1、無(wú)窮級(jí)數(shù) 第七章7.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)7.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法7.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)7.4 冪級(jí)數(shù)7.5 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)第1頁(yè)，共22頁(yè)。7.1無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第七章 第2頁(yè)，共22頁(yè)。一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 引例. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 A .設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)，共22頁(yè)。定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第 n

2、 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加, 簡(jiǎn)記為收斂 ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和,記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)，共22頁(yè)。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)，共22頁(yè)。例1. 討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù))( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)，共22頁(yè)。2). 若因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散

3、.則級(jí)數(shù)成為不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)，共22頁(yè)。例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解: (1) 所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)，共22頁(yè)。(2) 所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)，共22頁(yè)。 例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性 .解:故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)，共22頁(yè)。例4. 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散 .證 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則但矛盾!所以假設(shè)不真 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

4、 返回 結(jié)束 第11頁(yè)，共22頁(yè)。二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)收斂于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,證: 令則這說(shuō)明收斂 , 其和為 c S . 說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)，共22頁(yè)。性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為證: 令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂, 其和為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)，共22頁(yè)。說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如, (1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)機(jī)動(dòng)

5、 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)，共22頁(yè)。性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證: 將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)，共22頁(yè)。性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列 為原級(jí)數(shù)部分和序列 的一個(gè)子序列,推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如

6、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)，共22頁(yè)。例5.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)，共22頁(yè)。三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證: 可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)，共22頁(yè)。注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)，共22頁(yè)。例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:解: (1) 令則故從而這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)，共22頁(yè)。因進(jìn)行拆項(xiàng)