1、 第八章 傅 里 葉 變 換8.1 傅里葉變換的概念定理8.1 設(shè)fT（t）是以T為周期的實值函數(shù)，且在閉區(qū)間-T/2,T/2上滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即fT（t）在區(qū)間-T/2,T/2上滿足1.連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2.只有有限個極值點則在fT（t）的連續(xù)點處有：其中在間斷點t0 處，根據(jù)歐拉公式可知：代入可得：其中：上式稱為傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。（工程上常用的形式）傅里葉級數(shù)的物理意義在傅里葉級數(shù)的三角形式中，令 若以fT（t）代表信號，則說明一個周期為T的信號可以分解為簡諧波之和。 由上式可以看出頻率為 的第n次振動的振幅為An相位為n.0稱Cn為周期函數(shù)fT（

2、t）的離散頻譜，為離散振幅譜，argCn為離散相位譜。為了進一步明確Cn與頻率n0的對應(yīng)關(guān)系，常記F（ n0 ）=Cn .例1：求以T為周期的函數(shù)的離散頻譜和它的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。解：令 ,當(dāng)n=0時，的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為：振幅譜為相位譜為8.1 .2 傅氏積分與傅氏變換 對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上, 則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明當(dāng)T時, 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),

3、即有OtfT(t)Otf(t)OtfT(t)將間隔 記為 ,節(jié)點 記為 并由得: 這是一個和式的極限，按照積分定義，在一定條件下，上式可寫為： 此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡稱傅氏積分公式.從傅里葉積分公式出發(fā)，令則有上面兩式中的廣義積分是柯西意義下的主值，在f（t）的間斷點處，主值意義下的廣義積分定義 設(shè)函數(shù) 在實軸的任何有限區(qū)間上都可積.若極限 存在,則稱在主值意義下 在區(qū)間 上的廣義積分收斂,記為 本教材后面所遇到積分都是主值意義下的廣義積分，而采用普通意義下的廣義積分記號來表示主值意義下的廣義積分，簡稱廣義積分。 定理8.2（傅氏積分定理 ）如果f(t)在(-, +)上的

4、任一有限區(qū)間滿足狄氏條件(即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(2)至多有有限個極值點）,且在無限區(qū)間(-, +)上絕對可積 , 則有 t 為連續(xù)點 t為間斷點即定義8.1 傅里葉變換的概念叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做： = 的傅氏逆變換,象原函數(shù),叫做=也叫做 的傅氏積分表達式 像函數(shù)F()與像原函數(shù)f（t）構(gòu)成了一個傅氏變換對。傅氏變換的物理意義頻譜稱為 的頻譜函數(shù) 振幅譜為偶函數(shù),即其模 稱為的 振幅譜證明 在頻譜分析中, 傅氏變換F()又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F()|稱為f(t)的振幅譜(簡稱為頻譜). 由于是連續(xù)變化的, 我們稱之為連續(xù)頻譜,

5、對一個時間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)的頻譜.例2 求函數(shù) 的傅氏變換 及傅氏積分表達式。解: 1.求傅氏變換 = 2.求傅氏逆變換（即f(t)的傅氏積分表達式）相位譜為:（圖見P190）振幅譜為:在上式中令 t=0 得即有（重要積分公式）例3 求函數(shù) 的傅氏變換和傅氏積分表達式.解:tf(t)若 上式右端為例4：（P2118.5）求函數(shù) 的傅氏變換，證明解：= -1 故由（重要積分公式）傅氏積分公式的三角形式：(P2108.1)8.2單位脈沖函數(shù)（函數(shù)） 在物理和工程技術(shù)中, 常常會碰到單位脈沖函數(shù). 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作

6、用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中, 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等. 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù). 在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(設(shè)為t=0)進入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則由于電流強度是電荷函數(shù)對時間的變化率,即 所以, 當(dāng)t0時, i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計算這個導(dǎo)數(shù), 則得 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠表示這樣的電流強度. 為了確定這樣的電流強度, 引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡

7、單記成-函數(shù). 有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例如 點電荷, 點熱源, 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決. -函數(shù)是一個廣義函數(shù)，它沒有普通意義下的函數(shù)值，所以，它不能用通常意義下“值的對應(yīng)關(guān)系”來定義。在廣義函數(shù)論中， -函數(shù)定義為某基本函數(shù)空間上的線性連續(xù)泛函，但要講清它需要用到一些超出工程數(shù)學(xué)教學(xué)大綱范圍的知識。 簡單定義單位脈沖函數(shù)(t)是滿足下面兩個條件的函數(shù)：或者定義為：對于任何一個無窮次可為微的函數(shù)f（t）,如果滿足則稱 的弱極限為-函數(shù)。8.2.1單位脈沖函數(shù)的概念及其性質(zhì)(t)1/eeO（即

8、(t)的弱極限為（t）,上述極限不是通常意義下的極限，在通常意義上講: ）對任何0,顯然有 工程上將-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù),可將-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個線段的長度表示-函數(shù)的積分值, 稱為沖激強度.tO(t)1tOA(t)AtO(t-t0)1t0-函數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)8.1 設(shè)f（t）是定義在實數(shù)域R上的有界函數(shù)，且在t=0處連續(xù)，則一般地，若f（t）在t=t0 點連續(xù)，則此性質(zhì)稱為篩選性質(zhì)。性質(zhì)8.2 函數(shù)為偶函數(shù)，即(t)=(-t).性質(zhì)8.3 設(shè)u(t)為單位階躍函數(shù)，即則有8.2.2 函數(shù)的傅氏變換-函數(shù)的傅氏變換為: 可見, 單位脈沖函數(shù)(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏

9、變換對. (t-t0)和 亦構(gòu)成了一個傅氏變換對.（注意事項見P195）例5：證明 -函數(shù)為偶函數(shù)，即(t)=(-t).證：所以：(t)=(-t). 在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件 例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換. 所謂廣義是相對于古典意義而言的, 在廣義意義下, 同樣可以說, 象函數(shù)F()和象原函數(shù)f(t)亦構(gòu)成一個傅氏變換對.例6： 分別求函數(shù)f1(t)=1與 傅氏變換。由該例可得積分公式：這類積分在普通意義下不存在。（p195例

10、8.7）（p195例8.8）的積分表達式為 一個傅氏變換對（t0）通過上述的討論，可以看出-函數(shù)的重要性 它使得在普通意義下的一些不存在的積分有了確定的數(shù)值，而且利用-函數(shù)及其傅氏變換可以很方便地得到工程技術(shù)上許多重要函數(shù)的傅氏變換。并且使得許多變換的推導(dǎo)大大簡化。 因此我們介紹-函數(shù)的目的主要是為了提供一個有用的數(shù)學(xué)工具，而不去追求它在數(shù)學(xué)上的嚴謹?shù)臄⑹龌蜃C明。例8： 求正弦函數(shù)f(t)=sin0t的傅氏變換同理可證（p196例8.9） 本例說明，在廣義傅氏變換意義下，周期函數(shù)也可以進行傅氏變換.定理8.3 設(shè)f（t）是以T為周期的實值函數(shù)，且在上滿足狄氏條件，則f(t)和是一組傅氏變換對。

11、其中，證 按傅氏級數(shù)展開式有即得f（t）與F（）是一組傅氏變換對.1.線性性質(zhì) 設(shè)F1(w)=F f1(t), F2(w)=F f2(t), a,b是常數(shù), 則 F af1(t)+bf2(t)=aF1(w)+bF2(w) 這個性質(zhì)表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合.它的證明只需根據(jù)定義就可推出.同樣, 傅氏逆變換亦具有類似的線性性質(zhì), 即 F -1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+bf2(t) 8.3 傅氏變換的性質(zhì) 下面介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,且對一些運算（如求導(dǎo)、積分、

12、求和等）的次序交換，均不另作說明。8.3.1 基本性質(zhì)例9： 求函數(shù)f(t)=sin3t的傅氏變換. （p2118.6） 2. 位移性質(zhì)證:由傅氏變換的定義, 可知例10： 求解 因為所以例11： 已知求解顯然一般地證明：綜上所述可得：（講P199例8.11）4.微分性質(zhì) 如果f(t)在(-, +)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點, 且當(dāng)|t|+時, f(t)0, 則 F f (t)=jw F f(t).推論 若當(dāng)t+時, f(k)(t)0, 則 F f(n)(t)=(jw)nF f(t).證 由傅氏變換的定義, 并利用分部積分可得同樣, 還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式, 若F f(t)=F(w), 則常用公式證明：若則= -jtf（t）例12: 利用像函數(shù)的微分性質(zhì)證明：證：例13：（1）證明證明 因為所以 一般地 （1）（2） f(t) = 1-2 (t)+3 (t-1)5. 積分性質(zhì)例14：設(shè)6.能量積分 若F(w)=F f(t), 則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parseval)等式證 由 根據(jù)帕塞瓦爾(Parseval)等式：查表可得F（）= （解法2見P201例8.12）又如符號函數(shù)：可表示為：例15：（P2116）求符號函數(shù)：的傅氏變換。解：u(t)1=2() sgnx = 2 u(t ) 18.3.2