5-9多元函數(shù)的條件極值二_第1頁
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文檔簡介

1、一、多元函數(shù)的無條件極值三、條件極值及拉格朗日乘數(shù)法二、多元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值.9 多元函數(shù)的極值與最大(小)值三、條件極值及拉格朗日乘數(shù)法求 z=f(x,y), (x,y)D滿足條件 (x,y)=0 的極值問題即為條件極值。稱 z=f(x,y)為目標(biāo)函數(shù)。稱 (x,y)=0為約束條件。此方法叫l(wèi)agrange乘數(shù)法則條件極值點(diǎn)必滿足方程組:(條件極值點(diǎn)的必要條件)切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo).解例1在第一卦限內(nèi)作橢球面 的設(shè) 為橢球面上的切點(diǎn), 過 的切平面方程為 法向量化簡為 該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 所圍四面體的體積 過 的切平面方程為 在條件 下

2、求 的最小值, （約束條件）即可得( ， ， )時(shí),故 當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為四面體的體積最小拉格朗日乘數(shù)法在約束條件為兩個(gè)的情形： 則條件極值點(diǎn)必滿足方程組:(條件極值點(diǎn)的必要條件)求橢球面 被平面x+y+z=0 截得的橢圓的長半軸與短半軸之長。解：設(shè)P(x,y,z)為上的任一點(diǎn)，則P到O(0,0,0)的距離故問題即為求滿足：的最大、小值（條件極值問題）.（目標(biāo)函數(shù)）例2：（P81.11）(約束條件)令代入（5） x+y+z=0 有即即由(6)知長半軸為：短半軸為：設(shè)u=F(x,y,z)在條件例3（P81.15）由題意知解:三曲面在點(diǎn)的法向量分別為又三曲面在點(diǎn)的法向量分別為由（）式知由三法線方向向量共面，且都過點(diǎn)知三法線共面例4解：最值在-1,1 的端點(diǎn)：方法（）：比較由0及0所求的函數(shù)值的大小設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)t有(k為自然數(shù)) 試證明：F(x,y,z)=0上任一點(diǎn)的切平面相交于一點(diǎn)。 證明：設(shè) 為曲面F(x,y,z)=0上的任一點(diǎn)。則過 的法向量切平面方程為：（P81.13）將曲面F

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