）= U4（Q）= U5（Q）=1/8Q11 2.2.4 單層的偏軸柔量 同樣，通過

10、三角恒等式,將偏軸柔量公式簡化為：S11S22S12S66S16S26 =U1（S） cos2 cos4U1（S） cos2 cos4U4（S） 0 cos4U5（S） 0 cos4 0 sin2 2sin4 0 sin2 2sin4 1U2（S）U3（S） 其中， U1（S） ， U2（S） ， U3（S）， U4（S）， U5（S）稱為單層正軸柔量的線性組合，也為材料常數(shù)，見表2-5。2.2.5 單層的偏軸工程彈性常數(shù) 單層的偏軸工程彈性常數(shù)是單層在偏軸下由單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力確定的剛度性能參數(shù)。1、單層的偏軸工程彈性常數(shù)定義 可分別設(shè)：x0，y=xy=0； y0，x=xy=0； xy0，x

11、=y=0。 三種情況來定義單層的 偏軸工程彈性常數(shù)。第一種情況時(shí)，由偏軸應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式（2-30），可得：所以，單層的偏軸工程彈性常數(shù)與柔量分量之間的關(guān)系： 反過來，可以寫出以偏軸工程彈性常數(shù)表示偏軸柔量分量的關(guān)系式。 類似地可求得第二種、第三種情況，書中公式（254）、（255）。 由于柔量分量的對稱性Sij=Sji, 所以偏軸工程彈性常數(shù)具有如下關(guān)系式： 2、偏軸工程彈性常數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系 由正軸工程彈性常數(shù)可求出偏軸工程彈性常數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系： 公式（258）。 注意：單層的各個(gè)偏軸工程彈性常數(shù)的最大值與最小值并不一定發(fā)生在材料主方向上，要具體材料具體分析。極值分析是作出這種分析的一種重要方法。

12、 根據(jù)偏軸工程彈性常數(shù)隨的變化曲線，可以簡單地判斷復(fù)合材料在單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力時(shí)的變形形狀。如圖28。3、偏軸工程彈性常數(shù)與偏軸模量的關(guān)系 偏軸工程彈性常數(shù)是單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力下定義的一些系數(shù)。 偏軸模量是平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中的一些系數(shù)。 可以將單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力看作平面應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，得到偏軸工程彈性常數(shù)與偏軸模量的關(guān)系式。例2.4 例2.62.3 單層的強(qiáng)度2.3.1 單層的基本強(qiáng)度 單層的4個(gè)工程彈性常數(shù)（EL，ET，VL，GLT）和5個(gè)基本強(qiáng)度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般統(tǒng)稱為復(fù)合材料的9個(gè)工程常數(shù)。2.3.2 單層的失效準(zhǔn)則 單層的失效準(zhǔn)則是以判別單層在偏軸向應(yīng)力

13、作用或平面應(yīng)力狀態(tài)下是否失效的準(zhǔn)則。1.最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則1Xt （ 壓縮時(shí) | 1 | Xc）2Yt （ 壓縮時(shí) | 2 | Yc ） | 12 | S當(dāng)單層在平面應(yīng)力的任何應(yīng)力狀態(tài)下，單層正軸向的任何一個(gè)應(yīng)力分量達(dá)到極限應(yīng)力時(shí)，單層就失效。 2. 最大應(yīng)變失效準(zhǔn)則 1 xt （ |1| xc ） 2 Yt （ |2| Yc ） |12|s 同樣，當(dāng)單層在平面應(yīng)力的任何應(yīng)力狀態(tài)下,單層正軸向的任何一個(gè)應(yīng)變分量到達(dá)極限應(yīng)變時(shí)，單層失效。 根據(jù)材料線彈性假設(shè)，失效準(zhǔn)則中的極限應(yīng)變與基本強(qiáng)度的對應(yīng)關(guān)系： 根據(jù)上面的公式（2-80），可將最大應(yīng)變失效準(zhǔn)則改寫成用應(yīng)力和基本強(qiáng)度表達(dá)的形式： 將上式與最大

14、應(yīng)力失效準(zhǔn)則比較可知，最大應(yīng)變失效準(zhǔn)則中考慮了另一彈性主方向應(yīng)力的影響。如果泊松耦合系數(shù)值很小，這一影響則很小。3、蔡希爾（ Tsai-Hill)失效準(zhǔn)則 單層的蔡希爾失效準(zhǔn)則由下式表示： 蔡希爾失效準(zhǔn)則將基本強(qiáng)度X、Y、S聯(lián)系在一個(gè)表達(dá)式中，考慮了它們之間的相互影響。但是，對于拉、壓強(qiáng)度不同的材料，這一失效準(zhǔn)則不能用一個(gè)表達(dá)式同時(shí)表達(dá)拉、壓應(yīng)力的兩種情況。4、霍夫曼（Hoffman） 失效準(zhǔn)則對于拉、壓強(qiáng)度不同的材料可用同一表達(dá)式給出。5、蔡胡（ Tsai-Wu） 失效準(zhǔn)則 單層的蔡胡失效準(zhǔn)則由下式表示： 當(dāng)材料的拉、壓強(qiáng)度相等時(shí)，蔡胡與蔡希爾失效判據(jù)相當(dāng)，只是1 2項(xiàng)的系數(shù)不同，前者為2F

15、12，后者為1/X2。所以蔡胡失效準(zhǔn)則更具有普遍性，且考慮了1 2項(xiàng)系數(shù)的正確取值。2.3.3 單層的強(qiáng)度比方程強(qiáng)度比的定義 單層在作用應(yīng)力下，極限應(yīng)力的某一分量與其對應(yīng)的作用應(yīng)力分量之比值稱為強(qiáng)度 /應(yīng)力比，簡稱強(qiáng)度比，記為 R，即強(qiáng)度比R取值的含義：（1）R=表明作用的應(yīng)力為零；（2）R1表明作用應(yīng)力為安全值，R-1表明作用應(yīng)力到單層失效時(shí)尚可增加的應(yīng)力倍數(shù)；（3）R=1表明作用的應(yīng)力正好達(dá)到極限值；（4）R1表明作用應(yīng)力超過極限應(yīng)力，所以沒有實(shí)際意義。但設(shè)計(jì)計(jì)算中出現(xiàn)R1仍然是有用的，它表明必須使作用應(yīng)力下降，或加大有關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸。2. 強(qiáng)度比方程 利用強(qiáng)度比定義式，各種失效準(zhǔn)則表達(dá)式均可

16、變成其對應(yīng)的強(qiáng)度比方程。 蔡胡失效準(zhǔn)則其對應(yīng)的強(qiáng)度比方程為： 上式為一元二次方程，可對R求解。 例題：2.7 例題：2.82.4 單層的三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 前面討論單層的剛度與強(qiáng)度都是基于單層為平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 本節(jié)將討論單層的三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，以及它與平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系之間的聯(lián)系。2.4.1 單層的一般三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 在線彈性、小變形的情況下，單層在任意符合右手螺旋規(guī)則的坐標(biāo)系xyz下（圖213），仿照平面應(yīng)力狀態(tài)下利用疊加原理得到應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系，推廣到具有三維應(yīng)力狀態(tài)的情況，得到單層的一般三維應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式：或簡寫成式中Sij稱為三維柔量分量。圖213 在任意坐標(biāo)系xy

17、z下的單層反知，單層的一般三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式：或簡寫成式中Cij稱為三維模量分量。 顯然，三維模量分量構(gòu)成的矩陣與三維柔量分量構(gòu)成的矩陣是互逆的，即模量分量與柔量分量均稱為彈性系數(shù)，在線彈性的情況下，所以彈性系數(shù)實(shí)際為21個(gè)。2.4.2 單層的正軸三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 當(dāng)xyz坐標(biāo)系正好位于具有正交各向異性的單層的主方向上，將坐標(biāo)軸x、y、z改為1，2，3，且1、2為單層面內(nèi)主方向（約定1軸為剛度較大的主方向），3為垂直單層面的軸（圖214），那么，一點(diǎn)處的線應(yīng)變1、2、3只與該點(diǎn)處的正應(yīng)力1、2、3有關(guān)，而與剪應(yīng)力無關(guān)。同樣，該點(diǎn)處的剪應(yīng)變圖214 在正軸坐標(biāo)系123下的單層1、2、3分別僅與剪

18、應(yīng)力有關(guān)，而與正應(yīng)力無關(guān)。所以單層正軸三維應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式為：或簡寫成式中Sij稱為三維正軸柔量分量，三維正軸柔量分量的如下各分量為零。 若上述應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式改為用應(yīng)變表示應(yīng)力，即得單層的正軸三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式：式中Cij稱為三維正軸模量分量，正軸模量分量與正軸柔量分量均稱為正軸彈性系數(shù)。類似于式（295）與（296），有所以獨(dú)立的正軸彈性系數(shù)為9個(gè)。2.4.3 橫向各向同性單層的正軸三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式 單層中的無緯單層通常具有橫向各向同性的性能，即垂直于纖維的平面為各向同性面（如圖214的23面）。 由于橫向各向同性，所以 因此，橫向各向同性單層獨(dú)立的正軸彈性系數(shù)減至為5個(gè)。橫向各向同性單層的

19、正軸三維應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式可寫為：2.4.4 單層的偏軸三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式 對于與單層面內(nèi)主方向1、2成鋪層角的x、y軸情況，此時(shí)Z軸與主方向3仍相同，則可以證明，三維的應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式為如下形式:由于單層對3軸對稱，單層在偏軸下的彈性系數(shù)為13個(gè)。 2.4.5 與平面應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系 單層按平面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析時(shí)， 在偏軸下（z軸與主方向3仍相同），由公式（2111），得只考慮x、y、xy等面內(nèi)應(yīng)力分量。而應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式為： 上式表明，單層的偏軸模量分量與三維的模量分量是不同的，存在式（2117）的關(guān)系式。由式（2111）得代入式（2111）的x式中得將上式與偏軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系比較，可知 但通過（21

20、10）我們可以推導(dǎo)平面應(yīng)力狀態(tài)的柔量分量仍為Sij。類似地，可推出1、3主方向上的拉壓彈性模量及剪切彈性模量。例2.9 例2.10 2.4.6 單層的三維工程彈性常數(shù) 單層的三維工程彈性常數(shù)是單層在三維情況下，由單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力確定的剛度性能參數(shù)。 以單層的正軸情況為例：定義2軸的拉壓彈性模量：習(xí)題21 解：22解：因此，它們的直徑變化相同。23解：（1）可通過柔量分量的表達(dá)式，轉(zhuǎn)換，求Q（模量分量）。 公式（28）、（211） （2）利用數(shù)學(xué)方式，模量分量與柔量分量之間存在互逆關(guān)系?！綫】=【S】-124 答： （1）復(fù)合材料在線彈性與小變形情況下，材料力學(xué)中的應(yīng)變疊加原理仍適合。（2）由

21、公式（27）或（29）25 答：Q11為模量分量，EL為縱向彈性模量。26 解：平面應(yīng)力狀態(tài)下，單層正軸應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式：28 證：設(shè)最大主應(yīng)力方向?yàn)?、2方向，由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式（221），由應(yīng)變轉(zhuǎn)換公式（224），同時(shí)，根據(jù)單層的正軸應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系，可得，2-10 解：212 解: 偏軸柔量有6個(gè)分量，正軸柔量只有4 個(gè)分量。偏軸工程彈性常數(shù)關(guān)系式見公式（257）。214 解： 由偏軸工程彈性常數(shù)與柔量分量之間的關(guān)系：215 解：216 解：畫出薄壁圓管受力圖。 x ， y ，xy= 利用偏軸的應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系式求出應(yīng)變。 要使圓管不發(fā)生軸向變形，需使x =0例：T300/N5208復(fù)合材料單向板的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知x