1、 27/272013九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)答案一、猜想、探究題1. （1）依據(jù)1：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂點的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）依據(jù)2：角平分線的性質(zhì)（或角平分線上的點到角的兩邊距離相等）. （2）證明：，.是的中點， （3）（注：兩個結(jié)論都正確只給1分，若考生此處未寫兩個結(jié)論，但在證明過程中有此結(jié)論，且證明正確，可不扣分） 證明如下： 證法一：如圖（1）.連接，則是邊上的中線.， 又，又四邊形是矩形.，即即證法二：如圖（2）.連接，則是邊上的中線.， 又，.又同證法一可得，四邊形是矩形.即評分說明：此題還有其它證法（如過點作于點，于點，通過證明得證），可參照給分.2

2、. （2）圖2： 圖3： 圖2證明如下：過點作，交于點.四邊形為菱形又是等邊三角形 又又是等邊三角形又又 圖3證明如下：過點作交延長線于點四邊形為菱形又是等邊三角形 又又是等邊三角形又又3. 解：（1）D1M=D2N.證明：ACD1=90，ACH+D1CK=90AHK=ACD1=90，ACH+HAC=90D1CK=HAC.AC=CD1，ACHCD1MD1M=CH.同理可證D2N=CHD1M=D2N.（2）證明：D1M=D2N成立.過點C作CGAB，垂足為點G.H1AC+ACH1+AH1C=180，D1CM+ACH1+ACD1=180，AH1C=ACD1，H1AC=D1CM.AC=CD1，AGC

3、=CMD1=90，ACGCD1M.CG=D1M.同理可證CG=D2N.D1M=D2N.作圖正確.還成立.圖1圖2圖34. 解：（1）點在雙曲線上雙曲線的解析式為與軸之間的距離是點到軸的距離的4倍可設(shè)點坐標為代入雙曲線解析式得拋物線過點，拋物線的解析式為（2）拋物線的解析式為頂點，對稱軸為 ，由，兩點坐標為，可求得直線的解析式為：設(shè)拋物線對稱軸與交于點，則點坐標為（3）當點 點重合時，顯然滿足條件當點與點不重合時，過點作的平行線，其對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為令解得，（舍去）當時，存在另一點滿足條件5. 解：（1）當時，,令得，當時，.拋物線的對稱軸為直線又關(guān)于對稱軸對稱，（2）過點作軸于點（如圖1）

4、，由已知得，又拋物線的對稱軸為直線，其中，又關(guān)于對稱軸對稱,，又，（3）不重合，（）當時，（i）若點在軸上(如圖1)，又，此時點的坐標是(2，0).（ii）若點在軸上（如圖2）過點作軸于點，易證，此時點的坐標是（0,4）.E（）當時，（i）若點在軸上（如圖3），易證，此時點的坐標是（ii）若點在軸上（如圖4），過點作軸于點，易證，M（舍去），綜上所述，當時，點的坐標是（2，0）或（0，4）；當，點的坐標是.6. 解（1）不是； 據(jù)題意：，中， （2）方法一：證明：，即為等腰三角形 在等腰和中， 方法二：（見方法一）證得兩邊對應(yīng)成比例： 由此可得結(jié)論（3）方法一：四邊形為平行四邊形，證明兩個角相

5、等，得 ，即， 方法二：過點作，四邊形為平行四邊形， 方法三：證明，則有，則有， 四邊形為平行四邊形，方法一：解關(guān)于的一元二次方程，得， 由題意，即， 為中點，且為正方形，方法二：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩根為，得：，由題意，即， 為中點，且為正方形， 7. 拓展: ， ,又,. 1 =2, ，,. 又AB=AC，ABECAF . 應(yīng)用: 6 8. （2）探究2：在AB上截取AM=EC，連接ME.由（1）知EAM=FEC.AM=EC，AB=BC，BM=BE.BME=45。AME=ECF=135.AEMEFC（ASA）.AE=EF.（3）探究3：成立.證明如下：延長BA到M，使得AM=CE，連接M

6、E.BM=BE.BME=45，BME=ECF.又ADBE，DAE=BEA.MAE=CEF.MAECEF（ASA）.AE=EF.9. 8分）解（1）發(fā)現(xiàn)：（1分）證明：在等邊中，在等邊中，即，.（2分）(2)猜測：AF=BD（3分）(3)探究：）（5分）證明：同理可證.）（6分）證明：同理可證，又，.（8分）10. (本題滿分12分)解:（1）B（，），D(，). 2分（每空1分）（2）過點E作EGBC，垂足為G. 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及矩形性質(zhì)知： ，= = = 3分 E（，）4分 把B（，），E（，）代入中，得 解得 二次函數(shù)的解析式為：5分（評分說明：二元一次方程組解正確也得分）（3）存在符合條件的

7、點P，點Q. 矩形OABC的面積=OAOC= 以O(shè)、A、P、Q為頂點的平行四邊形的面積是2 OA為平行四邊形一邊，且OA= OA邊上的高為2 6分 點P在的圖象上且在軸上方設(shè)P（，2） 解得， P1（，），P2（，） 7分 以O(shè)、A、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形 PQOA且PQ=OA=8分 當P1（，）時，則Q1（，），Q2（，）10分 當P2（，）時，則Q3（，），Q4（，）12分（評分說明：寫出一個Q點的坐標給1分）二、動態(tài)幾何11. （1）方法一：解：如圖交軸和軸于四邊形是平行四邊形，過點作軸于則四邊形是矩形 代入得 方法二：解：如圖交軸和軸于延長交軸于點交軸和軸于四邊形是平行四邊形

8、 （2）方法一：解：如圖，延長交軸于，分別過點作軸的垂線，垂足分別是則四邊形、四邊形、四邊形是矩形； 交軸和軸于，又 方法二：解：如圖設(shè)把代入得 把代入得 （）（3）方法一：解：如圖四邊形是平行四邊形， 以為直徑的圓經(jīng)過點 解得 即， 方法二：解：如圖四邊形是平行四邊形，以為直徑的圓經(jīng)過點 ，解得 過點作于點，方法三：解：如圖由勾股定理得 以為直徑的圓經(jīng)過點， 四邊形是平行四邊形，即，即12. 解：（1）把點與點代入拋物線，得：解得：拋物線的函數(shù)解析式為：.（2）連交于，直線切于，弦，作于，秒時，若，則中，秒（3）令，作軸于，作于，交軸于則，中，中，于是=當時，最大最大這時點13. （1）當時

9、，解得點在點的左側(cè)，的坐標分別為.當時，點的坐標為設(shè)直線的解析式為則解得直線的解析式為頂點的坐標為 評分說明：求出直線的解析式給2分，求出兩點的坐標各1分，共4分.（2）拋物線上有三個這樣的點，分別為： （3）過點作于點，使，則為點關(guān)于直線的對稱點.連接交直線于點，則點為所求. 過點作軸于點.和都是的余角，.由得 由可得即點的坐標為設(shè)直線的解析式為解得 由解得點的坐標為 評分說明：其它解法可參照給分.14. （1）證明: 如圖1CNDP, 90，PDC=NCB . 在DCP與CBN中PDC=NCB, DC=CB, DCP=CBN=90DCPCBN. CP=BN . 在COP與BON中CO=BO

10、, OCP=OBN=45,CP=BN，COPBON， OP=ON . COP=BON, 而COP+POB=90，BON+POB=90, 即OPON. 證明: 如圖2CNDP, 90，PDC=PCM=NCB. 在DCP與CBN中PDC=NCB, DC=CB, DCP=CBN=90，DCPCBN ， CP=BN . 在COP與BON中CO=BO, OCP=OBN=135,CP=BN，COPBON，OP=ON . COP=BON, 而BON+NOC=90，COP+NOC=90, 即OPON. (2)討論： 當P在BC上，即時， 當P在BC的延長線上，即時，連結(jié)PN，則（無此步驟不扣分）說明：P運動到

11、C點，即時，四邊形退化為OBC，這時面積，無論討論與否，均不扣分.15. 解：（1）解得， ， (2)由題意得，可分兩種情況討論：當時，如圖1 解得所以可得當時，如圖2 解得所以可得（3）存在 ，說明：以上各題，如果有其它正確解法，可酌情給分。16. 解：（1）將點和點的坐標代入,得,解得,二次函數(shù)的表達式為 (2)當點在點處時,直線與相切,理由如下:點,圓心的坐標為,的半徑為,又拋物線的頂點坐標為(0,1),即直線l上所有點的縱坐標均為1,從而圓心C到直線l的距離為,直線與相切. 在點運動的過程中,直線與始終保持相切的位置關(guān)系,理由如下:方法一: 設(shè)點,則圓心的坐標為,圓心C到直線l的距離為

12、,又,則的半徑為,來源:Zxxk.Com直線與始終相切. 方法二: 設(shè)點1),則圓心的坐標為,的半徑為,而圓心C到直線l的距離為,直線與始終相切. 由知,圓C的半徑為.又圓心C的縱坐標為,直線l上的點的縱坐標為,所以()當,即時,圓心C到直線l的距離為,則由,得,解得, 此時； ()當,即時,圓心C到直線l的距離為,則由,得,解得, 此時；綜上所述,當時,直線與相交. (說明: 若學(xué)生就寫成或,得全分；若學(xué)生依據(jù)直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出后,就得,也給全分)當時,圓心C到直線l的距離為,又半徑為, 當時, 取得最大值為.17. 解：（1）拋物線經(jīng)過（0，4）， 頂點在直線上 ，

13、 所求函數(shù)關(guān)系式為： （2）在中，四邊形是菱形 、兩點的坐標分別是、 當時，當時，點和點都在所求拋物線上 （3）設(shè)與對稱軸交于點，則為所求的點 設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為則，解得： 當時，P（，）， （4） 即 得 設(shè)對稱軸交軸于點F，則 （ 存在最大值 由 當時，S取得最大值為 此時點的坐標為（0，） CAxOBAx= EQ F(5,2) E餓xDCANAMCAPCAFCAy18. 解：（1）令，則，解得，（2）拋物線的對稱軸為，與軸交點的坐標為，直線的解析式為，且當時，有，直線與對稱軸的交點坐標為，不妨設(shè)點的坐標為，當點位于上方時，的面積；解方程得：，當點位于下方時，的面積；解方程得：，點的

14、坐標為或；（3）如圖，以為直徑作，當且僅當直線與相切時符合題意，中，由勾股定理可得：；利用三角形相似可以求得點的坐標設(shè)直線的解析式為，代入、可得方程組；解方程組得：直線的解析式為同理可得：直線的另一個解析式為19. 解：（8，0）、（0，4）. 連結(jié)，根據(jù)題意得點在拋物線上，點P的坐標為（，） 點、的坐標分別為（8，0）、（0，4），垂直平分 ， 即 （0t4）當t=2時，有最大值為64.四邊形的最大面積為64個平方單位.（3）拋物線上存在點，使得是直角三角形. 顯然，當時， 來源:Zxxk.Com 在和中，即解得，（不符合題意，舍去）當時，點的坐標為（，）（此題解法較多，只要正確，可參考以上評分標準給分）20. 解：（1）當時，；當時，的坐標是， （2）為等邊，點，的坐標是，的坐標是， （算出中一個點的坐標即可評1分）把代入，解得：（3）方法一：如圖，設(shè)切點分別是，連接，過點作軸，為垂足，過作，為垂足為等邊，分別與相切，四邊形為矩形，四邊形為正方形